中學生逆向思維巧解數學難題

時間：2020-06-10 11:16:00 邱妹0由分享

逆向思維也叫求異思維，它是對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點反過來思考的一種思維方式。下面就是小編給大家帶來的中學生逆向思維巧解數學難題，希望大家喜歡!

中學生逆向思維巧解數學難題(一)

一、數學概念的反問題

例1 若化簡|1-x|--的結果為2x-5，求x的取值范圍。

分析：原式=|1-x|-|x-4|

根據題意，要化成：x-1-(4-x)=2x-5

從絕對值概念的反方向考慮，推出其條件是：

1-x≤0，且x-4≤0

∴x的取值范圍是：1≤x≤4

二、代數運算的逆過程

例2 有四個有理數：3,4-6,10，將這四個數進行加減乘除四則運算(每個數用且只用一次)，使結果為24。請寫出一個符合要求的算式。

分析：不妨先設想3×8=24，再考慮怎樣從4，-6,10算出8，這樣就找到一個所求的算式：

3(4-6+10)=24

類似的，還有：4-(-6×10)÷3;

10-(-6×3+4);3(10-4)-(-6)等。

三、逆向應用不等式性質

例3 若關于x的不等式(a-1)x>a2-2的解集為x<2，求a的值。

分析：根據不等式性質3，從反方向進行分析，得：

a-1<0，且a2-2=2(a-1)

∴所求a值為a=0。

四、逆向分析分式方程的檢驗

例4 已知方程---=1有增根，求它的增根。

分析：這個分式方程的增根可能是x=1或x=-1

原方程去分母并整理，得x2+mx+m-1=0

如果把x=1代入，能求出m=3;

如果把x=-1代入，則不能求出m;

∴m的值為3，原方程的增根是x=1。

五、圖形變換的反問題

例5 △ABC中，AB

分析：我們曾經把梯形剪切后拼成三角形，就是使梯形的一部分繞一條腰的中點旋轉180°，本題正好相反。由此得到啟發，再應用等腰梯形的性質，得到如下做法：

作AD⊥BC，垂足為D點，在BC上截取DE=BD，連結AE，則∠AEB=∠B。

過AC中點M作MP∥AE，交BC于P，MD就是所求的剪切線。剪下△MPC，可以拼成等腰梯形ABPQ。

逆向思維的訓練(二)

(一)兩極顛倒法

在一般情況下，我們遇到或認識了兩極中的一極，我們不妨再去有意認識一下與之對立的另一極，一個新的天地就可能展望在我們面前。

魯人做鞋帽生意

《韓非子》中記載有這樣一個故事：魯國有一個人，非常擅長紡織麻鞋，他的妻子也是織綢緞的能手，他們準備一起到越國做生意。有人勸告他說：“你不要去，不然會失敗的。”魯人問：“為什么呢?”那人回答：“你善編鞋，而越人習慣于赤足走路;你妻子善織綢緞，那是用來做帽子的，可越人習慣于披頭散發，從不戴帽子，用你擅長的技術，到越國去派不上用場，能不失敗嗎?”結果呢，魯人并沒有改變初衷，三五年后，他不但沒有失敗，反而成了有名的大富翁。

許多事情的成功，問題的解決，常常得益于逆向思維，這個魯國人的成功，也是如此。

魯人做鞋帽生意，當然是應該去需求鞋帽的地區，而不該去不習慣穿鞋戴帽的越國;但魯人則打破了這種習慣性的思維方式，認為就是因為越人不穿鞋不戴帽，那里才有著廣闊的市場前景和巨大的銷售潛力，只要改變了越人的粗陋習慣，越國就會變成一個最大的鞋帽市場。魯國人成功的秘密就在這里，逆向思維幫了他的大忙。

(二)中間融合法

面對兩極，人們可以既不持這一極，也不持那一極，而是使兩極在中間融合，出現一種既非此又非彼的中間狀態。很多創新構想就在中間融合中產生。例如，女士們穿平跟鞋，走路舒適、輕松﹔穿高跟鞋，走路挺胸、氣派。但是，為什么只能要么是平跟鞋，要么是高跟鞋，能不能使對立兩極在中間融合呢?于是，坡跟鞋被開發出來了。它既不是平跟鞋，又不是高跟鞋，然而又既有平跟鞋的優點，又有高跟鞋的長處。

(三)反彈琵琶法

反證法就是反彈琵琶法。其特點在于，不是直接證明命題，而是從反面來論證。即先假設原命題的結論不能成立，提出一個相反的結論，然后證明這個相反的結論不能成立，從而證明原來的結論是正確的。運用反證法的步驟是：①作出需證明的命題的否定結論。②從這個否定結論出發，用合乎邏輯的方法來進行推理，從而引出矛盾的結論;或與命題的條件相矛盾，或與暫設假定相矛盾，或與已知公理、定義、定理相矛盾。③排除否定的結論，肯定命題原來的結論正確。

孫臏智勝魏惠王

孫臏是戰國時著名兵家，至俄國求職，魏惠王心胸狹窄，忌其才華，故意刁難，對孫臏說：“聽說你挺有才能，如能使我從座位上走下來，就任用你為將軍。”魏惠王心想：我就是不起來，你又奈我何!孫臏想魏惠王賴在座位上，我不能強行把他拉下來，把皇帝拉下馬是死罪。怎么辦呢?只有用逆向思維法，讓他自動走下來。于是，孫臏對魏惠王說：“我確實沒有辦法使大王從寶座上走下來，但是我卻有辦法使您坐到寶座上”。魏惠王心想，這還不是—回事，我就是不坐下，你又奈我何!便樂呵呵地從座位上走下來。孫臏馬上說：“我現在雖然沒有辦法使您坐回去，但我己經使您從座位上走下來了。”魏惠王方知上當，只好任用他為將軍。

“反彈琵琶”實際是利用對立互補關系，實行迂回戰術。某國王一貫自我標榜不但是個至高無上的權威，而且更是個“大慈大悲”的救世主。他在處決犯人之前，要恩賜一個機會，叫他們去抽生死簽，如果抽到“活”字，就可幸免一死。有一次，一個囚犯行將處決，他的冤家買通獄吏，把兩張紙都寫上“死”。不料有人把此消息透漏給犯人，犯人聞后眉開眼笑地說：“啊!我可以死里逃生了。”國王宣布抽簽后，犯人抽出一張簽，二話不說便吞入腹中。這下在場的人慌了手腳，因為誰也搞不清楚犯人吞下的是“死”還是“活”。只聽國王大聲斥喝：“笨蛋，你們只要看一看剩下的那張紙簽就是了。”顯然剩下來的是“死”簽，由此反證犯人吞下的是“活”簽。聰明的犯人巧用反證法，死里逃生了。

(四)換位法

換位法就是將考察的命題顛倒過來，發明新事物的創造方法。

在動物園里，把動物關在籠子里，游人在園內觀賞動物是一般常規。但是在野生動物園里，動物是放牧式的，為了防止獅虎對人的襲擊和傷害，卻讓游人坐到封閉的汽車內去進行參觀游玩，卻又別有一番情趣。

生產玩具的廠家，其設計一般都追求色彩鮮艷、造型美觀可愛而贏得顧客的喜愛，然而美國鬼才公司卻設計了一種外皮皺巴巴丑惡的玩具狗，這種一反常態的構思，是一種風格迥異的丑狗，丑中還透出一絲憨態，從而引起人們的獵奇心，覺得花幾個錢抱一只奇異的狗回家是值得的。不出所料，皺皮狗成為市場上的暢銷產品。

蘭米爾，他發明充氣電燈泡也是采用此法。當時的電燈泡有個致命傷，鎢絲通電后容易發脆，使用不久燈泡壁就會變黑。一般人都認為要克服這個毛病必須大大提高燈泡的真空度。蘭米爾的想法卻與眾不同，他不是忙于提高燈泡的真空度，而是分別將氫氣、氮氣、二氧化碳、氧氣和水蒸氣等充人燈泡，研究它們在高溫低壓下與鎢絲的作用。當他發現氮氣有減少鎢絲蒸發的作用時，作出了“有可能在大氣壓下鎢絲在氮氣中長期工作”的判斷。1928年，他由于充氣燈泡的發明和對高溫低壓下化學反應的研究等突出貢獻而榮獲帕金獎章。

把思維方法來個一百八十度的大轉變，有時竟取得想不到的效果。歷史上有許多科學家就是采用逆向思維法而取得重大發現和發明的。

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