高考數學必修4第三章三角恒等變形綜合檢測題及答案

　　考試是檢測學生學習效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知識儲備。下面是學習啦小編為大家整理的高一數學必修四第三章三角恒等變形綜合檢測題，請認真復習!

　　高一數學必修四第三章三角恒等變形綜合檢測題及答案解析

　　一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)

　　1.sin 15°cos 75°+cos 15°sin 75°等于(　　)

　　A.0　　　 B.12

　　C.32　　　 D.1

　　【解析】　sin 15°cos 75°+cos 15°sin 75°

　　=sin(15°+75°)=sin 90°=1.

　　【答案】　D

　　2.在銳角△ABC中，設x=sin A•sin B，y=cos A•cos B，則x、y的大小關系為(　　)

　　A.x≤y B.x>y

　　C.x

　　【解析】　y-x=cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C，

　　∵C為銳角，∴-cos C<0，

　　∴y-x<0，即x>y.

　　【答案】　B

　　3.若sin α+cos α=tan α(0<α<π2)，則α的取值范圍是(　　)

　　A.(0，π6) B.(π6，π4)

　　C.(π4，π3) D.(π3，π2)

　　【解析】　因為sin α+cos α=2sin(α+π4)，當0<α<π2時，此式的取值范圍是(1，2]，而tan α在(0，π4)上小于1，故可排除A，B;在(π3，π2)上sin α+cos α與tan α不可能相等，所以D不正確，故選C.

　　【答案】　C

　　4.在△ABC中，若sin C=2cos Asin B，則此三角形必是(　　)

　　A.等腰三角形 B.正三角形

　　C.直角三角形 D.等腰直角三角形

　　【解析】　sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)，

　　∴sin Acos B+cos Asin B=2cos Asin B.

　　∴sin(A-B)=0，∴A=B，

　　∴△ABC為等腰三角形.

　　【答案】　A

　　5.(2012•陜西高考)設向量a=(1，cos θ)與b=(-1，2cos θ)垂直，則cos 2θ等于(　　)

　　A.22 B.12

　　C.0 D.-1

　　【解析】　a=(1，cos θ)，b=(-1,2cos θ).

　　∵a⊥b，∴a•b=-1+2cos2θ=0，

　　∴cos2θ=12，∴cos 2θ=2cos2θ-1=1-1=0.

　　【答案】　C

　　6.當0<x<π2時，函數f(x)=1+cos 2x+8sin2xsin 2x的最小值為(　　)

　　A.2 B.23

　　C.4 D.43

　　【解析】　f(x)=1+cos 2x+8sin2xsin 2x=2cos2x+8sin2x2sin xcos x=cot x+4tan x≥24=4.當且僅當cot x=4tan x，即tan x=12時取得等號.故選C.

　　【答案】　C

　　7.(2013•江西高考)若sin α2=33，則cos α=(　　)

　　A.-23 B.-13

　　C.13 D.23

　　【解析】　cos α=1-2sin2α2=1-2×332=1-23=13.

　　【答案】　C

　　8.(2013•重慶高考)4cos 50°-tan 40°=(　　)

　　A.2 B.2+32

　　C.3 D.22-1

　　【解析】　4cos 50°-tan 40°=4sin 40°-sin 40°cos 40°

　　=4sin 40°cos 40°-sin 40°cos 40°=2sin 80°-sin 40°cos 40°

　　=sin 80°+sin60°+20°-sin60°-20°cos 40°

　　=sin 80°+2cos 60°sin 20°cos 40°=sin 80°+sin 20°cos 40°

　　=sin50°+30°+sin50°-30°cos 40°

　　=2sin 50°cos 30°cos 40°=3•cos 40°cos 40°=3.

　　【答案】　C

　　9.已知f(x)=sin2(x+π4)，若a=f(lg 5)，b=f(lg 15)，則(　　)

　　A.a+b=0 B.a-b=0

　　C.a+b=1 D.a-b=1

　　【解析】　由題意知f(x)=sin2(x+π4)=1-cos2x+π22=1+sin 2x2，

　　令g(x)=12sin 2x，則g(x)為奇函數，且f(x)=g(x)+12，a=f(lg 5)=g(lg 5)+12，b=f(lg 15)=g(lg 15)+12，則a+b=g(lg 5)+g(lg 15)+1=g(lg 5)+g(-lg 5)+1=1，故a+b=1.

　　【答案】　C

　　10.對于函數f(x)=2sin xcos x，下列選項中正確的是(　　)

　　A.f(x)在(π4，π2)上是遞增的

　　B.f(x)的圖像關于原點對稱

　　C.f(x)的最小正周期為2π

　　D.f(x)的最大值為2

　　【解析】　f(x)=2sin xcos x=sin 2x，

　　∴f(x)為奇函數，f(x)圖像關于原點對稱.

　　【答案】　B

　　二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分，將答案填在題中的橫線上)

　　11.(2012•江西高考)若sin α+cos αsin α-cos α=12，則tan 2α=________.

　　【解析】　由sin α+cos αsin α-cos α=12，等式左邊分子、分母同除cos α得，tan α+1tan α-1=12，解得tan α=-3，則tan 2α=2tan α1-tan2α=34.

　　【答案】　34

　　12.知α，β∈(0，π4)，tan α21-tan2α2=14，且3sin β=sin(2α+β)，則α+β=________.

　　【解析】　由tan α21-tan2α2=14，得tan α=12.由3sin β=sin(2α+β)，得3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α]，化簡得tan(α+β)=2tan α=1.由于α，β∈(0，π4)，故α+β∈(0，π2)，所以α+β=π4.

　　【答案】　π4

　　13.若θ是第二象限角，cos θ2-sin θ2=1-sin θ，則角θ2所在的象限是________.

　　【解析】　∵1-sin θ= sin θ2-cos θ22

　　=|sin θ2-cos θ2|=cos θ2-sin θ2，

　　∴sin θ2<cos θ2.

　　∵θ是第二象限角，

　　∴π2+2kπ<θ<π+2kπ，k∈Z.

　　則π4+kπ<θ2<π2+kπ.k∈Z.

　　由上可得54π+2kπ<θ2<32π+2kπ，k∈Z.所以θ2是第三象限角.

　　【答案】　第三象限角

　　14.函數f(x)=sin2(2x-π4)的最小正周期是________.

　　【解析】　f(x)=1-cos22x-π42

　　=1-cos4x-π22=1-sin 4x2，

　　∴最小正周期T=2π4=π2.

　　【答案】　π2

　　15.(2012•江蘇高考)設α為銳角，若cos(α+π6)=45，則sin(2α+π12)的值為________.

　　【解析】　∵α為銳角且cos(α+π6)=45，

　　∴sin(α+π6)=35.

　　∴sin(2α+π12)=sin[2(α+π6)-π4]

　　=sin 2(α+π6)cos π4-cos 2(α+π6)sin π4

　　=2sin(α+π6)cos(α+π6)-22[2cos2(α+π6)-1]

　　=2×35×45-22[2×(45)2-1]=12225-7250=17250.

　　【答案】　17250

　　三、解答題(本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

　　16.(本小題滿分12分)(2013•遼寧高考)設向量a=(3sin x，sin x)，b=(cos x，sin x)，x∈0，π2.

　　(1)若|a|=|b|，求x的值;

　　(2)設函數f(x)=a•b，求f(x)的最大值.

　　【解】　(1)由|a|2=(3sin x)2+sin2 x=4sin2x，

　　|b|2=cos2x+sin2x=1，

　　及|a|=|b|，得4sin2x=1.

　　又x∈0，π2，從而sin x=12，

　　所以x=π6.

　　(2)f(x)=a•b=3sin x•cos x+sin2x

　　=32sin 2x-12cos 2x+12=sin2x-π6+12，

　　當x=π3∈0，π2時，sin2x-π6取最大值1.

　　所以f(x)的最大值為32.

　　17.(本小題滿分12分)若2sin(π4+α)=sin θ+cos θ，2sin2β=sin 2θ，求證：sin 2α+12cos 2β=0.

　　【證明】　由2sin(π4+α)=sin θ+cos θ得2cos α+2sin α=sin θ+cos θ，兩邊平方得

　　2(1+sin 2α)=1+sin 2θ，即

　　sin 2α=12(sin 2θ-1)， ①

　　由2sin2β=sin 2θ得，1-cos 2β=sin 2θ. ②

　　將②代入①得

　　sin 2α=12[(1-cos 2β)-1]得

　　sin 2α=-12cos 2β，

　　即sin 2α+12cos 2β=0.

　　18.(本小題滿分12分)已知函數f(x)=4cos ωx•sinωx+π4(ω>0)的最小正周期為π.

　　(1)求ω的值;

　　(2)討論f(x)在區間0，π2上的單調性.

　　【解】　(1)f(x)=4cos ωx•sinωx+π4

　　=22sin ωx•cos ωx+22cos2ωx

　　=2(sin 2ωx+cos 2ωx)+2=2sin2ωx+π4+2.

　　因為f(x)的最小正周期為π，且ω>0，

　　從而有2π2ω=π，故ω=1.

　　(2)由(1)知，f(x)=2sin(2x+π4)+2.

　　若0≤x≤π2，則π4≤2x+π4≤5π4.

　　當π4≤2x+π4≤π2，即0≤x≤π8時，f(x)單調遞增;

　　當π2<2x+π4≤5π4，即π8

　　綜上可知，f(x)在區間0，π8上單調遞增，在區間π8，π2上單調遞減.

　　19.(本小題滿分13分)已知函數f(x)=sin(ωx+π6)+sin(ωx-π6)-2cos2ωx2，x∈R(其中ω>0).

　　(1)求函數f(x)的值域;

　　(2)若對任意的a∈R，函數y=f(x)，x∈(a，a+π]的圖像與直線y=-1有且僅有兩個不同的交點，試確定ω的值(不必證明)，并求函數y=f(x)，x∈R的單調增區間.

　　【解】　(1)f(x)=sin(ωx+π6)+sin(ωx-π6)-2cos2ωx2=2sin ωxcos π6-cos ωx-1

　　=2sin(ωx-π6)-1，

　　∵x∈R，∴f(x)的值域為[-3,1].

　　(2)由題意得函數f(x)的周期為π.

　　∴2πω=π，∴ω=2，

　　∴f(x)=2sin(2x-π6)-1.

　　令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2，k∈Z.

　　得kπ-π6≤x≤kπ+π3，k∈Z.

　　∴函數f(x)的單調增區間為[kπ-π6，kπ+π3]，k∈Z.

　　圖1

　　20.(本小題滿分13分)如圖1，以Ox為始邊作角α與β(0<β<α<π)，它們的終邊分別與單位圓相交于點P、Q，已知點P的坐標為(-35，45).

　　(1)求sin 2α+cos 2α+11+tan α的值;

　　(2)若OP→•OQ→=0，求sin(α+β).

　　【解】　(1)由三角函數定義得cos α=-35，sin α=45，

　　則原式=2sin αcos α+2cos2α1+sin αcos α=2cos αsin α+cos αsin α+cos αcos α

　　=2cos2α=2×(-35)2=1825.

　　(2)∵OP→•OQ→=0，∴α-β=π2.

　　∴β=α-π2.

　　∴sin β=sin(α-π2)=-cos α=35，

　　cos β=cos(α-π2)=sin α=45.

　　∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β

　　=45×45+(-35)×35=725.

　　21.(本小題滿分13分)(2012•湖北高考)設函數f(x)=sin2ωx+23sin ωx•cos ωx-cos2ωx+λ(x∈R)的圖像關于直線x=π對稱，其中ω，λ為常數，且ω∈(12，1).

　　(1)求函數f(x)的最小正周期;

　　(2)若y=f(x)的圖像經過點(π4，0)，求函數f(x)的值域.

　　【解】　(1)因為f(x)=sin2ωx-cos2ωx+23sin ωx•cos ωx+λ=-cos 2ωx+3sin 2ωx+λ=2sin(2ωx-π6)+λ，

　　由直線x=π是y=f(x)圖像的一條對稱軸，可得sin(2ωπ-π6)=±1，

　　所以2ωπ-π6=kπ+π2(k∈Z)，即ω=k2+13(k∈Z).

　　又ω∈(12，1)，k∈Z，所以k=1，故ω=56.

　　所以函數f(x)的最小正周期是6π5.

　　(2)由y=f(x)的圖像過點(π4，0)，得f(π4)=0，

　　即λ=-2sin(56×π2-π6)=-2sin π4=-2，即λ=-2.

　　故f(x)=2sin(53x-π6)-2，函數f(x)的值域為[-2-2，2-2].
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