理科高二年級數學年級期中試題
到了高二就分文理科目了，理科的數學是會難一點的，今天小編就給大家分享一下高二數學，歡迎大家來收藏哦
理科上學期高二數學期中試卷
第I卷(選擇題)
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個備選項中，只有一項是符合題目要求的
1.直線 的傾斜角是( )
A. B. C. D.
2.已知水平放置的 ，按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖 ，其中 ， ，那么原 的面積是( )
A. B. C. D.
3.在長方體 中， ，則異面直線 所成角的余弦值為( )
A. B. C. D.
4.設m、n是兩條不同的直線， 是兩個不同的平面，下列命題是真命題的是( )
A.若 則 B.若 則
C.若 則 D.若 則
5.已知直線 平行，則實數 的值為( )
A. B. C. 或 D.
6.一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是半徑為1的半圓，則該幾何體的表面積為( )
A. B.
C. D.
7.已知從點 發出的一束光線，經 軸反射后，反射光線恰好平分圓： 的圓周，則反射光線所在的直線方程為( )
A. B.
C. D.
8.若過點 有兩條直線與圓 相切，則實數 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
9.已知直線 與直線 的交點位于第一象限，則實數 的取值范圍是( )
A. B. 或
C. D.
10.如圖，將邊長為2的正方體 沿對角線 折起，得到三棱錐 ，則下列命題中，錯誤的為( )
A.直線 平面
B.
C. 三棱錐 的外接球的半徑為
D.若 為 的中點，則 平面
11.《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬;將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.若三棱錐 為鱉臑， ⊥平面 , ， , 三棱錐 的四個頂點都在球 的球面上, 則球 的表面積為( )
A. B. C. D.
12.設a ，則 的最小值為( )
A.11B.121 C.9 D.81
第II卷(非選擇題)
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填寫在答題卡相應位置上
13.已知空間兩點 ， ，則它們之間的距離為__________.
14.已知直線 截圓 所得的弦 的中點坐標為 ，則弦 的垂直平分線方程為____________.
15.在正方體 中，對角線 與底面 所成角的正弦值為___________.
16.在平面直角坐標系 中，點 ，若圓 上存在一點 滿足 ，則實數 的取值范圍是__________.
三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
17.(本小題滿分10分)已知圓 .
(1)求過圓心 且在 軸、 軸上的截距相等的直線方程.
(2)已知過點 的直線 交圓 于 、 兩點，且 ，求直線 的方程.
18.(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐 中， ，且 900
(2)若 ，四棱錐 的體積為9，求四棱錐 的側面積
19.(本小題滿分12分)已知圓 過兩點 ，且圓心 在 上.
(1)求圓 的方程;
(2)設 是直線 上的動點， 是圓 的兩條切線， 為切點，求四邊形 面積的最小值.
20.(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱 中， 是 上的一點， ，且 .
(1)求證： 平面 ;
(2)若 ，求點 到平面 的距離.
21.(本小題滿分12分)如圖，在斜三棱柱 中，底面 是邊長為 的正三角形， ， ， .
(Ⅰ)求證：平面 平面 ;
(Ⅱ)求二面角 的正切值.
22.(本小題滿分12分)已知過原點的動直線 與圓 相交于不同的兩點 .
(1)求圓 的圓心坐標;
(2)求線段 的中點 的軌跡 的方程;
(3)是否存在實數 ，使得直線 與曲線 只有一個交點?若存在，求出 的取值范圍;若不存在，說明理由.
萬州二中高2020級高二上期中期考試理科數學試題
參考答案
ABBCA CCDDBAD
13. 14. 15. 16.
16.【詳解】由題意得圓 的圓心為 ，半徑為1.
設點 的坐標為 ，
∵ ，
∴ ，
整理得 ，
故點 的軌跡是以 為圓心，2為半徑的圓.
由題意得圓 和點Q的軌跡有公共點，
∴ ，
解得 .
∴實數 的取值范圍是 .
17.【解析】( )①若直線過原點，設 為 ，過圓心為 可得 ，
此時直線方程為 .
?、谌糁本€不過原點，設 為 ，即
由過圓心為 可得 ， ，
綜上所述，直線方程為 或 .
( )①若斜率不存在，則直線方程為 ，
弦長距 ，半徑為 ，則 ，符合題意.
?、谌粜甭蚀嬖冢O直線方程為 ，
弦心距 得 ，解得 ，
綜上所述，直線 的方程為 或 .
18.【解析】(1)
又
又
(2)設 ，則 .
過 作 , 為垂足， 為 中點.
.
. .
四棱錐P-ABCD的側面積為：
,
。
19.【解析】(1)法一： 線段AB的中點為(0,0)，其垂直平分線方程為x-y=0.
解方程組 ，解得 ，所以圓M的圓心坐標為(1,1)，
半徑 .
故所求圓M的方程為
法二：設圓M的方程為 ，
根據題意得 ，解得 ， .
故所求圓M的方程為
(2)如圖，
由題知，四邊形PCMD的面積為
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可。
即在直線3x+4y+8=0上找一點P，使得|PM|的值最小，所以
所以四邊形PCMD面積的最小值為 .
20.【解析】(1)如圖，
連接 ，交 于點 ，再連接 ，據直棱柱性質知，四邊形 為平行四邊形， 為 的中點，∵當 時， ，∴ 是 的中點，∴ ，
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .
(2)如圖，在平面 中，過點 作 ，垂足為 ，
∵ 是 中點，
∴點 到平面 與點 到平面 距離相等，
∵ 平面 ，∴點 到平面 的距離等于點 到平面 的距離，
∴ 長為所求，在 中， ， ， ，
∴ ，∴點 到平面 的距離為 .
21.【解析】(Ⅰ)取 的中點 ，連接 ，
因為底面 是邊長為 的正三角形，
所以 ，且 ，
因為 ， ， ，
所以 ，
所以 ，又因為 ，
所以 ，
所以 ， 又因為 ，
所以 平面 ，又因為 平面 ，
所以平面 平面 .
(Ⅱ)證明：過 連接
由(Ⅰ)知道： 平面 ,結合三垂線定理得
即為所求角.
在 中，
同理可求
在 中，由面積相等可得
又
22.【解析】(1)圓 化為 ，所以圓 的圓心坐標為
(2)方法一：設線段 的中點 ，由圓的性質可得 垂直于直線 .
設直線 的方程為 (易知直線 的斜率存在)，所以 ， ，所以 ，所以 ，即 .
因為動直線 與圓 相交，所以 ，所以 .
所以 ，，解得 ，
， 綜上：
所以 滿足
即 的軌跡 的方程為 .
方法二：設線段 的中點， 直線 的方程為 (易知直線 的斜率存在)，則 得：
.解得：
消去 得：
又 解得： 或
的軌跡 的方程為
(3)由題意知直線 表示過定點 ，斜率為 的直線.
結合圖形， 表示的是一段關于 軸對稱，起點為 按順時針方向運動到 的圓弧(不包含端點 ).
由條件得： 而當直線 與軌跡 相切時， ，解得 (舍去).
結合圖形，可得當 時，直線 與曲線 只有一個交點。
綜上所述，當時 直線 與曲線 只有一個交點.
高二理科數學上學期期中試卷
一.選擇題：共12小題，每小題5分，共60分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的一項。
1. 已知 為實數，則“ ”是“ ”的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
2.若方程 表示焦點在y軸上的橢圓，則實數k的取值范圍為
A. B. C. D.
3.已知向量 , 則
A.300 B.450 C. 600 D.1200
4.已知實數 ，則 的大小關系為
A. B. C. D.
5.若變量 滿足約束條件 ，則 的取值范圍是
A. B. C. D.
6.設直線 與圓 相交于 ， 兩點，且弦 的長為 ，則實數
的值是
A. B. C. D.
7.函數 的圖像向右平移 個單位后得到的圖像關于原點對稱，則 的
最小值是
A. B. C. D.
8.已知在平行六面體 中，過頂點A的三條棱所在直線兩兩夾角均為 ，且三條棱長均為1，則此平行六面體的對角線 的長為
A. B. C. D.
9.已知 是雙曲線 的右焦點，若點 關于雙曲線的一條漸近線對稱的點恰好
落在雙曲線的左支上，則雙曲線的離心率為
A. B. C. D.
10.已知直三棱柱 中，底面邊長和側棱長都相等，則異面直線 與 所成的角的
余弦值為
A. B. C. D.
11.在 中，角 的對邊分別為 ， ,且 ，則 面積的最大值為
A. B. C. D.
12.已知 是橢圓 的右焦點，點 在橢圓 上，
線段 與圓 相切于點 (其中 為橢圓的半焦距)，
且 ，則橢圓 的離心率為
A. B. C. D.
二.填空題：共4小題，每小題5分，共20分.
13.已知三點 ， ， 共線，那么 __________
14.等差數列 的公差為 ，若 ， ， 成等比數列，則數列 的前 項 __ .
15.在 中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知 ， ，則 =
16.已知拋物線 的焦點為 ，準線為 ，過點 的直線交拋物線于 兩點，過點 作準線 的垂線，垂足為 ，當 點坐標為 時， 為正三角形，則此時 的面積為
__
三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分10分)
已知命題 ：方程 表示焦點在 軸上的橢圓;命題 ：方程 表示離心率 的雙曲線。若 為真命題， 為假命題，求實數 的取值范圍。
18.(本小題滿分12分)
如圖，四棱錐 中，底面 是邊長為 的菱形， ， ， .
(Ⅰ)求證：平面 平面 ;
(Ⅱ)若 ，求二面角 的余弦值.
19.(本小題滿分12分)
已知在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.且 .
(Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)若 ， ，求△ABC的面積S.
20.(本小題滿分12分)
已知在平面直角坐標系 中，經過點 且斜率為 的直線 ，與橢圓 有兩個不同的交點 和 .
(Ⅰ)求 的取值范圍;
(Ⅱ) 設橢圓與 軸正半軸、 軸正半軸的交點分別為 ，是否存在常數 ，使得向量 與
共線?如果存在，求 值;如果不存在，請說明理由.
21.(本小題滿分12分)
如圖，在四棱錐 中，底面 為菱形， 平面 ， ， ， 分別是 的中點.
(Ⅰ)證明: ;
(Ⅱ)設 為線段 上的動點，若線段 長的
最小值為 ，求二面角 的余弦值.
22.(本小題滿分12分)
已知點 是圓 ： 上任意一點，點 與圓心 關于原點對稱.線段 的中垂線與 交于 點.
(Ⅰ)求動點 的軌跡方程 ;
(Ⅱ)設點 ，若直線 軸且與曲線 交于另一點 ，直線 與直線 交于點 ，
證明：點 恒在曲線 上，并求 面積的最大值.
高二理科數學 答案
一、選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D A A C D B D C C B A
二.填空題： 13.1; 14. ; 15. ; 16.
三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分10分)
已知命題 ：方程 表示焦點在 軸上的橢圓;命題 ：方程 表示離心率 的雙曲線。若 為真命題， 為假命題，求實數 的取值范圍。
解：若命題 為真命題，則： ，解得：
若命題 為真命題，則： ，解得：
若 為真命題， 為假命題，則 和 有且只有1個為真命題。
若 為真命題， 為假命題，則： ，無解.
若 為假命題， 為真命題，則： ，解得： .
綜上所述，實數 的取值范圍為
18.(本小題滿分12分)
如圖，四棱錐 中，底面 是邊長為 的菱形， ， ， .
(Ⅰ)求證：平面 平面 ;
(Ⅱ)若 ，求二面角 的余弦值.
解：(1)取 中點 ，連接 、 、 ，
∵四邊形 是邊長為 的菱形，∴ .
∵ ，∴ 是等邊三角形.
∴ ， .
∵ ，∴ .
∵ ，∴ .∴ .
∵ ，∴ 平面 .
∵ 平面 ，∴平面 平面 .
(2)∵ ，∴ .
由(1)知，平面 平面 ，∴ 平面 ，
∴直線 兩兩垂直.以 為原點建立空間直角坐標系 ，如圖，
則 .
∴ .
設平面 的法向量為 ，
由 ，得 ，取 ，得 ，
設平面 的法向量為 ，由 ，得 ，取 ，
得 ， ……10分 ∴ ，
由圖可知二面角 為銳二面角，∴二面角 的的余弦值為 .
19. (本小題滿分12分)
已知在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.且 .
(Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)若 ， ，求△ABC的面積S.
解：(Ⅰ)由正弦定理得：
則
整理得 ，又
∴ ，即
(Ⅱ)由余弦定理可知 ，
由(Ⅰ)可知 ,
再由 ，解得 ， ，
∴
20.(本小題滿分12分)
已知在平面直角坐標系 中，經過點 且斜率為 的直線 ，與橢圓 有兩個不同的交點 和 .
(I)求 的取值范圍;
(II)設橢圓與 軸正半軸、 軸正半軸的交點分別為 ，是否存在常數 ，使得向量 與
共線?如果存在，求 值;如果不存在，請說明理由.
解：(Ⅰ)由已知條件，直線 的方程為 ，代入橢圓方程得 .
整理得 ?、?/p>
直線 與橢圓有兩個不同的交點 和 等價于 ，
解得 或 .即 的取值范圍為 .
(Ⅱ)設 ，則 ，
由方程①， . ?、?/p>
又 . ?、?/p>
而 .
所以 與 共線等價于 ，
將②③代入上式，解得 .
由(Ⅰ)知 或 ，故沒有符合題意的常數 .
21.(本小題滿分12分)
如圖，在四棱錐 中，底面 為菱形， 平面 ， ， ， 分別是 的中點.
(1)證明: ;
(2)設 為線段 上的動點，若線段 長的
最小值為 ，求二面角 的余弦值.
(1)證明： 底面 為菱形， ，
三角形ABC為等邊三角形
是BC的中點
，即 .
平面 ， 平面
(2)
22.(本小題滿分12分)
已知點 是圓 ： 上任意一點，點 與圓心 關于原點對稱.線段 的中垂線與 交于 點.
(1)求動點 的軌跡方程 ;
(2)設點 ，若直線 軸且與曲線 交于另一點 ，直線 與直線 交于點 ，
證明：點 恒在曲線 上，并求 面積的最大值.
解：(1)由題意得， 點坐標為 ，因為 為 中垂線上的點，所以 ，
又 ，所以 ，
由橢圓的定義知動點 的軌跡為橢圓， 和 為兩個焦點，且 ， .
所以動點 的軌跡方程 ： .
(2)證明：設 點坐標為 ，則 點的坐標為 ，且 ，
所以直線 ： ，即 ，
直線 ： ，即 ;
聯立方程組 ，解得 ， ，則： .
所以點 恒在橢圓 上.
設直線 ： ， ， ，
則 ，消去 整理得 ，
所以 ， ，
所以 ，
從而 ，
令 ，則函數 在 上單調遞增，故 ，
所以 ，即當 時， 面積取得最大值，且最大值為 .
高二數學上學期期中考試理科
第Ⅰ卷(共60分)
一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的。
1. 某鎮有 、 、 三個村，，它們的精準扶貧的人口數量之比為 ，現在用分層抽樣的方法抽出容量為 的樣本，其中 村有15人，則樣本容量 為( )
A 50 B 60 C 70 D 80
2. 已知下面兩個程序
甲： 乙：
WHILE DO
WEND LOOP UNTIL
PRINT PRINT
END END
對甲乙兩個程序和輸出結果判斷正確的是( )
A 程序不同，結果不同 B 程序相同，結果不同
C 程序不同，結果相同 D 程序相同，結果相同
3 . 已知 個數 的平均數為 ，方差為 ，則數 的平均數和方差分別為( )
A ， B ， C ， D ，
4.在區間 上隨機取一個數 ,使不等式 成立的概率為( )
A B C D
5. 我國古代數學名著《數學九章》有“米谷粒分”題,現有類似的題：糧倉開倉收糧，有人送來532石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得54粒內夾谷6粒，則這批米內夾谷約為( )
A 59石 B 60石 C 61石 D 62石
6. 下列說法正確的是( )
A 天氣預報說明天下雨的概率為 ，則明天一定會下雨
B 不可能事件不是確定事件
C 統計中用相關系數 來衡量兩個變量的線性關系的強弱，若 則兩個變量正相關很強
D 某種彩票的中獎率是 ，則買1000張這種彩票一定能中獎
7. 從高二某班級中抽出三名學生。設事件甲為“三名學生全不是男生”，事件乙為“三名學生全是男生”，事件丙為“三名學生至少有一名是男生”，則( )
A 甲與丙互斥 B 任何兩個均互斥 C 乙與丙互斥 D 任何兩個均不互斥
8. 甲、乙兩組各有三名同學，他們在一次測驗中的成績的莖葉圖如圖所示，如果分別從甲、乙兩組中各隨機選取一名同學，則這兩名同學的成績相同的概率是( )
A B C D
9. 某個商店為了研究氣溫對飲料銷售的影響，得到了一個賣出飲料數與當天氣溫的統計表，根據下表可得回歸直線方程 中的 為6，則預測氣溫為 時，銷售飲料瓶數為( )
攝氏溫度 -1 2 9 13 17
飲料瓶數 2 30 58 81 119
A 180 B 190 C 195 D 200
10. 已知 ，則 的值為( )
A 24 B 25 C 26 D 27
11. 在某個微信群的一次搶紅包活動中，若所發紅包的總金額10元，被隨機分配為1.34元、2.17元、3.28元、1.73元和1.48元共5個供甲和乙等5人搶，每人只能搶一次，則甲和乙兩人搶到的金額之和不低于4元的概率是( )
A B C D
12. 設集合 ，集合 ， 若 的概率為1，則 的取值范圍是( )
A B C D
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分。
13. 二進制數110101轉化為六進制數是
14. 某學校有300名教職工，現要用系統抽樣的方法從中抽取50名教職工。將全體教職工按1～300編號，并按編號順序平均分為50組(1～ 6號，7～12號， ，295～300號),若第3組抽出的號碼是15，則第6組抽出的號碼為
15. 由1、2、3、4、5組成無重復數字的四位奇數的個數是
16. 的展開式中 的一次項系數為
三、解答題：本大題共6個小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17、(本小題滿分10分)
已知一個5次多項式為 ，用秦九韶算法求這個多項式當 時的值。
18、(本小題滿分12分) 已知一工廠生產了某種產品700件，該工廠對這些產品進行了安全和環保這兩個性能的質量檢測。工廠決定利用隨機數表法從中抽取100件產品進行抽樣檢測，現將700件產品按001，002， ,700進行編號;
(1)如果從第8行第4列的數開始向右讀，請你依次寫出最先檢測的3件產品的編號;
(下面摘取了隨機數表的第7～9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
(2)抽取的100件產品的安全性能和環保性能的質量檢測結果如下表：
檢測結果分為優等、合格、不合格三個等級，橫向和縱向分別表示安全性能和環保性能。若在該樣本中，產品環保性能是優等的概率是35%，求 的值;
件數 環保性能
優等 合格 不合格
安全性能 優等 6 20 5
合格 10 18 6
不合格
4
(3)已知 ，求在安全性能不合格的產品中，環保性能為優等的件數比不合格的件數少的概率。
19、(本小題滿分12分)現有A和B兩個盒子裝有大小相同的黃乒乓球和白乒乓球，A盒裝有2個黃乒乓球，2個白乒乓球;B盒裝有2個黃乒乓球， 個白乒乓球。 現從A、B兩盒中各任取2個乒乓球。
(1)若 ，求取到的4個乒乓球全是白的概率;
(2)若取到的4個乒乓球中恰有2個黃的概率為 , 求 的值。
20、(本小題滿分12分)某果農選取一片山地種植紅柚，收獲時，該果農隨機選取果樹20株作為樣本測量它們每一株的果實產量(單位：kg)，獲得的所有數據按照區間(40,45]，(45,50]，(50,55]，(55,60]進行分組，得到頻率分布直方圖如圖。已知樣本中產量在區間(45,50]上的果樹株數是產量在區間(50,60]上的果樹株數的43倍。
(1)求 、 的值;
(2)求樣本的平均數;
(3)從樣本中產量在區間(50,60]上的果樹里隨機抽取兩株，求產量在區間(55,60]上的果樹至少有一株被抽中的概率。
21、(本小題滿分12分)
在 的展開式中，第4項的系數與倒數第4項的系數之比為 。
(1)求 的值;
(2)求展開式中所有的有理項;
(3)求展開式中系數最大的項。
22、(本小題滿分12分)甲、乙兩名同學決定在今年的寒假每天上午9：00—10：00在圖書館見面，一起做寒假作業，他們每次到圖書館的時間都是隨機的。若甲先到圖書館而乙在10分鐘后還沒到，則甲離開圖書館;若乙先到圖書館而甲在15分鐘后還沒到，則乙離開圖書館。求他們兩人在開始的第一天就可以見面的概率。
2018年秋季湖北省重點高中聯考協作體期中考試
高二數學試卷(理科)參考答案
一、選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C D A A C A A B B C D
二、填空題
13. 14. 33 15. 72 16. 200
三、解答題
17解：根據秦九韶算法把多項式改成如下形式：
(2分)
按照從內到外的順序依次計算
多項式的值為43.3 (10分)
18解：(1)依題意，最先檢測的三件產品的編號為163,567,199; (3分)
(2)由 %，得 ， (5 分)
(7分)
(3)由題意， 且 ，
所以滿足條件的 有：
共12組，且每組出現的可能性相同(9分)
其中環保性能為優等的件數比不合格的件數少有 共4組，所以環保性能為優等的件數比不合格的件數少的概率為 (12分)
19 解：(1)設“取到的4個乒乓球全是白球”為事件A,
則 (5分)
(2) 設“取到的4個乒乓球中恰有2個黃的”為事件B, .
則 (7分)
= (9分)
化簡得：
解得 或 (舍去)，所以 (12分)
20解：(1)樣本中產量在區間(45,50]上的果樹有 (株)，
樣本中產量在區間(50,60]上的果樹有 (株)則有
即
根據頻率分布直方圖可知 . (2分)
解組成的方程組得 (4分)
(2)平均數 (8分)
(3)樣本中產量在區間(50,55]上的果樹有 (株)，產量在區間(55,60]上的果樹有 (株)
設“從樣本中產量在區間(50,60]上的果樹里隨機抽取兩株，產量在區間(55,60]上的果樹至少有一株被抽中”為事件 ，則
(12分)
21解：(1)有題意知： ，則第4項的系數為 ，
倒數第4項的系數為 ， (2分)
則有 即 ， (4分)
(2)由(1)可得 ，當 時
所有的有理項為 即 ， ，
， (8分)
(3)設展開式中第 項的系數最大，則
(10分)
故系數最大項為 (12分)
22解：以 和 分別表示甲和乙到達圖書館的時間，則兩人見面的條件是：一是甲先到： ，二是乙先到：
建立直角坐標系如圖所示：
(4分)
則 的所有可能結果是邊長為60的正方形， (8分)
而可能見面的時間用圖中的陰影部分表示，
(10分)
于是他們見面的概率為： (12分)
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