九年級數學上期末檢測試卷(2)
九年級數學上期末檢測試卷
九年級數學上期末檢測試卷參考答案
一.選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答.題.卡.相.應.位.置.上)
1.同時拋擲兩枚質地均勻的正方體骰子1次，下列事件中是不可能事件的是( )
A.朝上的點數之和為13 B.朝上的點數之和為12
C.朝上的點數之和為2 D.朝上的點數之和小于3
【考點】隨機事件.
【分析】依據題意同時拋擲兩枚質地均勻的正方體骰子1次，每個骰子上的數字最大是6，得出朝上的點數之和最大為12，進而判斷即可.
【解答】解：根據同時拋擲兩枚質地均勻的正方體骰子1次，每個骰子上的數字最大是6，
故朝上的點數之和最大為12，
所以，朝上的點數之和為13是不可能事件，
故選：A.
【點評】本題考查了不可能事件概念，根據已知得出朝上的點數之和最大為12是解題關鍵.
2.點A(﹣1，1)是反比例函數y= 的圖象上一點，則m的值為( )
A.0 B.﹣2 C.﹣1 D.1
【考點】反比例函數圖象上點的坐標特征.
【分析】把A點的坐標代入函數解析式可求得m的值.
【解答】解：
∵點A(﹣1，1)是反比例函數y= 的圖象上一點，
∴1= ，解得m=﹣1，
故選C.
【點評】本題主要考查函數圖象上的點與函數的關系，掌握函數圖象上點的坐標滿足函數解析式是解題的關鍵.
3.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，若∠B=110°，則∠ADE的度數為( )
A.55° B.70° C.90° D.110°
【考點】圓內接四邊形的性質.
【分析】先根據圓內接四邊形的對角互補及鄰補角互補得出∠ADC+∠B=180°，∠ADC+∠ADE=180°，然后根據同角的補角相等得出∠ADE=∠B=120°.
【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，
∴∠ADC+∠B=180°，
∵∠ADC+∠ADE=180°，
∴∠ADE=∠B.
∵∠B=110°，
∴∠ADE=110°.
故選D.
【點評】本題考查的是圓內接四邊形的性質，熟知圓內接四邊形對角互補的性質是解答此題的關鍵.
4.已知：如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接正方形，點P是劣弧上不同于點C的任意一點，則∠BPC的度數是( )
A.45° B.60° C.75° D.90°
【考點】圓周角定理;正多邊形和圓.
【分析】連接OB、OC，首先根據正方形的性質，得∠BOC=90°，再根據圓周角定理，得∠BPC=45°.
【解答】解：如圖，連接OB、OC，則∠BOC=90°，
根據圓周角定理，得：∠BPC= ∠BOC=45°.
故選A.
【點評】本題主要考查了正方形的性質和圓周角定理的應用.
這里注意：根據90°的圓周角所對的弦是直徑，知正方形對角線的交點即為其外接圓的圓心.
5.如圖，AB∥CD，AC、BD交于點O，若DO=3，BO=5，DC=4，則AB長為( )
A.6 B.8 C. D.
【考點】平行線分線段成比例.
【專題】計算題.
【分析】根據平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例得到DO：BO=CD：AB，然后利用比例性質求AB.
【解答】解：∵AB∥CD，
∴DO：BO=CD：AB，即3：5=4：AB，
∴AB= .
故選C.
【點評】本題考查了平行線分線段成比例：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例.
6.從1到9這九個自然數中任取一個，是偶數的概率是( )
A. B. C. D.
【考點】概率公式.
【分析】先從1～9這九個自然數中找出是偶數的有2、4、6、8共4個，然后根據概率公式求解即可.
【解答】解：1～9這九個自然數中，是偶數的數有：2、4、6、8，共4個，
∴從1～9這九個自然數中任取一個，是偶數的概率是： .
故選：B.
【點評】本題考查了統計與概率中概率的求法.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.
7.如圖，已知△ADE與△ABC的相似比為1：2，則△ADE與△ABC的面積比為( )
A.1：2 B.1：4 C.2：1 D.4：1
【考點】相似三角形的性質.
【分析】依據相似三角形面積的比等于相似比的平方，即可求解.
【解答】解：△ADE與△ABC的面積比為(1：2)2=1：4.
故選B.
【點評】本題主要是考查對于相似三角形的面積比等于相似比的平方.
8.為了估計池塘中魚的數量，老張從魚塘中捕獲100條魚，在每條魚身上做好記號后把這些魚放歸池塘，過了一段時間，他再從池塘中隨機打撈60條魚，發現其中有15條魚有記號，則池塘中魚的條數約為( )
A.300 B.400 C.600 D.800
【考點】用樣本估計總體.
【分析】首先求出有記號的15條魚在60條魚中所占的比例，然后根據用樣本中有記號的魚所占的比例等于魚塘中有記號的魚所占的比例，即可求得魚的總條數.
【解答】解：由題意可得：100÷ =400(條).
答：池塘中魚的條數約為400條.
故選：C..
【點評】本題考查了統計中用樣本估計總體，表示出帶記號的魚所占比例是解題關鍵.
9.如圖是二次函數y=ax2+bx+c圖象的一部分，圖象過點A(﹣3，0)，對稱軸為直線x=﹣1，下列結論：
①b2>4ac;
②2a+b=0;
③a+b+c>0;
④若B(﹣5，y1)、C(﹣1，y2 )為函數圖象上的兩點，則y1
其中正確結論是( )
A.②④ B.①③④ C.①④ D.②③
【考點】二次函數圖象與系數的關系.
【專題】二次函數圖象及其性質.
【分析】根據拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸x=﹣ 、△=b2﹣4ac的取值與拋物線與x軸的交點的個數關系、拋物線與x軸的交點與對稱軸的關系及拋物線的特征進行分析判斷.
【解答】解：①由函數的圖形可知，拋物線與x軸有兩個交點，
∴b2﹣4ac>0，即：b2>4ac，故結論①正確;
②∵二次函數y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=﹣1，
∴﹣ =﹣1
∴2a=b，即：2a﹣b=0，故結論②錯誤.
③∵二次函數y=ax2+bx+c圖象的一部分，圖象過點A(﹣3，0)，對稱軸為直線x=﹣1，
∴二次函數與x軸的另一個交點的坐標為(1，0)，
∴當x=1時，有a+b+c=0，故結論③錯誤;
④∵拋物線的開口向下，對稱軸x=﹣1，
∴當x<﹣1時，函數值y隨著x的增大而增大，
∵﹣5<﹣1則y1
故選
【點評】本題考查了二次函數圖象與系數的關系問題，解題的關鍵是理解并熟記拋物線的開口、頂點坐標、對稱軸、與x軸的交點、與y軸的交點坐標與a、b、c的關系.
10.如圖，在平面直角坐標系中，⊙O的半徑為1，且與y軸交于點B，過點B作直線BC平行于x軸，點M(a，1)在直線BC上，若在⊙O上存在點N，使得∠OMN=45°，則a的取值范圍是( )
A.﹣1≤a≤1 B.﹣ C. D.
【考點】圓的綜合題.
【分析】由題意得出∠OBM=90°，當BM=OB=1時，△OBM是等腰直角三角形，則∠OMN=45°，此時a=±1;當BM>OB時，∠OMN<45°，即可得出結論.
【解答】解：∵點M(a，1)在直線BC上，
∴OB=1，
∵BC∥x軸，
∴BC⊥y軸，
∴∠OBM=90°，
當BM=OB=1時，△OBM是等腰直角三角形，
則∠OMN=45°，
此時a=±1;
當BM>OB時，∠OMN<45°，
∴a的取值范圍是﹣1≤a≤1;
故選：A.
【點評】本題是圓的綜合題目，考查了等腰直角三角形的判定與性質、圓的性質等知識;熟練掌握元的性質和等腰直角三角形的性質是解決問題的關鍵.
二.填空題(本大題共8小題，每小題3分，共24分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答.題.卡.相.應.位.置.上)
11.將函數y=2x2﹣1的圖象向上平移1個單位長度，所得圖象的函數解析式為 y=(x﹣1)2﹣1 .
【考點】二次函數圖象與幾何變換.
【分析】先確定二次函數y=2x2﹣1的頂點坐標為(0，﹣1)，再把點(0，﹣1)向上平移1個單位長度得到點的坐標為(1，﹣1)，然后根據拋物線的頂點式寫出平移后的拋物線解析式.
【解答】解：二次函數y=2x2﹣1的頂點坐標為(0，﹣1)，把點(0，﹣1)向上平移1個單位長度得到點的坐標為(1，﹣1)，所以所得的圖象解析式為y=(x﹣1)2﹣1.
故答案為：y=(x﹣1)2﹣1.
【點評】本題考查了二次函數圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數法求出解析式;二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式.
12.兩個同學玩“石頭、剪子、布”游戲，兩人隨機同時出手一次，平局的概率為 .
【考點】列表法與樹狀圖法.
【專題】計算題.
【分析】畫樹狀圖展示所有9種等可能的結果數，再找出兩人隨機同時出手一次，平局的結果數，然后根據概率公式求解.
【解答】解：畫樹狀圖為：
共有9種等可能的結果數，其中兩人隨機同時出手一次，平局的結果數為3，
所以兩人隨機同時出手一次，平局的概率= = .
故答案為 .
【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后根據概率公式求出事件A或B的概率.
13.已知扇形的圓心角為120°，面積為12π，則扇形的半徑是 6 .
【考點】扇形面積的計算.
【分析】根據扇形的面積公式S= ，得R= .
【解答】解：根據扇形的面積公式，得
R= = =6，
故答案為6.
【點評】本題考查了扇形面積的計算，屬于基礎題，解答本題的關鍵是能夠靈活運用扇形的面積公式.
14.已知二次函數y=ax2+bx+c中，函數y與自變量x的部分對應值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 …
則此二次函數的對稱軸為 x=﹣1 .
【考點】二次函數的性質.
【分析】觀察表格發現函數的圖象經過點(﹣2，﹣3)和(0，﹣3)，根據兩點的縱坐標相同，說明兩點關于對稱軸對稱，從而求解.
【解答】解：觀察表格發現函數的圖象經過點(﹣2，﹣3)和(0，﹣3)，
∵兩點的縱坐標相同，
∴兩點關于對稱軸對稱，
∴對稱軸為：x= =﹣1，
故答案為：x=﹣1.
【點評】本題考查了二次函數的性質，了解(﹣2，﹣3)和(0，﹣3)兩點關于對稱軸對稱是解決本題的關鍵.
15.如圖，AB是⊙O的直徑，AB=10，C是⊙O上一點，OD⊥BC于點D，BD=4，則AC的長為 6 .
【考點】垂徑定理;勾股定理;三角形中位線定理;圓周角定理.
【分析】根據垂徑定理求出BC，根據圓周角定理求出∠C=90°，根據勾股定理求出即可.
【解答】解：∵OD⊥BC，OD過O，BD=4，
∴BC=2BD=8，
∵AB是直徑，
∴∠C=90°，
在Rt△ACB中，AB=10，BC=8，由勾股定理得：AC= =6，
故答案為：6.
【點評】本題考查了垂徑定理，勾股定理的應用，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力，題目比較典型，難度適中.
16.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是邊AD的中點，EC交對角線BD于點F，則EF：FC= 1：2 .
【考點】相似三角形的判定與性質;平行四邊形的性質.
【分析】利用平行四邊形的性質得出AD∥BC，AD=BC，進而得出△DEF∽△DCF，再利用相似三角形的判定與性質得出答案.
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DEF∽△DCF，
∴ ，
∵點E是邊AD的中點，
∴DE=AE= AD= BC，
∴ .
故答案為：1：2.
【點評】此題主要考查了平行四邊形的性質以及相似三角形的判定與性質等知識，得出△DEF∽△BCF是解題關鍵.
17.如圖，點A是反比例函數圖象上一點，過點A作AB⊥y軸于點B，點C、D在x軸上，且BC∥AD，四邊形ABCD的面積為3，則這個反比例函數的解析式為 y=﹣ .
【考點】反比例函數系數k的幾何意義.
【分析】過A點向x軸作垂線，與坐標軸圍成的四邊形的面積是定值|k|，由此可得出答案.
【解答】解：過A點向x軸作垂線，如圖：
根據反比例函數的幾何意義可得：四邊形ABCD的面積為3，即|k|=3，
又∵函數圖象在二、四象限，
∴k=﹣3，即函數解析式為：y=﹣ .
故答案為：y=﹣ .
【點評】此題考查了反比例函數的幾何意義，解答本題關鍵是掌握在反比例函數中k所代表的幾何意義，屬于基礎題，難度一般.
18.點 P(m，n)是反比例函數 y= 圖象上一動點，當n+3=2m時，點P恰好落在拋物線y=x2﹣2x﹣3上，則k的值等于 20 .
【考點】反比例函數圖象上點的坐標特征;二次函數圖象上點的坐標特征.
【分析】根據反比例函數圖象上點的坐標特征、二次函數圖象上點的坐標特征以及n+3=2m，即可得出關于k、m、n的三元一次方程組，解方程組即可得出結論.
【解答】解：由已知得： ，
解得： 或 (舍去).
故答案為：20.
【點評】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征、二次函數圖象上點的坐標特征以及解三元一次方程組，解題的關鍵是找出關于k、m、n的三元一次方程組.本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據反比例函數與二次函數圖象上點的坐標特征找出方程組是關鍵.
三.解答題(本大題共10小題，共96分，請在答.題.卡.指.定.區.域.內作答，答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
19.已知反比例函數y= (k為常數，k≠0)的圖象經過點A(2，3).
(Ⅰ)求這個函數的解析式;
(Ⅱ)判斷點B(﹣1，6)，C(3，2)是否在這個函數的圖象上，并說明理由;
(Ⅲ)當﹣3
【考點】待定系數法求反比例函數解析式;反比例函數的性質;反比例函數圖象上點的坐標特征.
【分析】(1)把點A的坐標代入已知函數解析式，通過方程即可求得k的值.
(Ⅱ)只要把點B、C的坐標分別代入函數解析式，橫縱坐標坐標之積等于6時，即該點在函數圖象上;
(Ⅲ)根據反比例函數圖象的增減性解答問題.
【解答】解：(Ⅰ)∵反比例函數y= (k為常數，k≠0)的圖象經過點A(2，3)，
∴把點A的坐標代入解析式，得
3= ，
解得，k=6，
∴這個函數的解析式為：y= ;
(Ⅱ)∵反比例函數解析式y= ，
∴6=xy.
分別把點B、C的坐標代入，得
(﹣1)×6=﹣6≠6，則點B不在該函數圖象上.
3×2=6，則點C在該函數圖象上;
(Ⅲ)∵當x=﹣3時，y=﹣2，當x=﹣1時，y=﹣6，
又∵k>0，
∴當x<0時，y隨x的增大而減小，
∴當﹣3
【點評】本題考查了反比例函數圖象的性質、待定系數法求反比例函數解析式以及反比例函數圖象上點的坐標特征.用待定系數法求反比例函數的解析式，是中學階段的重點.
20.已知二次函數 y=a(x﹣1)2﹣4 的圖象經過點(0，﹣3).
(1)求這個二次函數的函數解析式;
(2)當x取何值時，函數y的值隨著 x 的增大而增大;
(3)當x取何值時，函數的值為 0.
【考點】待定系數法求二次函數解析式.
【分析】(1)二次函數 y=a(x﹣1)2﹣4 的圖象經過點(0，﹣3)，可以求得a的值，從而可以求得這個二次函數的解析式;
(2)根據(1)中的結果可以求得當x取何值時，函數y的值隨著 x 的增大而增大;
(3)將y=0代入(1)中的解析式，可以求得x的值.
【解答】解：(1)因為二次函數 y=a(x﹣1)2﹣4 的圖象經過點(0，﹣3)，
∴﹣3=a(0﹣1)2﹣4，得a=1，
即這個二次函數的解析式是：y=(x﹣1)2﹣4;
(2)∵y=(x﹣1)2﹣4，1>0，
∴當x>1時，y隨x的增大而增大;
(3)將y=0代入y=(x﹣1)2﹣4，得
0=(x﹣1)2﹣4，
解得，x1=﹣1，x2=3，
即當x=﹣1或x=3時，函數的值為 0.
【點評】本題考查待定系數法求二次函數解析式，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.
21.在13×13的網格圖中，已知△ABC和點M(1，2).
(1)以點M為位似中心，位似比為2，畫出△ABC的位似圖形△A′B′C′;
(2)寫出△A′B′C′的各頂點坐標.
【考點】作圖-位似變換.
【專題】作圖題.
【分析】(1)利用位似圖形的性質即可位似比為2，進而得出各對應點位置;
(2)利用所畫圖形得出對應點坐標即可.
【解答】解：(1)如圖所示：△A′B′C′即為所求;
(2)△A′B′C′的各頂點坐標分別為：A′(3，6)，B′(5，2)，C′(11，4).
【點評】此題主要考查了位似圖形的性質，利用位似圖形的性質得出對應點坐標是解題關鍵.
22.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知一次函數 y=kx+b 的圖象經過點 A(1，0)，與反比例函數y= ( x>0)的圖象相交于點B(m，1).
①求m的值和一次函數的解析式;
②結合圖象直接寫出：當x>0 時，不等式kx+b> 的解集.
【考點】反比例函數與一次函數的交點問題.
【分析】(1)由點B的坐標結合反比例函數圖象上點的坐標特征，即可求出m值，由此即可得出點B的坐標，根據點A、B的坐標利用待定系數法即可求出一次函數的解析式;
(2)根據兩函數圖象的上下位置關系結合交點坐標即可得出不等式的解集.
【解答】解：(1)∵點B(m，1)在反比例函數y= ( x>0)的圖象上，
∴1= ，
∴m=2.
將點A(1，0)、B(2，1)代入y=kx+b 中，
得： ，解得： ，
∴一次函數的解析式為y=x﹣1.
(2)觀察函數圖象發現：在第一象限內，當x>2時，一次函數圖象在反比例函數圖象的上方，
∴當x>0 時，不等式kx+b> 的解集為x>2.
【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題、反比例函數圖象上點的坐標特征以及待定系數法求函數解析式，解題的關鍵是：(1)利用待定系數法求出函數解析式;(2)根據函數圖象的上下位置關系解不等式.本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據點的坐標利用待定系數法求出函數解析式是關鍵.
23.某商場購進一批日用品，若按每件5元的價格銷售，每月能賣出3萬件;若按每件6元的價格銷售，每月能賣出2萬件，假定每月銷售件數y(件)與價格x(元/件)之間滿足一次函數關系.
(1)試求y與x之間的函數關系式;
(2)若這批日用品購進時單價為4元，則當銷售價格定為多少時，才能使每月的利潤最大?每月的最大利潤是多少?
【考點】二次函數的應用.
【分析】(1)利用待定系數法求得y與x之間的一次函數關系式;
(2)根據“利潤=(售價﹣成本)×售出件數”，可得利潤W與銷售價格x之間的二次函數關系式，然后求出其最大值.
【解答】解：(1)由題意，可設y=kx+b(k≠0)，
把(5，30000)，(6，20000)代入得： ，
解得： ，
所以y與x之間的關系式為：y=﹣10000x+80000;
(2)設利潤為W元，則W=(x﹣4)(﹣10000x+80000)
=﹣10000(x﹣4)(x﹣8)
=﹣10000(x2﹣12x+32)
=﹣10000[(x﹣6)2﹣4]
=﹣10000(x﹣6)2+40000
所以當x=6時，W取得最大值，最大值為40000元.
答：當銷售價格定為6元時，每月的利潤最大，每月的最大利潤為40000元.
【點評】本題主要考查利用函數模型(二次函數與一次函數)解決實際問題的能力.要先根據題意列出函數關系式，再代數求值.解題關鍵是要分析題意根據實際意義求解.注意：數學應用題來源于實踐用于實踐，在當今社會市場經濟的環境下，應掌握一些有關商品價格和利潤的知識.
24.如圖，為了測量學校教學樓的高度，王芳同學在她的腳下放了一面鏡子，然后向后退，直到她剛好在鏡子中看到樓的頂部.如果王芳同學的身高是1.55m，她估計自己的眼睛距地面 AB=1.50m，同時量得 BE=30cm，BD=2.3m，這棟樓CD有多高?
【考點】相似三角形的應用.
【專題】應用題.
【分析】先計算出DE=BD﹣BE=2m，再利用入射角與反射角的關系得到∠AEB=∠CED，則可判斷△ABE∽△CDE，然后利用相似比得到 = ，再利用比例性質求出CD即可.
【解答】解：根據題意得AB=1.50m，BE=0.3m，DE=BD﹣BE=2.3m﹣0.3m=2m，
∵∠AEB=∠CED，
而∠ABE=∠CDE=90°，
∴△ABE∽△CDE，
∴ = ，即 = ，
∴CD=10(m).
答：這棟樓CD有10m高.
【點評】本題考查了相似三角形的應用：借助標桿或直尺測量物體的高度.利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高(長)作為三角形的邊，利用視點和盲區的知識構建相似三角形，用相似三角形對應邊的比相等的性質求物體的高度.
25.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點D是邊BC的中點.以CD為直徑作⊙O，交邊AC于點P，連接BP，交AD于點E.
(1)求證：AD是⊙O的切線;
(2)如果PB是⊙O的切線，BC=4，求PE的長.
【考點】切線的判定;相似三角形的判定與性質.
【專題】證明題.
【分析】(1)根據等腰三角形的性質由AB=AC，點D是邊BC的中點得到AD⊥BC，然后根據切線的判定定理即可得到AD是⊙O的切線;
(2)連結OP，由于AD是⊙O的切線，PB是⊙O的切線，根據切線長定理得PE=DE，根據切線的性質得OP⊥PE，易證得△BDE∽△BPO，則 ，由于BC=4，得到CD=BD=2，則OP=1，OB=3，利用勾股定理計算出BP= =2 ，然后利用相似比可計算出DE= ，所以PE= .
【解答】(1)證明：∵AB=AC，點D是邊BC的中點，
∴AD⊥BC，
∴AD是⊙O的切線;
(2)解：連結OP，如圖，
∵AD是⊙O的切線，PB是⊙O的切線，
∴PE=DE，OP⊥PE，
∴∠BPO=90°，
∴∠BPO=∠ADB=90°，
而∠DBE=∠PBO，
∴△BDE∽△BPO，
∴ ，
∵BC=4，
∴CD=BD=2，
∴OP=1，OB=3，
∴BP= = =2 ，
∴DE= = ，
∴PE=DE= .
【點評】本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.也考查了相似三角形的判定與性質和等腰三角形的性質.
26.王平同學為小明與小麗設計了一種游戲.游戲規則是：取 3 張數字分別是 2、3、4 的撲克 牌，將牌洗勻后背面朝上放置在桌面上，第一次隨機抽出一張牌記下數字后再按原樣放回，洗勻后第二次再隨機抽出一張牌記下數字，若抽出的兩張牌上的數字之和為偶數，則小明 勝;若兩數字之和為奇數，則小麗勝.問這種游戲規則公平嗎?請通過畫樹狀圖或列表說明理由.
【考點】游戲公平性;列表法與樹狀圖法.
【分析】游戲是否公平，關鍵要看是否游戲雙方贏的機會是否相等，即判斷雙方取勝的概率是否相等，或轉化為在總情況明確的情況下，判斷雙方取勝所包含的情況數目是否相等.
【解答】解：如圖所示：
對游戲樹形圖如圖，所有可能出現的結果共有9種，其中兩數字之和為偶數的有5種，所以游戲小明獲勝的概率為 ，
而小麗獲勝的概率為 ，即游戲對小明有利，獲勝的可能性大于小麗.
【點評】本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.
27.(12分)如圖四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E為AB的中點.
(1)求證：AC2=AB•AD;
(2)求證：CE∥AD;
(3)若 AD=8，AB=12，求 的值.
【考點】相似形綜合題.
【專題】綜合題;圖形的相似.
【分析】(1)由AC平分∠DAB，得到一對角相等，再由一對直角相等，得到三角形ADC與三角形ACB相似，由相似得比例即可得證;
(2)由E為AB中點，三角形ABC為直角三角形，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AE=CE，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行即可得證;
(3)由CE與AD平行，得到兩對內錯角相等，進而得到三角形ECF與三角形ADF相似，由相似得比例求出AF的長，即可確定出所求式子的值.
【解答】(1)證明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴ = ，
則AC2=AB•AD;
(2)證明：∵CE為Rt△ABC斜邊AB上的中線，
∴CE=AE=BE= AB，
∴∠BAC=∠ACE，
∵∠DAC=∠BAC，
∴∠ACE=∠DAC，
∴CE∥AD;
(3)解：∵AC2=AB•AD，AB=12，AD=8，
∴AC=4 ，CE=6，
∵CE∥AD，
∴∠ECF=∠FAD，∠CEF=∠FDA，
∴△ECF∽△DAF，
∴ = = ，即 = ，
解得：CF= ，
∴AF=AC﹣CF=4 ﹣ = ，
則 = = .
【點評】此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，直角三角形的中線性質，平行線的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵.
28.拋物線y= x2﹣ x+2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C，點P為拋物線上一動點，過點P作PQ平行BC交拋物線于Q，P、Q兩點間距離為m
(1)求BC的解析式;
(2)取線段BC中點M，連接PM，當m最小時，判斷以點P、O、M、B為頂點的四邊形是什么四邊形;
(3)設N為y軸上一點，在(2)的基礎上，當∠OBN=2∠OBP時，求點N的坐標.
【考點】二次函數綜合題.
【分析】(1)由拋物線的性質先確定出點A，B，C的坐標，即可求出直線BC解析式，
(2)先判斷出m最小時，直線PQ和拋物線只有一個交點，進而得出點P的坐標，再利用兩點間的距離公式得出BM=OP=OM即可判斷出四邊形POMB是菱形.
(3)②先確定出直線PQ解析式，進而判斷出直線PQ過點O，即可得出OP∥BC，再用角平分線定理即可得出點N的坐標，
②借助①得出的點N的坐標和對稱性即可得出y軸正半軸上的點N的坐標.
【解答】解：(1)∵拋物線y= x2﹣ x+2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C，
∴C(0，2)，
令y=0，則0= x2﹣ x+2，∴x=1或x=4，
∴A(1，0)，B(4，0)，
∴直線BC解析式為y=﹣ x+2，
(2)四邊形POMB是菱形，
理由：如圖，
∵P、Q兩點間距離為m，且m最小，即：m=0，此時直線PQ和拋物線只有一個交點，
∵PQ平行BC，∴設直線PQ解析式y=﹣ x+b①，
∵y= x2﹣ x+2②，
聯立①②得，x2﹣4x+4﹣2b=0，
∴△=16﹣4(4﹣2b)=0，∴b=0，
∴直線PQ解析式為y=﹣ x，P(2，﹣1)，
∴直線PQ過原點，
∴OP∥BM，
∴OP= = ，
∵B(4，0)，C(0，2)，取線段BC中點M，
∴M(2，1)，
∴BM= = ，
∴OP=BM，
∵OP=BM，
∴四邊形POMB是平行四邊形，
∵OM= = ，
∴OP=OM，
∴平行四邊形POMB是菱形;
(3)由(2)知，B(4，0)，P(2，﹣1)，
∴直線BP解析式為y= x﹣2，
∴H(0，﹣2)
①當點N在y軸負半軸上時，
∵∠OBN=2∠OBP，
∴BP是∠OBN的角平分線，
∴ ，
設N(0，n)，
∵B(4，0)，
∴OB=4，OH=2，NK=﹣2﹣n，BN= ，
∴ ，
∴n=0(舍)或n=﹣ ，
∴N(0，﹣ )，
②當點N在y軸正半軸時，由對稱性得出，N(0， )
即點N的坐標為N(0，﹣ )和(0， ).
【點評】此題是二次函數綜合題，主要考查了拋物線的性質，平行線的性質，待定系數法確定直線解析式，角平分線定理，解本題的關鍵是確定出點P的坐標.
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