初三數學上學期期末測試卷(2)
初三數學上學期期末測試卷
初三數學上學期期末測試卷參考答案
一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的)
1.在平面直角坐標系中，將拋物線y=x2﹣4先向右平移兩個單位，再向上平移兩個單位，得到的拋物線的解析式是( )
A.y=(x+2)2+2 B.y=(x﹣2)2﹣2 C.y=(x﹣2)2+2 D.y=(x+2)2﹣2
【考點】二次函數圖象與幾何變換.
【分析】根據二次函數圖象左加右減，上加下減的平移規律進行解答即可.
【解答】解：函數y=x2﹣4向右平移2個單位，得：y=(x﹣2)2﹣4;
再向上平移2個單位，得：y=(x﹣2)2﹣2;
故選B.
2.下列關于函數 的圖象說法：①圖象是一條拋物線;②開口向下;③對稱軸是y軸;④頂點(0，0)，其中正確的有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【考點】二次函數的性質.
【分析】函數 是一種最基本的二次函數，畫出圖象，直接判斷.
【解答】解：①二次函數 的圖象是拋物線，正確;
②因為a=﹣ <0，拋物線開口向下，正確;
?、垡驗閎=0，對稱軸是y軸，正確;
?、茼旤c(0，0)也正確.
故選D.
3.如圖是二次函數y=ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是( )
A.﹣1
【考點】二次函數與不等式(組).
【分析】利用二次函數的對稱性，可得出圖象與x軸的另一個交點坐標，結合圖象可得出ax2+bx+c<0的解集.
【解答】解：由圖象得：對稱軸是x=2，其中一個點的坐標為(5，0)，
∴圖象與x軸的另一個交點坐標為(﹣1，0).
利用圖象可知：
ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集，
∴x<﹣1或x>5.
故選：D.
4.拋物線y=(x+2)2﹣3可以由拋物線y=x2平移得到，則下列平移過程正確的是( )
A.先向左平移2個單位，再向上平移3個單位
B.先向左平移2個單位，再向下平移3個單位
C.先向右平移2個單位，再向下平移3個單位
D.先向右平移2個單位，再向上平移3個單位
【考點】二次函數圖象與幾何變換.
【分析】根據“左加右減，上加下減”的原則進行解答即可.
【解答】解：拋物線y=x2向左平移2個單位可得到拋物線y=(x+2)2，
拋物線y=(x+2)2，再向下平移3個單位即可得到拋物線y=(x+2)2﹣3.
故平移過程為：先向左平移2個單位，再向下平移3個單位.
故選：B.
5.為了測量被池塘隔開的A，B兩點之間的距離，根據實際情況，作出如圖圖形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上.有四位同學分別測量出以下四組數據：①BC，∠ACB; ②CD，∠ACB，∠ADB;③EF，DE，BD;④DE，DC，BC.能根據所測數據，求出A，B間距離的有( )
A.1組 B.2組 C.3組 D.4組
【考點】相似三角形的應用;解直角三角形的應用.
【分析】根據三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可.所以借助于相似三角形的性質，根據 = 即可解答.
【解答】解：此題比較綜合，要多方面考慮，
?、僖驗橹?ang;ACB和BC的長，所以可利用∠ACB的正切來求AB的長;
?、诳衫?ang;ACB和∠ADB的正切求出AB;
③，因為△ABD∽△EFD可利用 = ，求出AB;
?、軣o法求出A，B間距離.
故共有3組可以求出A，B間距離.
故選C.
6.如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，位似比為2：3，已知AB=4，則DE的長等于( )
A.6 B.5 C.9 D.
【考點】位似變換.
【分析】位似是特殊的相似，位似比就是相似比，相似形對應邊的比相等.
【解答】解：根據題意，△ABC與△DEF位似，且AB：DE=2：3，AB=4
∴DE=6
故選A.
7.如圖，直徑為10的⊙A經過點C(0，5)和點O(0，0)，B是y軸右側⊙A優弧上一點，則cos∠OBC的值為( )
A. B. C. D.
【考點】圓周角定理;勾股定理;銳角三角函數的定義.
【分析】連接CD，由∠COD為直角，根據90°的圓周角所對的弦為直徑，可得出CD為圓A的直徑，再利用同弧所對的圓周角相等得到∠CBO=∠CDO，在直角三角形OCD中，由CD及OC的長，利用勾股定理求出OD的長，然后利用余弦函數定義求出cos∠CDO的值，即為cos∠CBO的值.
【解答】解：連接CD，如圖所示：
∵∠COD=90°，
∴CD為圓A的直徑，即CD過圓心A，
又∵∠CBO與∠CDO為 所對的圓周角，
∴∠CBO=∠CDO，
又∵C(0，5)，
∴OC=5，
在Rt△CDO中，CD=10，CO=5，
根據勾股定理得：OD= =5 ，
∴cos∠CBO=cos∠CDO= = = .
故選B
8.在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜邊AB是直角邊BC的3倍，則tanB的值是( )
A.2 B.3 C. D.
【考點】銳角三角函數的定義.
【分析】根據勾股定理求出AC，根據正切的概念計算即可.
【解答】解：設BC=x，則AB=3x，
由勾股定理得，AC= =2 x，
則tanB= =2 ，
故選：A.
9.如圖，點B、D、C是⊙O上的點，∠BDC=130°，則∠BOC是( )
A.100° B.110° C.120° D.130°
【考點】圓周角定理;圓內接四邊形的性質.
【分析】首先在優弧 上取點E，連接BE，CE，由點B、D、C是⊙O上的點，∠BDC=130°，即可求得∠E的度數，然后由圓周角定理，即可求得答案.
【解答】解：在優弧 上取點E，連接BE，CE，如圖所示：
∵∠BDC=130°，
∴∠E=180°﹣∠BDC=50°，
∴∠BOC=2∠E=100°.
故選：A.
10.如圖，△ABC中，A，B兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標是(﹣1，0).以點C為位似中心，在x軸的下作△ABC的位似圖形△A′B′C，并把△ABC的邊長放大到原來的2倍.設點A′的對應點A的縱坐標是1.5，則點A'的縱坐標是( )
A.3 B.﹣3 C.﹣4 D.4
【考點】位似變換;坐標與圖形性質.
【分析】根據位似變換的性質得出△ABC的邊長放大到原來的2倍，進而得出點A'的縱坐標.
【解答】解：∵點C的坐標是(﹣1，0).以點C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C，
并把△ABC的邊長放大到原來的2倍.
點A′的對應點A的縱坐標是1.5，
則點A'的縱坐標是：﹣3.
故選：B.
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
11.已知二次函數y=x2+bx+3的對稱軸為x=2，則b= ﹣4 .
【考點】二次函數的性質.
【分析】可直接由對稱軸公式﹣ =2，求得b的值.
【解答】解：∵對稱軸為x=2，
∴﹣ =2，
∴b=﹣4.
12.若△ADE∽△ACB，且 = ，若四邊形BCED的面積是2，則△ADE的面積是 .
【考點】相似三角形的性質.
【分析】根據題意求出△ADE與△ACB的相似比，根據相似三角形面積的比等于相似比的平方計算即可.
【解答】解：∵△ADE∽△ACB，且 = ，
∴△ADE與△ACB的面積比為： ，
∴△ADE與四邊形BCED的面積比為： ，又四邊形BCED的面積是2，
∴△ADE的面積是 ，
故答案為： .
13.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2 ，則sin = .
【考點】特殊角的三角函數值.
【分析】根據在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2 ，可以求得∠A正弦值，從而可以求得∠A的度數，進而可求得sin 的值.
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2 ，
∴sinA= ，
∴∠A=60°，
∴sin =sin30°= ，
故答案為： .
14.如圖，在正方形ABCD內有一折線段，其中AE丄EF，EF丄FC，并且AE=6，EF=8，FC=10，則正方形與其外接圓之間形成的陰影部分的面積為 80π﹣160 .
【考點】相似三角形的判定與性質;勾股定理;正方形的性質.
【分析】首先連接AC，則可證得△AEM∽△CFM，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得EM與FM的長，然后由勾股定理求得AM與CM的長，則可求得正方形與圓的面積，則問題得解.
【解答】解：連接AC，
∵AE丄EF，EF丄FC，
∴∠E=∠F=90°，
∵∠AME=∠CMF，
∴△AEM∽△CFM，
∴ ，
∵AE=6，EF=8，FC=10，
∴ ，
∴EM=3，FM=5，
在Rt△AEM中，AM= =3 ，
在Rt△FCM中，CM= =5 ，
∴AC=8 ，
在Rt△ABC中，AB=AC•sin45°=8 • =4 ，
∴S正方形ABCD=AB2=160，
圓的面積為：π•( )2=80π，
∴正方形與其外接圓之間形成的陰影部分的面積為80π﹣160.
故答案為：80π﹣160.
三、計算題(本大題共1小題，共8分)
15.計算：(﹣1)2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0.
【考點】實數的運算;零指數冪;特殊角的三角函數值.
【分析】根據實數的運算順序，首先計算乘方和乘法，然后從左向右依次計算，求出算式(﹣1)2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0的值是多少即可.
【解答】解：(﹣1)2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0
=1+2× ﹣ +1
=1+ ﹣ +1
=2
四、解答題(本大題共7小題，共68分)
16.已知拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A(3，0)，B(﹣1，0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)求拋物線的頂點坐標.
【考點】待定系數法求二次函數解析式;二次函數的性質.
【分析】(1)根據拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A(3，0)，B(﹣1，0)，直接得出拋物線的解析式為;y=﹣(x﹣3)(x+1)，再整理即可，
(2)根據拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4，即可得出答案.
【解答】解：(1)∵拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A(3，0)，B(﹣1，0).
∴拋物線的解析式為;y=﹣(x﹣3)(x+1)，
即y=﹣x2+2x+3，
(2)∵拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4，
∴拋物線的頂點坐標為：(1，4).
17.某校九年級數學興趣小組的同學開展了測量湘江寬度的活動.如圖，他們在河東岸邊的A點測得河西岸邊的標志物B在它的正西方向，然后從A點出發沿河岸向正北方向行進550米到點C處，測得B在點C的南偏西60°方向上，他們測得的湘江寬度是多少米?(結果保留整數，參考數據： ≈1.414， ≈1.732)
【考點】解直角三角形的應用-方向角問題.
【分析】根據題意，∠BAC=90°，AC=550，∠ACB=60°，求AB.由三角函數定義可建立關系式后求解.
【解答】解：由題意得：△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=60°，
AC=550，AB=AC•tan∠ACB=550 ≈952.6≈953(米).
答：他們測得湘江寬度為953米.
18.已知：如圖，點P是⊙O外的一點，PB與⊙O相交于點A、B，PD與⊙O相交于C、D，AB=CD.
求證：(1)PO平分∠BPD;
(2)PA=PC.
【考點】垂徑定理;全等三角形的判定與性質;角平分線的性質;勾股定理.
【分析】(1)過點O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別為E、F，根據AB=CD可知OE=OF，進而可知PO平分∠BPD;
(2)先根據全等三角形的判定定理得出Rt△POE≌Rt△POF，再由垂徑定理可得出AE=CF，再根據PE﹣AE=PF﹣CF即可得出結論.
【解答】證明：(1)過點O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別為E、F，
∵AB=CD，
∴OE=OF，
∴PO平分∠BPD;
(2)在Rt△POE與Rt△POF中，
∵OP=OP，OE=OF，
∴Rt△POE≌Rt△POF，
∴PE=PF，
∵AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，E、F分別為垂足，
∴AE= ，
CF= ，
∴AE=CF，
∴PE﹣AE=PF﹣CF，即PA=PC.
19.如圖，△ABC中，E是AC上一點，且AE=AB，∠EBC= ∠BAC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，交EB于點F.
(1)求證：BC與⊙O相切;
(2)若AB=8，sin∠EBC= ，求AC的長.
【考點】切線的判定;相似三角形的判定與性質.
【分析】(1)首先連接AF，由AB為直徑，根據圓周角定理，可得∠AFB=90°，又由AE=AB，∠EBC= ∠BAC，根據等腰三角形的性質，可得∠BAF=∠EBC，繼而證得BC與⊙O相切;
(2)首先過E作EG⊥BC于點G，由三角函數的性質，可求得BF的長，易證得△CEG∽△CAB，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案.
【解答】(1)證明：連接AF.
∵AB為直徑，
∴∠AFB=90°.
∵AE=AB，
∴△ABE為等腰三角形.
∴∠BAF= ∠BAC.
∵∠EBC= ∠BAC，
∴∠BAF=∠EBC，
∴∠FAB+∠FBA=∠EBC+∠FBA=90°.
∴∠ABC=90°.
即AB⊥BC，
∴BC與⊙O相切.
(2)解：過E作EG⊥BC于點G，
∵∠BAF=∠EBC，
∴sin∠BAF=sin∠EBC= .
在△AFB中，∠AFB=90°，
∵AB=8，
∴BF=AB•sin∠BAF=8× =2，
∴BE=2BF=4.
在△EGB中，∠EGB=90°，
∴EG=BE•sin∠EBC=4× =1，
∵EG⊥BC，AB⊥BC，
∴EG∥AB，
∴△CEG∽△CAB，
∴ .
∴ ，
∴CE= ，
∴AC=AE+CE=8+ = .
20.如圖，直線y=﹣x+b與反比例函數y= 的圖象相交于A(1，4)，B兩點，延長AO交反比例函數圖象于點C，連接OB.
(1)求k和b的值;
(2)直接寫出一次函數值小于反比例函數值的自變量x的取值范圍;
(3)在y軸上是否存在一點P，使S△PAC= S△AOB?若存在請求出點P坐標，若不存在請說明理由.
【考點】反比例函數與一次函數的交點問題.
【分析】(1)由待定系數法即可得到結論;
(2)根據圖象中的信息即可得到結論;
(3)過A作AM⊥x軸，過B作BN⊥x軸，由(1)知，b=5，k=4，得到直線的表達式為：y=﹣x+5，反比例函數的表達式為： 列方程 ，求得B(4，1)，于是得到 ，由已知條件得到 ，過A作AE⊥y軸，過C作CD⊥y軸，設P(0，t)，根據三角形的面積公式列方程即可得到結論.
【解答】解：(1)將A(1，4)分別代入y=﹣x+b和
得：4=﹣1+b，4= ，解得：b=5，k=4;
(2)一次函數值小于反比例函數值的自變量x的取值范圍為：x>4或0
(3)過A作AM⊥x軸，過B作BN⊥x軸，
由(1)知，b=5，k=4，
∴直線的表達式為：y=﹣x+5，反比例函數的表達式為：
由 ，解得：x=4，或x=1，
∴B(4，1)，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
過A作AE⊥y軸，過C作CD⊥y軸，設P(0，t)，
∴S△PAC= OP•CD+ OP•AE= OP(CD+AE)=|t|=3，
解得：t=3，t=﹣3，
∴P(0，3)或P(0，﹣3).
21.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，O是AB上一點，以OA為半徑的⊙O經過點D.
(1)求證：BC是⊙O切線;
(2)若BD=5，DC=3，求AC的長.
【考點】切線的判定.
【分析】(1)要證BC是⊙O的切線，只要連接OD，再證OD⊥BC即可.
(2)過點D作DE⊥AB，根據角平分線的性質可知CD=DE=3，由勾股定理得到BE的長，再通過證明△BDE∽△BAC，根據相似三角形的性質得出AC的長.
【解答】(1)證明：連接OD;
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠3.
∵OA=OD，
∴∠1=∠2.
∴∠2=∠3.
∴ ∥AC.
∴∠ODB=∠ACB=90°.
∴OD⊥BC.
∴BC是⊙O切線.
(2)解：過點D作DE⊥AB，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴CD=DE=3.
在Rt△BDE中，∠BED=90°，
由勾股定理得： ，
∵∠BED=∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC.
∴ .
∴ .
∴AC=6.
22.一種實驗用軌道彈珠，在軌道上行駛5分鐘后離開軌道，前2分鐘其速度v(米/分)與時間t(分)滿足二次函數v=at2，后三分鐘其速度v(米/分)與時間t(分)滿足反比例函數關系，如圖，軌道旁邊的測速儀測得彈珠1分鐘末的速度為2米/分，求：
(1)二次函數和反比例函數的關系式.
(2)彈珠在軌道上行駛的最大速度.
(3)求彈珠離開軌道時的速度.
【考點】反比例函數的應用.
【分析】(1)二次函數圖象經過點(1，2)，反比例函數圖象經過點(2，8)，利用待定系數法求函數解析式即可;
(2)把t=2代入(1)中二次函數解析式即可;
(3)把t=5代入(1)中反比例函數解析式即可求得答案.
【解答】解：(1)v=at2的圖象經過點(1，2)，
∴a=2.
∴二次函數的解析式為：v=2t2，(0≤t≤2);
設反比例函數的解析式為v= ，
由題意知，圖象經過點(2，8)，
∴k=16，
∴反比例函數的解析式為v= (2
(2)∵二次函數v=2t2，(0≤t≤2)的圖象開口向上，對稱軸為y軸，
∴彈珠在軌道上行駛的最大速度在2秒末，為8米/分;
(3)彈珠在第5秒末離開軌道，其速度為v= =3.2(米/分).
五、綜合題(本大題共1小題，共14分)
23.如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y= x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C.拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=﹣ 且經過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B.
(1)①直接寫出點B的坐標;②求拋物線解析式.
(2)若點P為直線AC上方的拋物線上的一點，連接PA，PC.求△PAC的面積的最大值，并求出此時點P的坐標.
(3)拋物線上是否存在點M，過點M作MN垂直x軸于點N，使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似?若存在，求出點M的坐標;若不存在，請說明理由.
【考點】二次函數綜合題.
【分析】(1)①先求的直線y= x+2與x軸交點的坐標，然后利用拋物線的對稱性可求得點B的坐標;②設拋物線的解析式為y=y=a(x+4)(x﹣1)，然后將點C的坐標代入即可求得a的值;
(2)設點P、Q的橫坐標為m，分別求得點P、Q的縱坐標，從而可得到線段PQ= m2﹣2m，然后利用三角形的面積公式可求得S△PAC= ×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面積的最大值以及此時m的值，從而可求得點P的坐標;
(3)首先可證明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下幾種情況分類討論即可：①當M點與C點重合，即M(0，2)時，△MAN∽△BAC;②根據拋物線的對稱性，當M(﹣3，2)時，△MAN∽△ABC; ④當點M在第四象限時，解題時，需要注意相似三角形的對應關系.
【解答】解：(1)①y= 當x=0時，y=2，當y=0時，x=﹣4，
∴C(0，2)，A(﹣4，0)，
由拋物線的對稱性可知：點A與點B關于x=﹣ 對稱，
∴點B的坐標為1，0).
?、凇邟佄锞€y=ax2+bx+c過A(﹣4，0)，B(1，0)，
∴可設拋物線解析式為y=a(x+4)(x﹣1)，
又∵拋物線過點C(0，2)，
∴2=﹣4a
∴a=
∴y= x2 x+2.
(2)設P(m， m2 m+2).
過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q，
∴Q(m， m+2)，
∴PQ= m2 m+2﹣( m+2)
= m2﹣2m，
∵S△PAC= ×PQ×4，
=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣(m+2)2+4，
∴當m=﹣2時，△PAC的面積有最大值是4，
此時P(﹣2，3).
(3)方法一：
在Rt△AOC中，tan∠CAO= 在Rt△BOC中，tan∠BCO= ，
∴∠CAO=∠BCO，
∵∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠CAO+∠OBC=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC∽△ACO∽△CBO，
如下圖：
?、佼擬點與C點重合，即M(0，2)時，△MAN∽△BAC;
②根據拋物線的對稱性，當M(﹣3，2)時，△MAN∽△ABC;
?、郛旤cM在第四象限時，設M(n， n2 n+2)，則N(n，0)
∴MN= n2+ n﹣2，AN=n+4
當 時，MN= AN，即 n2+ n﹣2= (n+4)
整理得：n2+2n﹣8=0
解得：n1=﹣4(舍)，n2=2
∴M(2，﹣3);
當 時，MN=2AN，即 n2+ n﹣2=2(n+4)，
整理得：n2﹣n﹣20=0
解得：n1=﹣4(舍)，n2=5，
∴M(5，﹣18).
綜上所述：存在M1(0，2)，M2(﹣3，2)，M3(2，﹣3)，M4(5，﹣18)，使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似.
方法二：
∵A(﹣4，0)，B(1，0)，C(0，2)，
∴KAC×KBC=﹣1，
∴AC⊥BC，MN⊥x軸，
若以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似，
則 ， ，
設M(2t，﹣2t2﹣3t+2)，
∴N(2t，0)，
?、質 |= ，
∴| |= ，
∴2t1=0，2t2=2，
?、趞 |= ，
∴| |=2，∴2t1=5，2t2=﹣3，
綜上所述：存在M1(0，2)，M2(﹣3，2)，M3(2，﹣3)，M4(5，﹣18)，使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似.
看了“初三數學上學期期末測試卷”的人還看了：