淺談高中數學零點問題(2)
淺談高中數學零點問題
淺談高中數學零點問題篇三
高中新課程標準在數學必修1第三章函數的應用中新增了函數的零點一部分.函數是中學數學的核心概念，核心的根本原因之一在于函數與其他知識具有廣泛的聯系性，而函數的零點就是其中的一個鏈結點，它從不同的角度，將數與形、函數與方程有機地聯系在一起.
一、函數零點的意義
在系統地掌握了函數的概念及性質，基本初等函數知識后，學習方程的根與函數的零點之間的關系，并結合函數的圖像和性質來判斷方程的根的存在性及根的個數，從而掌握函數在某個區間上存在零點的判定方法，為“二分法求方程的近似解”和后續學習的算法提供了基礎.因此方程的根與函數的零點的內容具有承前啟后的作用，意義重大.
二、函數零點的概念
1.函數零點的定義
對于函數y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0成立的實數x叫做函數y=f(x)(x∈D)的零點.
2.幾個等價關系
方程f(x)=0有實數根?圳函數y=f(x)的圖像與x軸有交點?圳函數y=f(x)有零點.
3.函數零點的判定(零點存在性定理)
如果函數f(x)=0在區間[a，b]上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有f(a)•f(b)<0，那么函數y=f(x)在區間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，這個c也就是f(x)=0的根.
三、函數零點的題型及解法
【題型一】解方程：當對應方程易解時，可通過解方程，看方程是否有根落在給定區間上.
[例1]函數f(x)=x-的零點為________.
解析：由x-=0(x≠0)得：x-4=0(x≠0)，
∴x=±2，即函數f(x)的零點為-2和2.
[知識遷移1](2010•福建高考)
函數f(x)=x+2x-3(x≤0)-2+lnx(x>0)的零點個數為()
A.0 B.1C.2D.3
解析：令f(x)=0，得x≤0x+2x-3=0或x>0lnx=2，
∴x=-3或x=e，∴答案為C.
[知識遷移2]已知函數f(x)=4+m•2+1=0有且只有一個零點，則實數m的值為?搖?搖?搖?搖.
解析：由題知：方程4+m•2+1=0只有一個零點.
令2=t(t>0)，
∴方程t+m•t+1=0只有一個正根，
∴由圖像可知->0Δ=0，∴m=-2.
小結：這類題型主要考查函數零點的有關知識，考查等價轉化、函數與方程的思想等.
【題型二】利用函數零點的存在性定理進行判斷.
[例2]已知函數f(x)=x+x+a(a<0)在區間(0，1)上有零點，則a的范圍為?搖?搖?搖?搖.
解析：由題意f(0)•f(1)<0，
∴a(2+a)<0，
∴-2
[知識遷移1](2010•天津高考)
函數f(x)=2+3x的零點所在的一個區間是()
A.(-2，-1) B.(-1，0) C.(0，1) D.(1，2)
解析：由題意可知f(-2)=-6<0，f(-1)=-3<0，f(0)=1>0，f(2)>0，f(-1)•f(0)<0，因此在區間(-1，0)上一定有零點.∴答案為B.
[知識遷移2](2011•新課標全國高考)
在下列區間中，函數f(x)=e+4x-3的零點所在的區間為()
A.(-，0) B.(0，) C.(，) D.(，)
解析：∵f()=e+4×-3<0，f()=e+4×-3>0，
∴f(x)=e+4x-3的零點所在的區間為(，).答案為C.
小結：這類題型主要考查函數零點的有關概念、判斷函數零點所在區間及函數零點存在定理等.
【題型三】通過畫函數圖像，觀察圖像與x軸在給定區間上是否有交點來判斷.
[例3]判斷函數f(x)=lnx+2x-6的零點個數.
解析：在同一坐標系畫出y=lnx與y=6-2x的圖像，由圖可知兩圖像只有一個交點，故函數f(x)=lnx+2x-6只有一個零點.
[知識遷移1](2009•山東高考)若函數f(x)=a-x-a(a>0，且a≠1)有兩個零點，則實數a的取值范圍是?搖?搖?搖?搖.
解析：令g(x)=a(a>0，且a≠1)，h(x)=x+a，分01兩種情況.在同一坐標系中畫出兩個函數的圖像.如圖，若函數f(x)=a-x-a有兩個不同的零點，則函數g(x)、h(x)的圖像有兩個不同的交點.根據畫出的圖像只有當a>1時符合題目要求.
[知識遷移2](2011•山東高考)已知函數f(x)=logx+x-b(a>0，且a≠1).當2
解析：令y=logx，y=b-x，函數f(x)的零點就是這兩個函數圖像交點的橫坐標，由于直線y=b-x在y軸上的截距b滿足31+3-4=0.根據函數零點存在性定理可得，函數f(x)的零點在區間(2，3)內，故n=2.
小結：這類題型主要考查函數的應用、函數零點的有關概念、一次函數、指數函數、對數函數的基礎知識，考查分析問題、解決問題的能力，考查等價轉化、數形結合的思想，等等.
根據以上的題型及解法分析，我們把函數的零點問題的解決總結為：判斷函數在某個區間上是否存在零點，要根據具體問題靈活處理，當能直接求出零點時，就直接求出進行判斷;當不能直接求出時，可根據零點存在性定理進行判斷;當用零點存在性定理也無法判斷時可畫出圖像判斷.
從近幾年的高考試題來看，函數的零點、方程的根的問題是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題.利用函數零點的存在性定理或函數的圖像，對函數是否存在零點(方程是否存在實根)進行判斷或利用零點(方程實根)的存在情況求相關參數的范圍，是高考中常見的題目類型.
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