高中數(shù)學平面向量的數(shù)量積教案設計
講授新課前，做一份完美的教案，能夠更大程度的調(diào)動學生在上課時的積極性。接下來是小編為大家整理的高中數(shù)學平面向量的數(shù)量積教案設計，希望大家喜歡!
高中數(shù)學平面向量的數(shù)量積教案設計一
《平面向量數(shù)量積》教學設計
案例名稱 平面向量數(shù)量積的設計 主備人 組員 課時 3課時 一、教材內(nèi)容分析 平面向量數(shù)量積是人教版高一下冊第五章第六節(jié)內(nèi)容，本節(jié)課是以解決某些幾何問題、物理問題等的重要工具。學習本節(jié)要掌握好數(shù)量積的定義、公式和性質(zhì)，它是考查數(shù)學能力的一個結(jié)合點，可以構建向量模型，解決函數(shù)、三角、數(shù)列、不等式、解析幾何、立體幾何中有關長度、角度、垂直、平行等問題，因此是高考命題中“在知識網(wǎng)絡處設計命題”的重要載體。 二、教學目標(知識，技能，情感態(tài)度、價值觀) (一)知識與技能目標
1、知道平面向量數(shù)量積的定義的產(chǎn)生過程，掌握其定義，了解其幾何意義;
2、能夠由定義探究平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì);
3、能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直、共線關系
(二)過程與方法目標
(1)通過物理學中同學們已經(jīng)學習過的功的概念引導學生探究出數(shù)量積的定義并由定義探究性質(zhì);
(2)由功的物理意義導出數(shù)量積的幾何意義;
(三)情感、態(tài)度與價值觀目標
通過本節(jié)的自主性學習，讓學生嘗試數(shù)學研究的過程，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學問題的能力，有助于發(fā)展學生的創(chuàng)新意識。
三、學習者特征分析 學生已經(jīng)學習了有關向量的基本概念和基礎知識，同時也已經(jīng)具備一定的自學能力，多數(shù)同學對數(shù)學的學習有相當?shù)呐d趣和積極性。但在探究問題的能力、合作交流的意識等方面發(fā)展不夠均衡，尚有待加強。 四、教學策略選擇與設計 教法：觀察法、討論法、比較法、歸納法、啟發(fā)引導法。
學法：自主探究、合作交流、歸納總結(jié)。
教師與學生互動：學生自主探究，教師引導點撥。 五、教學環(huán)境及資源準備 三角尺 六、教學過程 教學過程 教師活動 學生活動 設計意圖及資源準備
創(chuàng)設情景引入新課
問題1 在物理學中，我們學過功的概念，如果給出力的大小和位移的大小能否求出功的大小? 師】：提出學生已學過的問題設置疑問，激發(fā)學生興趣。
【生】：W=FS cos 讓學生復習已學過的物理知識激發(fā)學生興趣，并能夠分析此公式的形式。 問題2 在上述公式中的 角是誰與誰的夾角?兩向量的夾角是如何定義的? 【師】：提問 角從而引出兩向量夾角的定義。
【生】：指出 角是力與所發(fā)生的位移的夾角 能夠通過物理學中功的概念及公式中夾角的定義，從而給出兩向量夾角的定義。
師生互動探索新知
1 引出兩個向量的夾角的定義
定義：向量夾角的定義：設兩個非零向量a=OA與b=OB，稱∠AOB= 為向量a與b的夾角， (00≤θ≤1800)。
(此概念可由老師用定義的方式向?qū)W生直接接示)
【師】：給出任意兩個向量由學生作出夾角并通過作圖引導學生歸納、總結(jié)出兩向量夾角的特征及各種特殊情況。
【生】：學生作圖，任意兩向量的夾角包括垂直，同向及反向的情況。
注：(1)當非零向量a與b同方向時，θ=00
(2)當a與b反方向時θ=1800 (共線或平行時)
(3)0與其它非零向量不談夾角問題
(4)a⊥b時θ=900
(5)求兩向量夾角須將兩個向量平移至公共起點
實際應用鞏固新知
1 實際問題我能行
例1 在三角形ABC中，∠ABC=450，BA 與 BC 夾角是多少?BA 與 CB 夾角呢? 【生】：以四人為小組合作、交流。
高中數(shù)學平面向量的數(shù)量積教案設計二
一、總體設想：
本節(jié)課的設計有兩條暗線：一是圍繞物理中物體做功，引入數(shù)量積的概念和幾何意義;二是圍繞數(shù)量積的概念通過變形和限定衍生出新知識――垂直的判斷、求夾角和線段長度的公式。教學方案可從三方面加以設計：一是數(shù)量積的概念;二是幾何意義和運算律;三是兩個向量的模與夾角的計算。
二、教學目標：
1.了解向量的數(shù)量積的抽象根源。
2.了解平面的數(shù)量積的概念、向量的夾角
3.數(shù)量積與向量投影的關系及數(shù)量積的幾何意義
4.理解掌握向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運算律，并能進行相關的判斷和計算
三、重、難點：
【重點】1.平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)
2.平面向量數(shù)量積的運算律的探究和應用
【難點】平面向量數(shù)量積的應用
課時安排：
2課時
五、教學方案及其設計意圖：
1.平面向量數(shù)量積的物理背景
平面向量的數(shù)量積，其源自對受力物體在其運動方向上做功等物理問題的抽象。首先說明放置在水平面上的物體受力F的作用在水平方向上的位移是s，此問題中出現(xiàn)了兩個矢量，即數(shù)學中所謂的向量，這時物體力F的所做的功為W ，這里的(是矢量F和s的夾角，也即是兩個向量夾角的定義基礎，在定義兩個向量的夾角時，要使學生明確“把向量的起點放在同一點上”這一重要條件，并理解向量夾角的范圍。這給我們一個啟示：功是否是兩個向量某種運算的結(jié)果呢?以此為基礎引出了兩非零向量a， b的數(shù)量積的概念。
平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義
已知兩個非零向量a與b，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cos(叫a與b的數(shù)量積，記作a(b，即有a(b = |a||b|cos(，(0≤θ≤π).
并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.
零向量的方向是任意的，它與任意向量的夾角是不確定的，按數(shù)量積的定義a(b = |a||b|cos(無法得到，因此另外進行了規(guī)定。
3. 兩個非零向量夾角的概念
已知非零向量a與b，作 =a， =b，則∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a與b的夾角.
， 是記法， 是定義的實質(zhì)――它是一個實數(shù)。按照推理，當 時，數(shù)量積為正數(shù);當 時，數(shù)量積為零;當 時，數(shù)量積為負。
4.“投影”的概念
定義：|b|cos(叫做向量b在a方向上的投影。
投影也是一個數(shù)量，它的符號取決于角(的大小。當(為銳角時投影為正值;當(為鈍角時投影為負值;當(為直角時投影為0;當( = 0(時投影為 |b|;當( = 180(時投影為 (|b|. 因此投影可正、可負，還可為零。
根據(jù)數(shù)量積的定義，向量b在a方向上的投影也可以寫成
注意向量a在b方向上的投影和向量b在a方向上的投影是不同的，應結(jié)合圖形加以區(qū)分。
5.向量的數(shù)量積的幾何意義：
數(shù)量積a(b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos(的乘積.
向量數(shù)量積的幾何意義在證明分配律方向起著關鍵性的作用。其幾何意義實質(zhì)上是將乘積拆成兩部分： 。此概念也以物體做功為基礎給出。 是向量b在a的方向上的投影。
6.兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：
設a、b為兩個非零向量，則
(1) a(b ( a(b = 0;
(2)當a與b同向時，a(b = |a||b|;當a與b反向時，a(b = (|a||b|. 特別的a(a = |a|2或
(3)|a(b| ≤ |a||b|
(4) ，其中 為非零向量a和b的夾角。
例1. (1) 已知向量a ，b，滿足 ，a與b的夾角為 ，則b在a上的投影為______
(2)若 ， ，則a在b方向上投影為 _______
例2. 已知 ， ，按下列條件求
高中數(shù)學平面向量的數(shù)量積教案設計三
教材分析：
教科書以物體受力做功為背景，引出向量數(shù)量積的概念，功是一個標量，它用力和位移兩個向量來定義，反應在數(shù)學上就是向量的數(shù)量積。
向量的數(shù)量積是過去學習中沒有遇到過的一種新的乘法，與數(shù)的乘法既有區(qū)別又有聯(lián)系。教科書通過“探究”，要求學生自己利用向量的數(shù)量積定義推導有關結(jié)論。這些結(jié)論可以看成是定義的直接推論。
教材例一是對數(shù)量積含義的直接應用。
學情分析：
前面已經(jīng)學習了向量的概念及向量的線性運算，這里引入一種新的向量運算——向量的數(shù)量積，教科書以物體受力做功為背景引入向量數(shù)量積的概念，既使向量數(shù)量積運算與學生已有知識建立了聯(lián)系，又使學生看到數(shù)量積與向量模的大小有及夾角有關，同時與前面的向量運算不同，其計算結(jié)果不是向量而是數(shù)量。
三維目標：
(一)知識與技能
1、學生通過物理中“功”等實例，認識理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義，體會平面向量數(shù)量積與向量投影的關系。
2、學生通過平面向量數(shù)量積的3個重要性質(zhì)的探究，體會類比與歸納、對比與辨析等數(shù)學方法，正確熟練的應用平面向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)進行運算。
(二)過程與方法
1、學生經(jīng)歷由實例到抽象到抽象的的數(shù)學定義的形成過程，性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程，進一步感悟數(shù)學的本質(zhì)。
(三)情感態(tài)度價值觀
1、學生通過本課學習體會特殊到一般，一般到特殊的數(shù)學研究思想。
2、通過問題的解決，培養(yǎng)學生觀察問題、分析問題和解決問題的實際操作能力;培養(yǎng)學生的交流意識、合作精神;培養(yǎng)學生敘述表達自己解題思路和探索問題的能力.
四、教學重難點：
1、重點：平面向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)論證;
2、難點：平面向量數(shù)量積、向量投影的理解;
五、教具準備：多媒體、三角板
六、課時安排：1課時
七、教學過程：
(一)創(chuàng)設問題情景，引出新課
問題：請同學們回顧一下，我們已經(jīng)研究了向量的哪些運算?這些運算的結(jié)果是什么?
新課引入：本節(jié)課我們來研究學習向量的另外一種運算：平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義
新課：
1、探究一：數(shù)量積的概念
展示物理背景：視頻“力士拉車”，從視頻中抽象出下面的物理模型
背景的第一次分析：
問題：真正使汽車前進的力是什么?它的大小是多少?
答：實際上是力 在位移方向上的分力，即 ，在數(shù)學中我們給它一個名字叫投影。
“投影”的概念：作圖
定義：| |cos(叫做向量 在 方向上的投影.投影也是一個數(shù)量，不是向量;
2、背景的第二次分析：
問題：你能用文字語言表述“功的計算公式”嗎?
分析： 用文字語言表示即：力對物體所做的功，等于力的大小、位移的大小、力與位移夾角的余弦這三者的乘積;功是一個標量，它由力和位移兩個向量來確定。這給我們一種啟示，能否把“功”看成是這兩個向量的一種運算結(jié)果呢?
平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個非零向量 與 ，它們的夾角是θ，則數(shù)量| || | 叫 與 的數(shù)量積，記作 · ，即有 · = | || | (0≤θ≤π).并規(guī)定 與任何向量的數(shù)量積為0.
注：兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cos 的符號所決定.
3、向量的數(shù)量積的幾何意義：
數(shù)量積 · 等于 的長度與 在 方向上投影| |cos(的乘積.
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