數學創新思維培養

時間：2020-06-02 13:03:24 巧綿0由分享

數學創新思維培養就是以強烈的創新意識進行熏陶感染，鼓勵將個人儲備的知識信息進行重新組合，從而形成一些具有較高價值的新發現、新設想。數學創新思維培養在創造性思維的形成過程中起到十分關鍵的作用，其不僅有助于扎實、牢固地掌握數學基礎知識，同時也可以借助數學知識這一載體，有效掌握正確的數學思想方法，體會數學知識的應用價值，進而樹立正確的數學觀與數學創新意識。下面就是小編給大家帶來的數學創新思維培養，希望大家喜歡！

數學創新思維培養

一、“數”“形”結合解題法的理論概述

（一）方法釋義

首先，關于解析幾何的釋義，其泛指幾何學上一個小分支，主要用代數方法研究集合對象之間的關系和性質，因此也稱作“坐標幾何”。其包括平面解析幾何和立體解析幾何兩部分，其中，平面解析幾何是二維空間上的解析幾何；立體解析幾何是三維空間上的解析幾何，而立體解析幾何則比平面解析幾何更加復雜、抽象。

其次，關于數形結合的釋義，即是把題目所給條件中的“數”與“形”一一對應，用簡單的、直觀的幾何圖形以及條件之間的位置關系把復雜的、抽象的數學語言以及條件之間的數量關系結合起來，通過形象思維與抽象思維之間的結合，以形助數，或以數解形，從而使復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，以起到優化解題途徑的目的。

（二）解題思路

在遇到解析幾何時，能清楚條件與問題之間的數量關系與位置關系，將“數”與“形”一一對應，便能夠快速找到解題突破點。事實上，當熟練掌握到數形結合方法，能夠舉一反三時，遇到的所有題目都將是同一題目了。因此，掌握數形結合思，就必須厘清下列關系：第一點，復數、三角函數等以幾何條件和幾何元素為背景建立的概念；第二點，題目所給的等式或代數方程式的結構中所含明顯的幾何意義；第三點，函數與圖象的對應關系；第四點曲線與方程的對應關系；第五點，實數與數軸上的點的對應關系。

二、“數”“形”結合法在幾何解題中的實例解析

（一）解析幾何中圓類問題

實踐證明，數形結合對速解圓類問題的幫助很大，因為在一般解題過程中，解析幾何圓類問題主要圍繞求圓與圓之間的位置關系、圓與直線的位置關系、圓的標準方程等幾方面展開。比如在判斷圓與直線的位置關系時，通過建立直角坐標系，便可以直觀地觀察到直線在圓外，但是答題需要寫出確切的答題步驟才能得分。這時就需要有“數”“形”結合解題思想的輔導——以數解形：通過計算圓心到直線的距離，距離比圓的半徑大即表明直線在圓外。這是最基本的用“數”“形”結合方式解答圓類問題。為更為詳盡的說明，下文將針對對“數”“形”結合法速解解析幾何圓類問題作出例題說明：

例題1：已知曲線y=1+√（4-x2）與直線y=k（x-2）+4交于兩個不同的點，求實數k的取值范圍。

解析：將曲線y=1+√（4-x2）變形，得x2+（y-1）2=4（1≤y≤3），可知曲線是以點A（0，1）為圓心，2為半徑的圓，但是值域y要大于1，因此是上半圓；

直線y=k（x-2）+4過定點B（2，4）；當直線繞點B按順時針旋轉至直線與圓相切，當直線與圓的一個交點在弧線MT之間都滿足題目要求，符合題意；

而交點M在直線y=1上，因此可算出M點的坐標，即M（-2，1）；

直線BM可用點斜式法計算出來，例題1kMB=3/4，即點M到點A之間的距離等于半徑；

列等式∣1+2k-4∣/√（1+k2），可解得kBT=5/12。因此，k∈（5/12，3/4]。

（二）解析幾何不等式問題

運用數形結合法解決解析幾何中的不等式問題主要是將原不等式化解，通常能化解為某個曲線方程，然后將曲線方程在數軸上表示，注意計算過程中值域與定義域，然后幾個圖形的交集就是該不等式的解集。

三、結語

基于上述可知，合理運用“數”“形”結合的方法，對于解析幾何的答題速度與準確度都有著相當大的優勢，其不僅能夠減少運算量，還能顯著節省答題時間，提高解題正確率。

高中數學考試中常用三種解題技巧

一、“構造法+函數法”的結合

而且本題還可以從另一個思路進行解答，就是運用復數模的概念，將相聯系的數據和看成一個模函數，仍然可以得到所求的結果。

二、轉換法

這種方法是體現學生的想象力及創新能力的方法，也是數學解題技巧中最富有挑戰性的方法，能將復雜的題型輔以轉換的功能，成為簡單的、易被理解的題型。比如，一個正方體平面為ABCB和A1B1C1D1，在正方體的棱長D1C1和C1B1分別設置兩點E和F為中點，AC與BD相交于P點，A1C1于EF相交于Q點，求證：（1）點D、B、F、B在同一平面上；（2）如果線段A1C通過平面DBFE，交點到R點，那么P、R、Q三點共線？

解題（1）：由題可知：線段EF是△D1B1C1的中位線，所以，EF與B1D1平行，在正方體AC1中，線段B1D1與BD平行，相應得出：線段EF與線段BD相平行，由此得出線段EF和BD在一個平面，所以可以求得點D、B、F、E在同一個平面。

解題（2）：假設平面A1ACC1為x，平面BDEF為y，由于Q點在平面AC，所以Q點也屬于平面x，為x和y的交點，同屬兩個平面的點。同理可得，點P也屬x、y的公共點，而R點是平面A1C與平面y的交點，所以，可以得到P、Q、R三點共線。

三、反證法

任何事物的結果有時順著程序去思考，往往不得要領，倘若從結果向事物開始的方向或用假設的反方向去推理，反倒會“一片洞天”。數學解題技巧也是如此。首先，假設命題結論相反的答案，順理演繹地解答，得出假設的矛盾結果，從另一側面論證了正確答案。例如，蘇教版教材必修1《函數》章節，已知函數f（x）是一項正負無限大范圍內的增函數，a、b都為實數，求證：（1）假設：（a+b）≥0，則函數式表示為：f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）成立；（2）求證（1）問中逆命題是否正確。

解題分析：（1）因為（a+b）≥0，移項后，可得：a≥-b，由于函數為單調遞增函數，則：f（a）≥f（-b），又（a+b）≥0，移項后，可得：b≥-a，f（b）≥f（-a）；兩個方程相加，得：f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），由此證明完畢。

解題（2）分析思路就是由（1）中得出的結論f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），反證得出（a+b）≥0是否成立。于是，我們先假設（a+b）<0成立，那么，移項后，分別出現兩個不等式函數，即：f（a）　　f（b）　　四、逐項消除法（也可稱：歸納法）

這種方法就是將數列前項與后項進行規律查找，逐項消除或歸納合并的方法去求得答案。在蘇教版必修5《數列》章節中，有一道習題為：求：1/2+2/3！+3/4！+4/5！+5/6！+…+（n-1）/n！的和；

解題分析：這道習題就是按照一定的規律進行遞增的集合，那么，就可以運用求和的公式，轉化為：Sn=1/1-1/2+1/2+1/3+…+1/（n-2）！-1/（n-1）！+1/（n-1）！-1/n=1-（1/n）的形式進行解答，使解題的速度效率提高。

數學解題方法多種多樣，熟練掌握解題技巧不但可以發掘出學生的創新思維，而且可以通過發散性思維激發起學生的學習興趣，將數學成為萬變的花筒，神奇又有趣，更好地培養高中生善于思考，細心觀察，不斷總結的良好習慣。既鍛煉了高中生的邏輯思維能力，又練就了他們多角度、多層次地分析問題、解決問題的能力。

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