湖北省高三數(shù)學(xué)一模試卷及答案

　　A.(﹣1，2) B.(﹣1，0) C.(0，1) D.(1，2)

　　【考點】并集及其運算.

　　【專題】計算題;集合思想;定義法;集合.

　　【分析】由A與B，求出兩集合的并集即可.

　　【解答】解：集合A={x|﹣1

　　則A∪B=(﹣1，2)，

　　故選：A.

　　【點評】此題考查了并集及其運算，熟練掌握并集的定義是解本題的關(guān)鍵.

　　2.cos( ﹣φ)= ，且|φ|< ，則tanφ為(　　)

　　A.﹣ B. C.﹣ D.

　　【考點】運用誘導(dǎo)公式化簡求值;三角函數(shù)的化簡求值.

　　【專題】三角函數(shù)的求值.

　　【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡已知表達式，通過同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求解即可.

　　【解答】解：cos( ﹣φ)= ，且|φ|< ，

　　所以sinφ=﹣ ，φ ，

　　cosφ= = ，

　　tanφ= = .

　　故選：C.

　　【點評】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計算能力.

　　3.設(shè)a=2﹣2， ，c=log25，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)

　　A.a

　　【考點】對數(shù)值大小的比較.

　　【專題】計算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

　　【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.

　　【解答】解：∵a=2﹣2= ，1=30< = <2，

　　c=log25>log24=2，

　　∴a

　　故選：D.

　　【點評】本題考查三個數(shù)的大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的合理運用.

　　4.函數(shù)f(x)=lnx﹣ 的零點所在的區(qū)間是(　　)

　　A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(e，+∞)

　　【考點】函數(shù)零點的判定定理.

　　【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

　　【分析】根據(jù)函數(shù)零點的判斷條件，即可得到結(jié)論.

　　【解答】解：∵f(x)=lnx﹣ ，則函數(shù)f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，

　　∵f(2)=ln2﹣1<0，f(3)=ln3﹣ >0，

　　∴f(2)f(3)<0，

　　在區(qū)間(2，3)內(nèi)函數(shù)f(x)存在零點，

　　故選：B

　　【點評】本題主要考查方程根的存在性，利用函數(shù)零點的條件判斷零點所在的區(qū)間是解決本題的關(guān)鍵.

　　5.已知{an}是等差數(shù)列，公差d不為零，且a3+a9=a10﹣a8，則a5=(　　)

　　A.﹣1 B.0 C.1 D.2

　　【考點】等差數(shù)列的通項公式.

　　【專題】計算題;函數(shù)思想;數(shù)學(xué)模型法;等差數(shù)列與等比數(shù)列.

　　【分析】由已知條件利用等差數(shù)列通項公式得到a1=﹣4d，由此能求出a5的值.

　　【解答】解：在等差數(shù)列{an}中，由a3+a9=a10﹣a8，且公差d不為零，

　　得a1+2d+a1+8d=a1+9d﹣a1﹣7d，

　　解得a1=﹣4d，

　　∵d≠0，

　　∴a5=a1+4d=﹣4d+4d=0.

　　故選：B.

　　【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用，是基礎(chǔ)題.

　　6.已知x，y滿足約束條件 ，則z=2x+y的最大值為(　　)

　　A.3 B.﹣3 C.1 D.

　　【考點】簡單線性規(guī)劃.

　　【專題】計算題.

　　【分析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，z=2x+y表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域直線在y軸上的截距最大值即可.

　　【解答】解：作圖

　　易知可行域為一個三角形，

　　當(dāng)直線z=2x+y過點A(2，﹣1)時，z最大是3，

　　故選A.

　　【點評】本小題是考查線性規(guī)劃問題，本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題.

　　7.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)，若f(x)的圖象向左平移 個單位所得的圖象與f(x)的圖象右平移 個單位所得的圖象重合，則ω的最小值為(　　)

　　A.2 B.3 C.4 D.5

　　【考點】函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換.

　　【專題】計算題;轉(zhuǎn)化思想;數(shù)形結(jié)合法;三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

　　【分析】由題意將f(x)的圖象向左平移 個單位所得的圖象與f(x)的圖象右平移 個單位所得的圖象重合，說明兩個函數(shù)相位差是2π的整數(shù)倍，求出ω的值即可.

　　【解答】解：∵將函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖象向左平移 個單位，所得的圖象解析式為：y=sin(ωx+ ω+φ)，

　　將函數(shù)f(x)的圖象右平移 個單位所得的圖象解析式為：y=y=sin(ωx﹣ ω+φ)，

　　若所得圖象重合，

　　∴ ω+ ω=2kπ，k∈Z，解得ω=4k，k∈Z，

　　∵ω>0，可解得ω的最小值為4.

　　故選：C.

　　【點評】本題考查三角函數(shù)的周期、圖象變換等基礎(chǔ)知識，相位差是函數(shù)周期的整數(shù)倍，是本題解題關(guān)鍵.

　　8.數(shù)列{an}滿足 ，則數(shù)列{log2an}的前10項和S10=(　　)

　　A.55 B.50 C.45 D.40

　　【考點】等比數(shù)列的前n項和;等比關(guān)系的確定.

　　【專題】計算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;等差數(shù)列與等比數(shù)列.

　　【分析】由已知得{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，從而 ，進而log2an=n，由此能求出數(shù)列{log2an}的前10項和S10.

　　【解答】解：∵數(shù)列{an}滿足 ，

　　∴{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，

　　∴ ，∴log2an=n，

　　∴數(shù)列{log2an}的前10項和S10=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55.

　　故選：A.

　　【點評】本題考查數(shù)列的前10項和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)和對數(shù)性質(zhì)的合理運用.

　　9.△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且sinA+cosA= ，a=7，3sinB=5sinC，則b+c的值為(　　)

　　A.12 B.8 C.8 D.8

　　【考點】正弦定理;余弦定理.

　　【專題】計算題;數(shù)形結(jié)合;數(shù)形結(jié)合法;解三角形.

　　【分析】將sinA+cosA= 兩邊平方，可解得sin2A=﹣ ，結(jié)合范圍0

　　【解答】解：∵sinA+cosA= ，

　　∴兩邊平方，可得：1+sin2A= ，解得：sin2A=﹣ ，

　　∵0

　　∴解得：A= 或 (由sinA+cosA= 舍去)，可得：cosA=﹣ ，

　　∵3sinB=5sinC，可得：3b=5c①，

　　∴由a=7，根據(jù)余弦定理可得：49=b2+c2﹣2bccosA，

　　∴49=b2+c2+bc②，

　　∴由①②可解得：b=5，c=3，b+c=8.

　　故選：D.

　　【點評】本題主要考查了二倍角的正弦函數(shù)公式，正弦定理，余弦定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握和靈活應(yīng)用相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

　　10.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0，|ϕ|< )的部分圖象如圖，且過點 ，則以下結(jié)論不正確的是(　　)

　　A.f(x)的圖象關(guān)于直線 對稱

　　B.f(x)的圖象關(guān)于點 對稱

　　C.f(x) 在 上是增函數(shù)

　　D.f(x) 在 上是減函數(shù)

　　【考點】由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式.

　　【專題】計算題;數(shù)形結(jié)合;數(shù)形結(jié)合法;三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

　　【分析】由圖象可得A=2，由圖象過點B(0，﹣1)，即2sinϕ=﹣1，結(jié)合|ϕ|< ，解得ϕ=﹣ .由圖象過點A( ，0)，可得2sin( ω﹣ )=0，解得：ω= k+ ，k∈Z，解析式可為f(x)=2sin( x﹣ )，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可逐一求解.

　　【解答】解：函數(shù)f(x)=Asin(ωx+ϕ)圖象最高點的縱坐標(biāo)為2，所以A=2，

　　∵圖象過點B(0，﹣1)，

　　∴2sinϕ=﹣1，

　　∴ϕ=2kπ+ ，k∈Z，或ϕ=2kπ+ ，k∈Z

　　∵|ϕ|< ，

　　∴ϕ=﹣ .

　　∵圖象過點A( ，0)，

　　∴2sin( ω﹣ )=0，解得：ω= k+ ，k∈Z.

　　∴k=0時，可得：ω= ，故所求解析式為f(x)=2sin( x﹣ ).

　　則：A，由2sin[ ×(﹣ )﹣ ]=﹣2sin ≠±2，故錯誤;

　　B，2sin( × ﹣ )=﹣2sin ≠0，故錯誤;

　　C，由2k ≤ x﹣ ≤2kπ ，解得單調(diào)遞增區(qū)間為：[7kπ﹣ ，7kπ+ ]，k∈Z，當(dāng)k=0時， ⊂[﹣ ， ]，故正確;

　　D，由2k ≤ x﹣ ≤2kπ+ ，解得單調(diào)遞減區(qū)間為：[7kπ+ ，7kπ+ ]，k∈Z，當(dāng)k=0時，單調(diào)遞減區(qū)間為[ ， ]，故錯誤.

　　故選：C.

　　【點評】本題主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了計算能力，屬于中檔題.

　　11.設(shè)a>b>0，當(dāng)a2+ 取得最小值時，函數(shù)f(x)= +bsin2x的最小值為(　　)

　　A.3 B.2 C.5 D.4

　　【考點】基本不等式.

　　【專題】計算題;轉(zhuǎn)化思想;分析法;不等式.

　　【分析】根據(jù)基本不等求出a，b的值，再利用換元法，求出f(t)的最小值即可.

　　【解答】解：a2+ =a2+b2﹣ab+b(a﹣b)+ ≥2ab﹣ab+2 =ab+4，

　　∴f(x)= +bsin2x≥2 ，

　　∵b(a﹣b)≤ = ，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時取等號，

　　∴a2+ ≥a2+ ≥2 =8，當(dāng)且僅當(dāng)a2=4時，即a=2時取等號，此時b=1，

　　∴f(x)= +bsin2x= +sin2x，

　　設(shè)sin2x=t，則t∈(0，1]，

　　∴y= +t，

　　∴y= +t在(0，1]上單調(diào)遞減，

　　∴ymin= +1=3，

　　故選：A.

　　【點評】本題考查了基本不等式的應(yīng)用和函數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系，屬于中檔題.

　　12.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)f(x)+f(2﹣x)=0.當(dāng)x∈[0，1]時f(x)=x2﹣1，若關(guān)于x的方程f(x)﹣kx=0恰有三個不同的實數(shù)解，則正實數(shù)k的取值范圍是(　　)

　　A.(5﹣2 ，4﹣ ) B.(8﹣2 ，4﹣2 ) C.(5﹣2 ，4﹣2 ) D.(8﹣2 ，4﹣ )

　　【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷.

　　【專題】數(shù)形結(jié)合;分類討論;函數(shù)思想;數(shù)形結(jié)合法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

　　【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性求出函數(shù)的周期，以及函數(shù)的解析式，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)與y=kx有三個不同的交點，利用數(shù)形結(jié)合，以及直線和拋物線相切的等價條件，利用判別式△=0，進行求解即可.

　　【解答】解：∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)f(x)+f(2﹣x)=0.

　　∴f(x)=﹣f(2﹣x)=﹣f(x﹣2)，

　　即f(x+2)=﹣f(x)，

　　則f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x)，

　　即函數(shù)的周期是4的周期函數(shù)，

　　若x∈[﹣1，0]時，則﹣x∈[0，1]時，此時f(﹣x)=x2﹣1=f(x)，

　　即f(x)=x2﹣1，x∈[﹣1，0]，

　　綜上f(x)=x2﹣1，x∈[﹣1，1]，

　　若x∈[﹣2，﹣1]時，則x+2∈[0，1]，

　　則由f(x+2)=﹣f(x)，得f(x)=﹣f(x+2)=﹣[(x+2)2﹣1]=1﹣(x+2)2，x∈[﹣2，﹣1]

　　若x∈[1，2]時，則﹣x∈[﹣2，﹣1]時，

　　則f(﹣x)=1﹣(﹣x+2)2=1﹣(x﹣2)2=f(x)，

　　即f(x)=1﹣(x﹣2)2，x∈[1，2]，

　　即函數(shù)在一個周期[﹣2，2]上的解析式為f(x)= ，

　　若關(guān)于x的方程f(x)﹣kx=0恰有三個不同的實數(shù)解，

　　等價為f(x)=kx=0恰有三個不同的實數(shù)解，

　　即函數(shù)f(x)與y=kx有三個不同的交點，

　　作出函數(shù)f(x)和y=kx的圖象如圖：

　　當(dāng)x∈[1，2]時，由f(x)=1﹣(x﹣2)2=kx，得x2+(k﹣4)x+3=0，

　　由判別式△=(k﹣4)2﹣12=0得k﹣4=±2 ，即k=4±2 ，

　　由1< <2，解得0

　　則k=4﹣2 ，此時兩個函數(shù)有2個交點.

　　當(dāng)x∈[﹣4，﹣3]時，x+4∈[0，1]時，

　　則f(x)=f(x+4)=(x+4)2﹣1，x∈[﹣4，﹣3]，

　　此時當(dāng)f(x)與y=kx相切時，即(x+4)2﹣1=kx，

　　即x2+(8﹣k)x+15=0，

　　判別式△=(8﹣k)2﹣4×15=0得k﹣8=±2 ，即k=8±2 ，

　　由﹣4<﹣ <﹣3，得0

　　即k=8﹣2 ，此時兩個函數(shù)有4個交點.

　　故若關(guān)于x的方程f(x)﹣kx=0恰有三個不同的實數(shù)解，則正實數(shù)k滿足8﹣2

　　故選：B

　　【點評】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的關(guān)系求出函數(shù)的周期性和解析式，利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象交點問題是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強，難度較大.

　　二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡中相應(yīng)的橫線上

　　13.函數(shù) 的定義域為　[﹣2，0)∪(3，5]　.

　　【考點】函數(shù)的定義域及其求法.

　　【專題】對應(yīng)思想;定義法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

　　【分析】根據(jù)函數(shù) ，列出使函數(shù)有意義的不等式，求出解集即可.

　　【解答】解：∵函數(shù) ，

　　∴1﹣lg(x2﹣3x)≥0，

　　即lg(x2﹣3x)≤1，

　　∴0

　　解得﹣2≤x<0或3

　　∴函數(shù)f(x)的定義域為[﹣2，0)∪(3，5].

　　故答案為：[﹣2，0)∪(3，5].

　　【點評】本題考查了對數(shù)函數(shù)的定義域，解題時要認真審題，注意對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的靈活運用與等價轉(zhuǎn)化，是基礎(chǔ)題.

　　14.在等比數(shù)列{an}中，a1=1，a2a4=16，則a7=　64　.

　　【考點】等比數(shù)列的通項公式.

　　【專題】計算題;函數(shù)思想;數(shù)學(xué)模型法;等差數(shù)列與等比數(shù)列.

　　【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知求得a3=4，進一步求得公比，再代入等比數(shù)列的通項公式求得a7.

　　【解答】解：在等比數(shù)列{an}中，由a2a4=16，

　　得 ，則a3=4(與a1同號)，

　　則 ，

　　∴ .

　　故答案為：64.

　　【點評】本題考查等比數(shù)列的通項公式，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計算題.

　　15.若函數(shù) (a>0，a≠1)的值域是(﹣∞，﹣1]，則實數(shù)a的取值范圍是　[ ，1)　.

　　【考點】函數(shù)的值域.

　　【專題】函數(shù)思想;綜合法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

　　【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出f(x)在(﹣∞，2]的最大值，從而判斷出a的范圍即可.

　　【解答】解：x≤2時：f(x)=﹣x2+2x﹣2=﹣(x﹣1)2﹣1，

　　對稱軸x=1，f(x)在(﹣∞，1)遞增，在(1，2]遞減;

　　∴f(x)的最大值是﹣1，而f(x)的值域是(﹣∞，﹣1]，

　　故0

　　∴ ≤﹣1，解得：a≥ ，

　　故答案為：[ ，1).

　　【點評】本題考查了分段函數(shù)問題，考查二次函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題.

　　16.已知函數(shù) ，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣2，a]上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是　[1，+∞)　.

　　【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

　　【專題】分類討論;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

　　【分析】f′(x)=x2+2x+a，由于函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣2，a]上單調(diào)遞增，可得：f′(x)≥0在區(qū)間[﹣2，a]上恒成立.令g(x)=(x+1)2+a﹣1，x∈[﹣2，a].對a分類討論即可得出.

　　【解答】解：f′(x)=x2+2x+a，

　　∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣2，a]上單調(diào)遞增，

　　∴f′(x)=x2+2x+a≥0在區(qū)間[﹣2，a]上恒成立.

　　令g(x)=x2+2x+a，x∈[﹣2，a].

　　g(x)=(x+1)2+a﹣1，

　　①當(dāng)﹣2

　　②當(dāng)﹣1≤a時，函數(shù)g(x)在x=﹣1時取得最小值，∴必有g(shù)(x)≥g(﹣1)=1﹣2+a≥0，解得a≥﹣1，滿足條件.

　　綜上可得：a≥﹣1.

　　∴實數(shù)a的取值范圍是[﹣1，+∞).

　　故答案為：[﹣1，+∞).

　　【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、二次函數(shù)的單調(diào)性、恒成立轉(zhuǎn)化問題，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題.

　　三、解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

　　17.已知函數(shù)f(x)= .

　　(1)當(dāng) 時，求函數(shù)f(x)的取值范圍;

　　(2)將f(x)的圖象向左平移 個單位得到函數(shù)g(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

　　【考點】函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換;三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用;正弦函數(shù)的圖象.

　　【專題】計算題;數(shù)形結(jié)合;數(shù)形結(jié)合法;三角函數(shù)的求值;三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

　　【分析】(1)利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可求f(x)=sin(2x﹣ )，由 ，可求2x﹣ ∈[﹣ ， ]，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求f(x)的取值范圍.

　　(2)根據(jù)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換可求g(x)=f(x+ )=sin(2x+ )，令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，即可解得g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

　　【解答】解：(1)∵f(x)= = =sin(2x﹣ )，

　　∵ 時，2x﹣ ∈[﹣ ， ]，

　　∴sin(2x﹣ )∈[﹣ ，1].

　　∴函數(shù)f(x)的取值范圍為：[﹣ ，1]…6分

　　(2)∵g(x)=f(x+ )=sin[2(x+ )﹣ ]=sin(2x+ )，

　　∴令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，即可解得g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[k ，kπ+ ]，k∈Z…12分

　　【點評】本題主要考查了函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，屬于中檔題.

　　18.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且 = ，sin(B﹣A)+cos(A+B)=0.

　　(1)求sinB的值;

　　(2)若△ABC的面積為3+ ，求a，c的值.

　　【考點】解三角形.

　　【專題】計算題;分類討論;分類法;解三角形.

　　【分析】(1)將sin(B﹣A)+cos(A+B)=0化簡得(sinB+cosB)(cosA﹣sinA)=0，然后分情況討論解出B和A要注意角的范圍.

　　(2)借助于(1)中的結(jié)論，利用正弦定理得出 = = ，由面積公式得出ac= =4 ，聯(lián)立方程組即可解出答案.

　　【解答】解：(1)∵sin(B﹣A)+cos(A+B)=0.

　　∴sinBcosA﹣cosBsinA+cosAcosB﹣sinAsinB=0

　　cosA(sinB+cosB)﹣sinA(sinB+cosB)=0

　　(sinB+cosB)(cosA﹣sinA)=0

　　①若sinB+cosB=0，則sinB= ，cosB=﹣ ，B= ，C= ﹣A

　　∵ = ，

　　∴ = ，

　　即 = ，

　　整理得： cos2A﹣ sin2A﹣ sinAcosA=cosA.

　　∴ cos2A﹣ sin2A=cosA，

　　即cos(2A+ )=cosA

　　∴2A+ =A+2kπ或2A+ =﹣A+2kπ.k∈Z.

　　∴A=2kπ﹣ 或A=

　　又∵0 ，

　　∴上式無解.

　　②若cosA﹣sinA=0，則sinA=cosA= ，A= ，C= ﹣B.

　　∵ = ，

　　∴ = ，

　　即 = ，

　　整理得： ﹣ + sinBcosB+cosB=0

　　∴ + sin2B=﹣cosB，

　　即sin(2B+ )=﹣sin( )=sin(B﹣ )，

　　∴2B+ =B﹣ +2kπ或2B+ =π﹣(B﹣ )+2kπ.k∈Z.

　　∴B=2kπ﹣ 或B= + .

　　又∵0

　　∴B= .

　　∴sinB=sin( + )= = .

　　(2)由(1)可知A= ，B= ，∴C= .

　　∵S= acsinB=3+ ，

　　∴ac= =4 .

　　∵ = ，

　　∴ = = ，

　　∴a=2 ，c=2 .

　　【點評】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，解三角形，涉及分情況討論思想.

　　19.已知數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn，且a1=1，anan+1=2Sn.(n∈N*)

　　(1)求數(shù)列{an}的通項公式;

　　(2)求數(shù)列{ }的前n項和Tn.

　　【考點】數(shù)列的求和;數(shù)列遞推式.

　　【專題】計算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;等差數(shù)列與等比數(shù)列.

　　【分析】(1)當(dāng)n=1時，求出a2=2，當(dāng)n≥2時，求出an+1﹣an﹣1=2，由此能求出an=n，n∈N*.

　　(2)由an=n， =n•2n，利用錯位相減法能求出數(shù)列{ }的前n項和.

　　【解答】解：(1)∵數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn，且a1=1，anan+1=2Sn.(n∈N*)，

　　∴當(dāng)n=1時，a1a2=2a1，解得a2=2，

　　當(dāng)n≥2時，an﹣1an=2Sn﹣1，an(an+1﹣an﹣1)=2an，

　　∵an>0，∴an+1﹣an﹣1=2，

　　∴a1，a3，…，a2n﹣1，…，是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，a2n﹣1=2n﹣1，

　　a2，a4，…，a2n，…，是以2為首項，2為公差的等差數(shù)，a2n=2n，

　　∴an=n，n∈N*.

　　(2)∵an=n， =n•2n，

　　∴數(shù)列{ }的前n項和：

　　Tn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，①

　　2Tn=1•22+2•23+…+(n﹣1)•2n+n•2n+1，②

　　②﹣①，得：

　　Tn=n•2n+1﹣(2+22+23+…+2n)

　　=n•2n+1﹣

　　=(n﹣1)•2n+1+2.

　　【點評】本題考查數(shù)列通項公式和前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用.

　　20.某基建公司年初以100萬元購進一輛挖掘機，以每年22萬元的價格出租給工程隊.基建公司負責(zé)挖掘機的維護，第一年維護費為2萬元，隨著機器磨損，以后每年的維護費比上一年多2萬元，同時該機器第x(x∈N*，x≤16)年末可以以(80﹣5x)萬元的價格出售.

　　(1)寫出基建公司到第x年末所得總利潤y(萬元)關(guān)于x(年)的函數(shù)解析式，并求其最大值;

　　(2)為使經(jīng)濟效益最大化，即年平均利潤最大，基建公司應(yīng)在第幾年末出售挖掘機?說明理由.

　　【考點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用.

　　【專題】函數(shù)思想;轉(zhuǎn)化思想;數(shù)學(xué)模型法;不等式的解法及應(yīng)用.

　　【分析】(1)由題意可得總利潤y等于總收入減去總成本(固定資產(chǎn)加上維護費)，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，即可得到最大值;

　　(2)求得年平均利潤為 ，再由基本不等式，結(jié)合x為正整數(shù)，加上即可得到最大值，及對應(yīng)的x的值.

　　【解答】解：(1)y=22x+(80﹣5x)﹣100﹣(2+4+…+2x)=﹣20+17x﹣ x(2+2x)

　　=﹣x2+16x﹣20=﹣(x﹣8)2+44(x≤16，x∈N)，

　　由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)x=8時，ymax=44，

　　即有總利潤的最大值為44萬元;

　　(2)年平均利潤為 =16﹣(x+ )，設(shè)f(x)=16﹣(x+ )，x>0，

　　由x+ ≥2 =4 ，當(dāng)x=2 時，取得等號.

　　由于x為整數(shù)，且4<2 <5，f(4)=16﹣(4+5)=7，f(5)=7，

　　即有x=4或5時，f(x)取得最大值，且為7萬元.

　　故使得年平均利潤最大，基建公司應(yīng)在第4或5年末出售挖掘機.

　　【點評】本題考查二次函數(shù)的模型的運用，考查最值的求法，注意運用單調(diào)性和基本不等式，考查運算能力，屬于中檔題.

　　21.已知函數(shù)f(x)滿足對于任意x>0，都有f(x)+2f( )=logax+ + (a>0，a≠1).

　　(1)求f(x)的極值;

　　(2)設(shè)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，試比較f(x)與f′(x)的大小，并說明理由.

　　【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

　　【專題】綜合題;分類討論;綜合法;導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用.

　　【分析】(1)先利用方程組思想，求出f(x)的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)，求f(x)的極值;

　　(2)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論.

　　【解答】解：(1)∵f(x)+2f( )=logax+ + ①

　　∴f( )+2f(x)=﹣logax+ + ，②

　　由①②可得f(x)=﹣logax+ ，

　　∴f′(x)=﹣ + =0，

　　∴x=1，

　　a>1時，x=1取得極小值 ;0

　　(2)設(shè)h(x)=﹣logax+ + ﹣ ，

　　則h′(x)=﹣ + ﹣ = ，

　　a>1時，x= 取得極小值，h(x)≥h( )>0，∴f(x)>f′(x);

　　0

　　【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵，屬于中檔題.

　　請考生在第(22)、(23)(24)三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑，把答案填在答題卡上.【選修4-1：平面幾何選講】

　　22.如圖，A，B，C，D四點共圓，BC，AD的延長線交于點E，點F在BA的延長線上，

　　(1)若 的值;

　　(2)若EF2=FA•FB，證明：EF∥CD.

　　【考點】與圓有關(guān)的比例線段;相似三角形的性質(zhì).

　　【專題】證明題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;推理和證明.

　　【分析】(1)推導(dǎo)出△EDC∽△EBA，由此能求出 的值.

　　(2)推導(dǎo)出△FAE∽△FEB，從而∠FEA=∠EBF，再由四點共圓，能證明EF∥CD.

　　【解答】解：(1)∵A、B、C、D四點共圓，

　　∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，

　　∴△EDC∽△EBA，∴ ，

　　= = ，

　　∴ = .

　　證明：(2)∵EF2=FA•FB，∴ ，

　　∵∠EFA=∠BFE，

　　∴△FAE∽△FEB，

　　∴∠FEA=∠EBF，

　　∵A、B、C、D四點共圓，∠EDC=∠EBF，

　　∴∠FEA=∠EDC，∴EF∥CD.

　　【點評】本題考查兩線段比值的求法，考查兩直線平行的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的簡單性質(zhì)、三角形相似的性質(zhì)的合理運用.

　　選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

　　23.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為 ，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C 的極坐標(biāo)方程為 .

　　(1)寫出直線l的普通方程及圓C 的直角坐標(biāo)方程;

　　(2)點P是直線l上的，求點P 的坐標(biāo)，使P 到圓心C 的距離最小.

　　【考點】參數(shù)方程化成普通方程;簡單曲線的極坐標(biāo)方程.

　　【專題】計算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;坐標(biāo)系和參數(shù)方程.

　　【分析】(1)由已知得t=x﹣3，從而y= ，由此能求出直線l的普通方程;由 ，得 ，由此能求出圓C的直角坐標(biāo)方程.

　　(2)圓C圓心坐標(biāo)C(0， )，設(shè)P(3+t， )，由此利用兩點間距離公式能求出點P的坐標(biāo)，使P到圓心C 的距離最小.

　　【解答】解：(1)∵在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為 ，

　　∴t=x﹣3，∴y= ，

　　整理得直線l的普通方程為 =0，

　　∵ ，∴ ，

　　∴ ，

　　∴圓C的直角坐標(biāo)方程為： .

　　(2)圓C： 的圓心坐標(biāo)C(0， ).

　　∵點P在直線l： =0上，設(shè)P(3+t， )，

　　則|PC|= = ，

　　∴t=0時，|PC|最小，此時P(3，0).

　　【點評】本題考查直線的普通方程及圓的直角坐標(biāo)方程的求法，考查直線上的點到圓心的距離最小的點的坐標(biāo)的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意兩點間距離公式的合理運用.

　　選修4-5：不等式選講

　　24.設(shè)函數(shù)f(x)=|x+1|+|2x﹣1|的最小值為a.

　　(1)求a的值;

　　(2)已知m，n>0，m+n=a，求 的最小值.

　　【考點】絕對值不等式的解法;基本不等式.

　　【專題】計算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;不等式.

　　【分析】(1)由條件化簡函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f(x)的最小值.

　　(2)根據(jù) =( + )• ，利用基本不等式求得它的最小值.

　　【解答】解：(1)函數(shù)f(x)=|x+1|+|2x﹣1|= ，故函數(shù)的減區(qū)間為(﹣∞， ]，增區(qū)間為( ，+∞)，

　　故當(dāng)x= 時，函數(shù)f(x)取得最小值為a= .

　　(2)已知m，n>0，m+n=a= ，∴ =( + )• = [1+ + +4]= + ( + )

　　≥ + •2 =6，當(dāng)且僅當(dāng) = 時，取等號，

　　故 的最小值為6.

　　【點評】本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，基本不等式的因公，屬于中檔題.

猜你喜歡：

1.2017高考數(shù)學(xué)試卷及答案

2.山西省高考數(shù)學(xué)一模試卷及答案

3.高三數(shù)學(xué)一模考試總結(jié)3篇

4.福建省高考數(shù)學(xué)一模試卷及答案

5.山東省高考數(shù)學(xué)一模試卷及答案