八年級數學期中考試卷子

　　【考點】旋轉的性質.

　　【分析】先利用旋轉的性質得到∠ADC=∠D=90°，∠DAD′=α，再利用四邊形內角和計算出∠BAD=70°，然后利用互余計算出∠DAD′，從而得到α的值.

　　【解答】解：∵矩形ABCD繞點A順時針旋轉到矩形A′B′C′D′的位置，

　　∴∠ADC=∠D=90°，∠DAD′=α，

　　∵∠ABC=90°，

　　∴∠BAD=180°﹣∠2，

　　而∠2=∠21=110°，

　　∴∠BAD=180°﹣110°=70°，

　　∴∠DAD′=90°﹣70°=20°，

　　即α=20°.

　　故答案為20°.

　　15.兩個全等菱形如圖所示擺放在一起，其中B、C、D和G、C、F分別在同一條直線上，若較短的對角線長為10，點G與點D的距離是24，則此菱形邊長為　13　.

　　【考點】菱形的性質.

　　【分析】首先連接AC和BD，根據題意求出BO和OC的長，進而利用勾股定理求出菱形的邊長.

　　【解答】解：連接AC和BD，相交于點O，

　　∵點G與點D的距離是24，

　　∴OC=12，

　　∵較短的對角線長為10，

　　∴OB=5，

　　∴在Rt△OBC中，BC= =13，

　　∴菱形邊長為為13，

　　故答案為13.

　　16.如圖，菱形ABCD的對角線長分別為a、b，以菱形ABCD各邊的中點為頂點作矩形A1B1C1D1，然后再以矩形A1B1C1D1的中點為頂點作菱形A2B2C2D2，…，如此下去，得到四邊形A2016B2016C2016D2016的面積用含a，b的代數式表示為　( )2017ab　.

　　【考點】矩形的性質;菱形的性質.

　　【分析】根據三角形中位線定理，逐步推理出各小長方形的面積，總結出規律，用規律解答即可.

　　【解答】解：∵四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，

　　∴S四邊形ABCD= ab;

　　由三角形的中位線的性質可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變為原來的一半，

　　∴四邊形A2016B2016C2016D2016的面積為( ab.

　　故答案為： ab.

　　三、解答題(本大題共4小題，每小題7分，共28分)

　　17.如圖，在▱ABCD中，∠D=45°，∠CAD=35°，求∠B和∠BAC的度數.

　　【考點】平行四邊形的性質.

　　【分析】根據平行四邊形的性質可知：∠D=∠B═45°，AB∥CD，得出∠BAD+∠D=180°，求出∠BAD的度數，即可得出∠BAC的度數.

　　【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

　　∴∠B=∠D=45°，AB∥CD，

　　∴∠BAD+∠D=180°，

　　∴∠BAD=180°﹣45°=135°，

　　∴∠BAC=∠BAD﹣∠CAD=135°﹣35°=100°.

　　18.一個不透明的袋子中有編有序號的5個球(從1號到5號)，其中3個黃球(從1號到3號)，2個白球(從4號到5號)，這些球除顏色不同外其他完全相同.

　　(1)從袋子中隨機摸出一個球是1～5號中的一個，一共有幾種結果，這個事件是等可能的嗎?摸到黃球和白球是等可能的嗎?

　　(2)“從袋子中隨機摸出一個球是紅球”是　不可能　事件;

　　(3)從袋子中隨機摸出一個球是黃球的概率是多少?

　　【考點】概率公式.

　　【分析】(1)共有5個球，于是可判斷有5種等可能的結果數，由于黃球與白球的個數不等，所以摸到黃球和白球不是等可能的;

　　(2)根據確定事件的定義求解;

　　(3)根據概率公式求解.

　　【解答】解：(1)從袋子中隨機摸出一個球是1～5號中的一個，一共有5種結果，這個事件是等可能的，摸到黃球和白球不是等可能;

　　(2)“從袋子中隨機摸出一個球是紅球”是不可能事件;

　　(3)從袋子中隨機摸出一個球是黃球的概率= .

　　故答案為不可能.

　　19.如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，A、B、C都是格點.

　　(1)畫出△ABC關于BC對稱的△A′B′C′;

　　(2)將△ABC繞圖中的格點C順時針旋轉90°，得到△A1B1C1;

　　(3)畫出△ABC關于點O成中心對稱的△A2B2C2.

　　【考點】作圖-旋轉變換;作圖-軸對稱變換.

　　【分析】(1)利用對稱軸的性質畫出點A的對應點A′即得到△A′B′C′;

　　(2)利用網格特點和旋轉的性質分別畫出點A、B、C的對應點A1、B1、C1，從而得到△A1B1C1;

　　(3)利用網格特點和旋轉的性質分別畫出點A、B、C的對應點A2、B2、C2，從而得到△A2B2C2.

　　【解答】解：(1)如圖，△A′B′C′為所作;

　　(2)如圖，△A1B1C1為所作;

　　(3)如圖，△A2B2C2為所作.

　　20.已知：如圖，P為矩形ABCD內一點，PC=PD，求證：PA=PB.

　　【考點】矩形的性質;全等三角形的判定與性質.

　　【分析】欲證明PA=PB只要證明△PAD≌PBC即可.

　　【解答】證明：∵四邊形ABCD是矩形，

　　∴AD=BC，∠ADC=∠BCD=90°，

　　∵PD=PC，

　　∴∠PDC=∠PCD，

　　∴∠ADP=∠BCP，

　　在△PAD和△PBC中，

　　，

　　∴△PAD≌△PBC，

　　∴PA=PB.

　　四、解答題(本大題共3小題，每小題8分，共24分)

　　21.下面是小明和同學做“拋擲質地均勻的硬幣試驗”獲得的數據.

　　拋擲次數 100 200 300 400 500

　　正面朝上的頻數m 51 98 153 200 255

　　正面朝上的頻率

　　(1)填寫表中的空格;

　　(2)畫出折線統計圖;

　　(3)當試驗次數很大時，“正面朝上”的頻率在　0.51　附近擺動.

　　【考點】利用頻率估計概率;頻數(率)分布折線圖.

　　【分析】(1)利用正面朝上的頻數÷拋擲次數=正面朝上的頻率分別求出即可;

　　(2)利用(1)中所求畫出折線圖即可;

　　(3)利用(1)所求，進而估計出，“正面朝上”的頻率.

　　【解答】解：(1)填表如下：

　　拋擲次數 100 200 300 400 500

　　正面朝上的頻數m 51 98 153 200 255

　　正面朝上的頻率

　　0.51 0.49 0.51 0.5 0.51

　　(2)如圖所示：

　　;

　　(3)當試驗次數很大時，“正面朝上”的頻率在0.51附近擺動.

　　故答案為：0.51.

　　22.學校統籌安排大課間體育活動，在各班隨機選取了一部分學生，分成四類活動：“跳繩”、“羽毛球”、“乒乓球”、“其他”進行調查，整理收集到的數據，繪制成如圖的兩幅統計圖.

　　(1)學校采用的調查方式是　抽樣調查　;學校在各班隨機選取了　100　名學生;

　　(2)補全統計圖中的數據：羽毛球　21　人、乒乓球　18　人、其他　25　%;

　　(3)該校共有900名學生，請估計喜歡“跳繩”的學生人數.

　　【考點】條形統計圖;全面調查與抽樣調查;用樣本估計總體;扇形統計圖.

　　【分析】(1)根據在各班隨機選取了一部分學生，即為抽樣調查，利用喜歡“籃球”的學生36人，所占百分比為36%，即可得出樣本容量;

　　(2)用1減去籃球、羽毛球、乒乓球所占百分比，得到其他所占百分比，再用樣本容量乘以對應百分比，可得羽毛球、乒乓球、其他的人數，即可補全統計圖中的數據;

　　(3)利用樣本估計總體，用900乘以喜歡“跳繩”的學生所占的百分比即可得出全校喜歡“跳繩”的學生人數.

　　【解答】解：(1)學校采用的調查方式是抽樣調查;

　　由題意可得：喜歡籃球的人數為：36人，所占比例為：36%，

　　所以學校在各班隨機選取了學生：36÷36%=100(名);

　　故答案為：抽樣調查，100;

　　(2)喜歡羽毛球人數為：100×21%=21(人)，

　　喜歡乒乓球人數為：100×18%=18(人)，

　　其他所占百分比為：1﹣36%﹣21%﹣18%=25%，

　　喜歡其它人數為：100×25%=25(人)，

　　補全統計圖如下：

　　故答案為：21，18，25;

　　(3)900×36%=324.

　　答：估計喜歡跳繩的人數約為324人.

　　23.已知：如圖，在四邊形ABCD中，P、Q、M、N分別是AD、BC、BD、AC的中點.

　　(1)求證：PQ、MN互相平分;

　　(2)當四邊形ABCD的邊滿足條件：　AB=CD　時，PQ⊥MN.(不必證明)

　　【考點】中點四邊形.

　　【分析】(1)連接MP、NP、MQ、NQ，根據三角形中位線定理得到PM= AB，PM∥AB，NQ= AB，NQ∥AB，根據平行四邊形的判定定理證明四邊形PMQN是平行四邊形，根據平行四邊形的性質定理證明結論;

　　(2)根據菱形的判定定理和性質定理解答即可.

　　【解答】(1)證明：連接MP、NP、MQ、NQ，

　　∵P、M分別是AD、BD的中點，

　　∴PM= AB，PM∥AB，

　　同理NQ= AB，NQ∥AB，

　　∴PM∥NQ，PM=NQ，

　　∴四邊形PMQN是平行四邊形，

　　∴PQ、MN互相平分;

　　(2)AB=CD，

　　∵PM= AB，PN= CD，

　　當AB=CD時，PM=PN，

　　則平行四邊形PMQN是菱形，

　　∴PQ⊥MN.

　　五、解答題(本大題共2小題，每小題10分，共20分)

　　24.把一張矩形紙片ABCD按如圖方式折疊，使頂點B和D重合，折痕為EF.

　　(1)連接BE，求證：四邊形BFDE是菱形，并說明理由;

　　(2)若AB=8cm，BC=16cm，求線段DF及折痕EF的長.

　　【考點】菱形的判定;翻折變換(折疊問題).

　　【分析】(1)由EF垂直并平分BD BD與EF交于點O，四邊形ABCD是矩形，易證得△DOE≌△BOF，繼而證得DE=BE=BF=DF，則可得四邊形BFDE是菱形;

　　(2)首先設DF=x，則FC=16﹣x，在Rt△EBF中，利用勾股定理即可求得菱形的邊長，再過點E作EG⊥BC于G，即可求得答案.

　　【解答】解：(1)四邊形BFDE是菱形.

　　由折疊可知：EF垂直并平分BD BD與EF交于點O，

　　則BE=DE BF=DF，

　　∵四邊形ABCD是矩形，

　　∴DE∥BF，

　　∴∠EDO=∠FBO，

　　在△DOE和△BOF中，

　　，

　　∴△DOE≌△BOF(ASA)，

　　∴DE=BF，

　　∴DE=BE=BF=DF，

　　∴四為形BFDE為菱形;

　　(2)設DF=x，則FC=16﹣x，

　　在Rt△EBF中，由勾股定理得：FC2+DC2=DF2，

　　即82+(16﹣x)2=x2，

　　解得：x=10，

　　即DF的長為10，

　　過點E作EG⊥BC于G，則GF=4，

　　由勾股定理得：EF= =4 .

　　25.將面積為4的正方形ABCD與面積為8的正方形AEFG按圖①的位置放置，AD、AE在同一條直線上，AB、AG在同一條直線上.

　　(1)試判斷DG、BE的數量和位置關系，并說明理由;

　　(2)如圖2，將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉，當點B恰好落在線段DG上時，求此時BE的長;

　　(3)如圖3，將正方形ABCD繞點A繼續逆時針旋轉，線段DG與線段BE將相交，交點為H，請直接寫出△GHE與△BHD面積之和的最大值.

　　【考點】四邊形綜合題.

　　【分析】(1)由正方形的性質可證△ADG≌△ABE(SAS)，因此可證得∠AGD=∠AEB，如圖1，延長EB交DG于點H，然后由三角形的內角和和直角三角形的兩銳角互余可證得結論;由正方形的性質和等量代換可證△ADG≌△ABE(SAS)，因此可證得DG=BE，

　　(2)如圖2，過點A作AM⊥DG交DG于點M，根據正方形的性質可證得DM=AM= ，然后根據勾股定理可求得GM的長，進而可求得BE=DG=DM+GM.

　　(3)對于△EGH，點H在以EG為直徑的圓上，所以當點H與點A重合時，△EGH的高最大，對于△BDH，點H在以BD為直徑的圓上，所以當點H與點A重合時，△BDH的高最大，因此求出這時的面積，再相加即可.

　　【解答】解：(1)如圖1，

　　四邊形ABCD與四邊形AEFG是正方形，

　　∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE，

　　∴△ADG≌△ABE(SAS)，

　　∴∠AGD=∠AEB，

　　延長EB交DG于點H，

　　△ADG中∠AGD+∠ADG=90°，

　　∴∠AEB+∠ADG=90°，

　　△DEH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°，

　　∴∠DHE=90°，

　　∴DG⊥BE，

　　(2)四邊形ABCD與四邊形AEFG是正方形，

　　∴AD=AB，∠DAB=∠GAE=90°，AG=AE，

　　∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG，

　　∴∠DAG=∠BAE，

　　AD=AB，∠DAG=∠BAE，AG=AE，

　　∴△ADG≌△ABE(SAS)，

　　∴DG=BE，

　　如圖2，過點A作AM⊥DG交DG于點M，

　　∠AMD=∠AMG=90°

　　BD是正方形ABCD的對角線，

　　∴∠MDA=45°，

　　∵面積為4的正方形ABCD與面積為8的正方形AEFG

　　∴AD=2，AE=2 ，

　　在Rt△AMD中，∠MDA=45°，

　　∴COS45°= ，

　　∴DM= ，

　　∴AM= ，

　　在Rt△AMG中，GM= = ，

　　∵DG=DM+GM= + ，

　　∴BE=DG= + ，

　　(3)面積的最大值為6.

　　如圖，

　　對于△EGH，點H在以EG為直徑的圓上，

　　所以當點H與點A重合時，△EGH的高最大，

　　∴S△EGH= AG×AE= ×8=4，

　　對于△BDH，點H在以BD為直徑的圓上，

　　所以當點H與點A重合時，△BDH的高最大，

　　∴S△BDH= AD×AB= ×4=2，

　　∴△GHE與△BHD面積之和的最大值是4+2=6.

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