上海市嘉定區高考數學一模試卷及答案(2)
上海市嘉定區高考數學一模試卷及答案
上海市高考數學一模試卷答案
一、填空題(共12小題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分)
1.設集合A={x||x﹣2|<1，x∈R}，集合B=Z，則A∩B= {2} .
【考點】交集及其運算.
【分析】利用交集定義求解.
【解答】解：|x﹣2|<1，即﹣1
集合B=Z，
則A∩B={2}，
故答案為：{2}
【點評】本題考查交集的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意定義法的合理運用.
2.函數y=sin(ωx﹣ )(ω>0)的最小正周期是π，則ω= 2 .
【考點】正弦函數的圖象.
【分析】根據三角函數的周期性及其求法即可求值.
【解答】解：∵y=sin(ωx﹣ )(ω>0)，
∴T= =π，
∴ω=2.
故答案是：2.
【點評】本題主要考查了三角函數的周期性及其求法，屬于基礎題.
3.設i為虛數單位，在復平面上，復數 對應的點到原點的距離為 .
【考點】復數代數形式的乘除運算.
【分析】利用復數的運算法則、幾何意義、兩點之間的距離公式即可得出.
【解答】解：復數 = = = 對應的點 到原點的距離= = .
故答案為： .
【點評】本題考查了復數的運算法則、幾何意義、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.
4.若函數f(x)=log2(x+1)+a的反函數的圖象經過點(4，1)，則實數a= 3 .
【考點】反函數.
【分析】由題意可得函數f(x)=log2(x+1)+a過(1，4)，代入求得a的值.
【解答】解：函數f(x)=log2(x+1)+a的反函數的圖象經過點(4，1)，
即函數f(x)=log2(x+1)+a的圖象經過點(1，4)，
∴4=log2(1+1)+a
∴4=1+a，
a=3.
故答案為：3.
【點評】本題考查了互為反函數的兩個函數之間的關系與應用問題，屬于基礎題.
5.已知(a+3b)n展開式中，各項系數的和與各項二項式系數的和之比為64，則n= 6 .
【考點】二項式系數的性質.
【分析】令二項式中的a=b=1得到展開式中的各項系數的和，根據二項式系數和公式得到各項二項式系數的和2n，據已知列出方程求出n的值.
【解答】解：令二項式中的a=b=1得到展開式中的各項系數的和4n
又各項二項式系數的和為2n
據題意得 ，解得n=6.
故答案：6
【點評】求二項展開式的系數和問題一般通過賦值求出系數和;二項式系數和為2n.屬于基礎題.
6.甲、乙兩人從5門不同的選修課中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有 60 種.
【考點】排列、組合及簡單計數問題.
【分析】間接法：①先求所有兩人各選修2門的種數，②再求兩人所選兩門都相同與都不同的種數，作差可得答案.
【解答】解：根據題意，采用間接法：
①由題意可得，所有兩人各選修2門的種數C52C52=100，
②兩人所選兩門都相同的有為C52=10種，都不同的種數為C52C32=30，
故只恰好有1門相同的選法有100﹣10﹣30=60種.
故答案為60.
【點評】本題考查組合公式的運用，解題時注意事件之間的關系，選用間接法是解決本題的關鍵，屬中檔題.
7.若圓錐的側面展開圖是半徑為2cm，圓心角為270°的扇形，則這個圓錐的體積為 cm3.
【考點】旋轉體(圓柱、圓錐、圓臺).
【分析】利用圓錐的側面展開圖中扇形的弧長等于圓錐底面的周長可得底面半徑，進而求出圓錐的高，代入圓錐體積公式，可得答案.
【解答】解：設此圓錐的底面半徑為r，由題意，得：
2πr= π×2，
解得r= .
故圓錐的高h= = ，
∴圓錐的體積V= πr2h= cm3.
故答案為： .
【點評】本題考查了圓錐的計算，圓錐的側面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.本題就是把扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關系，列方程求解.
8.若數列{an}的所有項都是正數，且 + +…+ =n2+3n(n∈N*)，則 ( )= 2 .
【考點】數列的求和;極限及其運算.
【分析】利用數列遞推關系可得an，再利用等差數列的求和公式、極限的運算性質即可得出.
【解答】解：∵ + +…+ =n2+3n(n∈N*)，∴n=1時， =4，解得a1=16.
n≥2時，且 + +…+ =(n﹣1)2+3(n﹣1)，可得： =2n+2，∴an=4(n+1)2.
=4(n+1).
∴ ( )= =2.
故答案為：2.
【點評】本題考查了數列遞推關系、等差數列的求和公式、極限運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.
9.如圖，在△ABC中，∠B=45°，D是BC邊上的一點，AD=5，AC=7，DC=3，則AB的長為 .
【考點】余弦定理.
【分析】先根據余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根據正弦定理可得答案.
【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，
由余弦定理得cos∠ADC= =﹣ ，
∴∠ADC=120°，∠ADB=60°
在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，
由正弦定理得 ，
∴AB=
故答案為： .
【點評】本題主要考查余弦定理和正弦定理的應用，在解決問題的過程中要靈活運用正弦定理和余弦定理.屬基礎題.
10.有以下命題：
①若函數f(x)既是奇函數又是偶函數，則f(x)的值域為{0};
②若函數f(x)是偶函數，則f(|x|)=f(x);
③若函數f(x)在其定義域內不是單調函數，則f(x)不存在反函數;
④若函數f(x)存在反函數f﹣1(x)，且f﹣1(x)與f(x)不完全相同，則f(x)與f﹣1(x)圖象的公共點必在直線y=x上;
其中真命題的序號是 ①② .(寫出所有真命題的序號)
【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.
【分析】①函數f(x)既是奇函數又是偶函數，則f(x)=0.②利用偶函數的定義和性質判斷.③利用單調函數的定義進行判斷.④利用反函數的性質進行判斷.
【解答】解：①若函數f(x)既是奇函數又是偶函數，則f(x)=0，為常數函數，所以f(x)的值域是{0}，
所以①正確.
②若函數為偶函數，則f(﹣x)=f(x)，所以f(|x|)=f(x)成立，所以②正確.
③因為函數f(x)= 在定義域上不單調，但函數f(x)存在反函數，所以③錯誤.
④原函數圖象與其反函數圖象的交點關于直線y=x對稱，但不一定在直線y=x上，
比如函數y=﹣ 與其反函數y=x2﹣1(x≤0)的交點坐標有(﹣1，0)，(0，1)，
顯然交點不在直線y=x上，所以④錯誤.
故答案為：①②.
【點評】本題主要考查函數的有關性質的判定和應用，要求熟練掌握相應的函數的性質，綜合性較強.
11.設向量 =(1，﹣2)， =(a，﹣1)， =(﹣b，0)，其中O為坐標原點，a>0，b>0，若A、B、C三點共線，則 + 的最小值為 8 .
【考點】基本不等式.
【分析】A、B、C三點共線，則 =λ ，化簡可得2a+b=1.根據 + =( + )(2a+b)，利用基本不等式求得它的最小值
【解答】解：向量 =(1，﹣2)， =(a，﹣1)， =(﹣b，0)，其中O為坐標原點，a>0，b>0，
∴ = ﹣ =(a﹣1，1)， = ﹣ =(﹣b﹣1，2)，
∵A、B、C三點共線，
∴ =λ ，
∴ ，
解得2a+b=1，
∴ + =( + )(2a+b)=2+2+ + ≥4+2 =8，當且僅當a= ，b= ，取等號，
故 + 的最小值為8，
故答案為：8
【點評】本題主要考查兩個向量共線的性質，兩個向量坐標形式的運算，基本不等式的應用，屬于中檔題.
12.如圖，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面邊長為2cm，高為5cm，一質點自A點出發，沿著三棱柱的側面繞行兩周到達A1點的最短路線的長為 13 cm.
【考點】多面體和旋轉體表面上的最短距離問題.
【分析】將三棱柱展開兩次如圖，不難發現最短距離是六個矩形對角線的連線，正好相當于繞三棱柱轉兩次的最短路徑.
【解答】解：將正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿側棱展開，再拼接一次，其側面展開圖如圖所示，
在展開圖中，最短距離是六個矩形對角線的連線的長度，也即為三棱柱的側面上所求距離的最小值.
由已知求得矩形的長等于6×2=12，寬等于5，由勾股定理d= =13
故答案為：13.
【點評】本題考查棱柱的結構特征，空間想象能力，幾何體的展開與折疊，體現了轉化(空間問題轉化為平面問題，化曲為直)的思想方法.
二、選擇題(共4小題，每小題5分，滿分20分)
13.“x<2”是“x2<4”的( )
A.充分非必要條件 B.必要非充分條件
C.充要條件 D.既非充分也非必要條件
【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.
【分析】先求出x2<4的充要條件，結合集合的包含關系判斷即可.
【解答】解：由x2<4，解得：﹣2
故x<2是x2<4的必要不充分條件，
故選：B.
【點評】本題考察了充分必要條件，考察集合的包含關系，是一道基礎題.
14.若無窮等差數列{an}的首項a1<0，公差d>0，{an}的前n項和為Sn，則以下結論中一定正確的是( )
A.Sn單調遞增 B.Sn單調遞減 C.Sn有最小值 D.Sn有最大值
【考點】等差數列的前n項和.
【分析】Sn=na1+ d= n2+ n，利用二次函數的單調性即可判斷出結論.
【解答】解：Sn=na1+ d= n2+ n，
∵ >0，∴Sn有最小值.
故選：C.
【點評】本題考查了等差數列的求和公式、二次函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.
15.給出下列命題：
(1)存在實數α使 .
(2)直線 是函數y=sinx圖象的一條對稱軸.
(3)y=cos(cosx)(x∈R)的值域是[cos1，1].
(4)若α，β都是第一象限角，且α>β，則tanα>tanβ.
其中正確命題的題號為( )
A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)
【考點】正弦函數的定義域和值域;兩角和與差的正弦函數;正弦函數的對稱性;余弦函數的定義域和值域.
【分析】(1)利用輔助角公式將 可判斷(1);
(2)根據函數y=sinx圖象的對稱軸方程可判斷(2);
(3)根據余弦函數的性質可求出y=cos(cosx)(x∈R)的最大值與最小值，從而可判斷(3)的正誤;
(4)用特值法令α，β都是第一象限角，且α>β，可判斷(4).
【解答】解：(1)∵ ，∴(1)錯誤;
(2)∵y=sinx圖象的對稱軸方程為 ，k=﹣1， ，∴(2)正確;
(3)根據余弦函數的性質可得y=cos(cosx)的最大值為ymax=cos0=1，ymin=cos(cos1)，其值域是[cos1，1]，(3)正確;
(4)不妨令 ，滿足α，β都是第一象限角，且α>β，但tanα
故選B.
【點評】本題考查正弦函數與余弦函數、正切函數的性質，著重考查學生綜合運用三角函數的性質分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題.
16.如果對一切實數x、y，不等式 ﹣cos2x≥asinx﹣ 恒成立，則實數a的取值范圍是( )
A.(﹣∞， ] B.[3，+∞) C.[﹣2 ，2 ] D.[﹣3，3]
【考點】函數恒成立問題.
【分析】將不等式 ﹣cos2x≥asinx﹣ 恒成立轉化為 + ≥asinx+1﹣sin2x恒成立，構造函數f(y)= + ，利用基本不等式可求得f(y)min=3，于是問題轉化為asinx﹣sin2x≤2恒成立.通過對sinx>0、sinx<0、sinx=0三類討論，
可求得對應情況下的實數a的取值范圍，最后取其交集即可得到答案.
【解答】解：∀實數x、y，不等式 ﹣cos2x≥asinx﹣ 恒成立⇔ + ≥asinx+1﹣sin2x恒成立，
令f(y)= + ，
則asinx+1﹣sin2x≤f(y)min，
當y>0時，f(y)= + ≥2 =3(當且僅當y=6時取“=”)，f(y)min=3;
當y<0時，f(y)= + ≤﹣2 =﹣3(當且僅當y=﹣6時取“=”)，f(y)max=﹣3，f(y)min不存在;
綜上所述，f(y)min=3.
所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立.
①若sinx>0，a≤sinx+ 恒成立，令sinx=t，則0
由于g′(t)=1﹣ <0，
所以，g(t)=t+ 在區間(0，1]上單調遞減，
因此，g(t)min=g(1)=3，
所以a≤3;
②若sinx<0，則a≥sinx+ 恒成立，同理可得a≥﹣3;
③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R;
綜合①②③，﹣3≤a≤3.
故選：D.
【點評】本題考查恒成立問題，將不等式 ﹣cos2x≥asinx﹣ 恒成立轉化為 + ≥asinx+1﹣sin2x恒成立是基礎，令f(y)= + ，求得f(y)min=3是關鍵，也是難點，考查等價轉化思想、分類討論思想的綜合運用，屬于難題.
三、解答題(共5小題，滿分76分)
17.(14分)(2017•上海一模)如圖，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD與平面BCD所成的角為30°，且AB=BC=2;
(1)求三棱錐A﹣BCD的體積;
(2)設M為BD的中點，求異面直線AD與CM所成角的大小(結果用反三角函數值表示).
【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積;異面直線及其所成的角.
【分析】(1)由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱錐A﹣BCD的體積.
(2)以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，過C作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，由此能求出異面直線AD與CM所成角的大小.
【解答】解：(1)如圖，因為AB⊥平面BCD，
所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，
因為AB⊥平面BCD，AD與平面BCD所成的角為30°，故∠ADB=30°，
由AB=BC=2，得AD=4，AC=2 ，
∴BD= =2 ，CD= =2 ，
則VA﹣BCD= = =
= .
(2)以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，過C作平面BCD的垂線為z軸，
建立空間直角坐標系，
則A(0，2，2)，D(2 ，0，0)，C(0，0，0)，B(0，2，0)，M( )，
=(2 ，﹣2，﹣2)， =( )，
設異面直線AD與CM所成角為θ，
則cosθ= = = .
θ=arccos .
∴異面直線AD與CM所成角的大小為arccos .
【點評】本題考查了直線和平面所成角的計算，考查了利用等積法求點到面的距離，變換椎體的頂點，利用其體積相等求空間中點到面的距離是較有效的方法，此題是中檔題.
18.(14分)(2017•上海一模)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且8sin2 .
(I)求角A的大小;
(II) 若a= ，b+c=3，求b和c的值.
【考點】余弦定理;解三角形.
【分析】(I)在△ABC中有B+C=π﹣A，由條件可得：4[1﹣cos(B+C)]﹣4cos2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A的值.
(II)由余弦定理 及a= ，b+c=3，解方程組求得b和c的值.
【解答】解：(I)在△ABC中有B+C=π﹣A，由條件可得：4[1﹣cos(B+C)]﹣4cos2A+2=7，(1分)
又∵cos(B+C)=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0. (4分)
解得 ，∴ .(6分)
(II)由 .(8分)
又 . (10分)
由 .(12分)
【點評】本題主要考查余弦定理，二倍角公式及誘導公式的應用，屬于中檔題.
19.(14分)(2017•上海一模)某地要建造一個邊長為2(單位：km)的正方形市民休閑公園OABC，將其中的區域ODC開挖成一個池塘，如圖建立平面直角坐標系后，點D的坐標為(1，2)，曲線OD是函數y=ax2圖象的一部分，對邊OA上一點M在區域OABD內作一次函數y=kx+b(k>0)的圖象，與線段DB交于點N(點N不與點D重合)，且線段MN與曲線OD有且只有一個公共點P，四邊形MABN為綠化風景區：
(1)求證：b=﹣ ;
(2)設點P的橫坐標為t，①用t表示M、N兩點坐標;②將四邊形MABN的面積S表示成關于t的函數S=S(t)，并求S的最大值.
【考點】函數模型的選擇與應用.
【分析】(1)根據函數y=ax2過點D，求出解析式y=2x2;由 ，消去y得△=0即可證明b=﹣ ;
(2)寫出點P的坐標(t，2t2)，代入①直線MN的方程，用t表示出直線方程為y=4tx﹣2t2，令y=0，求出M的坐標;令y=2求出N的坐標;
②將四邊形MABN的面積S表示成關于t的函數S(t)，利用基本不等式求出S的最大值.
【解答】(1)證明：函數y=ax2過點D(1，2)，
代入計算得a=2，
∴y=2x2;
由 ，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，
由線段MN與曲線OD有且只有一個公共點P，
得△=(﹣k)2﹣4×2×b=0，
解得b=﹣ ;
(2)解：設點P的橫坐標為t，則P(t，2t2);
①直線MN的方程為y=kx+b，
即y=kx﹣ 過點P，
∴kt﹣ =2t2，
解得k=4t;
y=4tx﹣2t2
令y=0，解得x= ，∴M( ，0);
令y=2，解得x= + ，∴N( + ，2);
②將四邊形MABN的面積S表示成關于t的函數為
S=S(t)=2×2﹣ ×2×[ +( + )]=4﹣(t+ );
由t+ ≥2• = ，當且僅當t= ，即t= 時“=”成立，
所以S≤4﹣2 ;即S的最大值是4﹣ .
【點評】本題考查了函數模型的應用問題，也考查了閱讀理解能力，是綜合性題目.
20.(16分)(2017•上海一模)已知函數f(x)=9x﹣2a•3x+3：
(1)若a=1，x∈[0，1]時，求f(x)的值域;
(2)當x∈[﹣1，1]時，求f(x)的最小值h(a);
(3)是否存在實數m、n，同時滿足下列條件：①n>m>3;②當h(a)的定義域為[m，n]時，其值域為[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，請說明理由.
【考點】函數的最值及其幾何意義;函數的值域.
【分析】(1)設t=3x，則φ(t)=t2﹣2at+3=(t﹣a)2+3﹣a2，φ(t)的對稱軸為t=a，當a=1時，即可求出f(x)的值域;
(2)由函數φ(t)的對稱軸為t=a，分類討論當a< 時，當 ≤a≤3時，當a>3時，求出最小值，則h(a)的表達式可求;
(3)假設滿足題意的m，n存在，函數h(a)在(3，+∞)上是減函數，求出h(a)的定義域，值域，然后列出不等式組，求解與已知矛盾，即可得到結論.
【解答】解：(1)∵函數f(x)=9x﹣2a•3x+3，
設t=3x，t∈[1，3]，
則φ(t)=t2﹣2at+3=(t﹣a)2+3﹣a2，對稱軸為t=a.
當a=1時，φ(t)=(t﹣1)2+2在[1，3]遞增，
∴φ(t)∈[φ(1)，φ(3)]，
∴函數f(x)的值域是：[2，6];
(Ⅱ)∵函數φ(t)的對稱軸為t=a，
當x∈[﹣1，1]時，t∈[ ，3]，
當a< 時，ymin=h(a)=φ( )= ﹣ ;
當 ≤a≤3時，ymin=h(a)=φ(a)=3﹣a2;
當a>3時，ymin=h(a)=φ(3)=12﹣6a.
故h(a)= ;
(Ⅲ)假設滿足題意的m，n存在，∵n>m>3，∴h(a)=12﹣6a，
∴函數h(a)在(3，+∞)上是減函數.
又∵h(a)的定義域為[m，n]，值域為[m2，n2]，
則 ，
兩式相減得6(n﹣m)=(n﹣m)•(m+n)，
又∵n>m>3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，與n>m>3矛盾.
∴滿足題意的m，n不存在.
【點評】本題主要考查二次函數的值域問題，二次函數在特定區間上的值域問題一般結合圖象和單調性處理，是中檔題.
21.(18分)(2017•上海一模)已知無窮數列{an}的各項都是正數，其前n項和為Sn，且滿足：a1=a，rSn=anan+1﹣1，其中a≠1，常數r∈N;
(1)求證：an+2﹣an是一個定值;
(2)若數列{an}是一個周期數列(存在正整數T，使得對任意n∈N*，都有an+T=an成立，則稱{an}為周期數列，T為它的一個周期，求該數列的最小周期;
(3)若數列{an}是各項均為有理數的等差數列，cn=2•3n﹣1(n∈N*)，問：數列{cn}中的所有項是否都是數列{an}中的項?若是，請說明理由，若不是，請舉出反例.
【考點】數列遞推式.
【分析】(1)由rSn=anan+1﹣1，利用迭代法得：ran+1=an+1(an+2﹣an)，由此能夠證明an+2﹣an為定值.
(2)當n=1時，ra=aa2﹣1，故a2= ，根據數列是隔項成等差，寫出數列的前幾項，再由r>0和r=0兩種情況進行討論，能夠求出該數列的周期.
(3)因為數列{an}是一個有理等差數列，所以a+a=r=2(r+ )，化簡2a2﹣ar﹣2=0，解得a是有理數，由此入手進行合理猜想，能夠求出Sn.
【解答】(1)證明：∵rSn=anan+1﹣1，①
∴rSn+1=an+1an+2﹣1，②
②﹣①，得：ran+1=an+1(an+2﹣an)，
∵an>0，∴an+2﹣an=r.
(2)解：當n=1時，ra=aa2﹣1，∴a2= ，
根據數列是隔項成等差，寫出數列的前幾項：a，r+ ，a+r，2r+ ，a+2r，3r+ ，….
當r>0時，奇數項和偶數項都是單調遞增的，所以不可能是周期數列，
∴r=0時，數列寫出數列的前幾項：a， ，a， ，….
所以當a>0且a≠1時，該數列的周期是2，
(3)解：因為數列{an}是一個有理等差數列，a+a+r=2(r+ )，
化簡2a2﹣ar﹣2=0，a= 是有理數.
設 =k，是一個完全平方數，
則r2+16=k2，r，k均是非負整數r=0時，a=1，an=1，Sn=n.
r≠0時(k﹣r)(k+r)=16=2×8=4×4可以分解成8組，
其中只有 ，符合要求，
此時a=2，an= ，Sn= ，
∵cn=2•3n﹣1(n∈N*)，an=1時，不符合，舍去.
an= 時，若2•3n﹣1= ，則：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2時，k= ，不是整數，
因此數列{cn}中的所有項不都是數列{an}中的項.
【點評】本題考查了數列遞推關系、等差數列的定義與通項公式、數列的周期性性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題.
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