高三函數知識點總結
函數，在數學中是兩不為空集的集合間的一種對應關系：輸入值集合中的每項元素皆能對應唯一一項輸出值集合中的元素。這次小編給大家整理了高三函數知識點總結，供大家閱讀參考。
高三函數知識點總結
1. 函數的奇偶性
(1)若f(x)是偶函數，那么f(x)=f(-x) ;
(2)若f(x)是奇函數，0在其定義域內，則 f(0)=0(可用于求參數);
(3)判斷函數奇偶性可用定義的等價形式：f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);
(4)若所給函數的解析式較為復雜，應先化簡，再判斷其奇偶性;
(5)奇函數在對稱的單調區間內有相同的單調性;偶函數在對稱的單調區間內有相反的單調性;
2. 復合函數的有關問題
(1)復合函數定義域求法：若已知 的定義域為[a，b],其復合函數f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定義域為[a,b],求 f(x)的定義域，相當于x∈[a,b]時，求g(x)的值域(即 f(x)的定義域);研究函數的問題一定要注意定義域優先的原則。
(2)復合函數的單調性由“同增異減”判定;
3.函數圖像(或方程曲線的對稱性)
(1)證明函數圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在圖像上;
(2)證明圖像C1與C2的對稱性，即證明C1上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在C2上，反之亦然;
(3)曲線C1：f(x,y)=0,關于y=x+a(y=-x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
(4)曲線C1:f(x,y)=0關于點(a,b)的對稱曲線C2方程為：f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函數y=f(x)對x∈R時，f(a+x)=f(a-x)恒成立，則y=f(x)圖像關于直線x=a對稱;
(6)函數y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關于直線x= 對稱;
4.函數的周期性
(1)y=f(x)對x∈R時，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數;
(2)若y=f(x)是偶函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為2︱a︱的周期函數;
(3)若y=f(x)奇函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為4︱a︱的周期函數;
(4)若y=f(x)關于點(a,0),(b,0)對稱，則f(x)是周期為2 的周期函數;
(5)y=f(x)的圖象關于直線x=a,x=b(a≠b)對稱，則函數y=f(x)是周期為2 的周期函數;
(6)y=f(x)對x∈R時，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，則y=f(x)是周期為2 的周期函數;
5.方程
(1)方程k=f(x)有解 k∈D(D為f(x)的值域);
(2)a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max,;
a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min;
(3)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);
log a N= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1);
(4)log a b的符號由口訣“同正異負”記憶;
a log a N= N ( a>0,a≠1,N>0 );
6.映射
判斷對應是否為映射時，抓住兩點：
(1)A中元素必須都有象且唯一;
(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;
7.函數單調性
(1)能熟練地用定義證明函數的單調性，求反函數，判斷函數的奇偶性;
(2)依據單調性，利用一次函數在區間上的保號性可解決求一類參數的范圍問題
8.反函數
對于反函數，應掌握以下一些結論：
(1)定義域上的單調函數必有反函數;
(2)奇函數的反函數也是奇函數;
(3)定義域為非單元素集的偶函數不存在反函數;
(4)周期函數不存在反函數;(5)互為反函數的兩個函數具有相同的單調性;
(5) y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數，設f(x)的定義域為A，值域為B，則有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A).
9.數形結合
處理二次函數的問題勿忘數形結合;二次函數在閉區間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向;二看對稱軸與所給區間的相對位置關系.
10. 恒成立問題
恒成立問題的處理方法：
(1)分離參數法;
(2)轉化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解;
高三函數知識點
1.集合的含義與表示
集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東西，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個整體。
把研究對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合，簡稱為集。
2.集合的中元素的三個特性：
(1)元素的確定性：集合確定，則一元素是否屬于這個集合是確定的：屬于或不屬于。
(2)元素的互異性：一個給定集合中的元素是唯一的，不可重復的。
(3)元素的無序性:集合中元素的位置是可以改變的，并且改變位置不影響集合
3.集合的表示：{…}
(1)用大寫字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。
a、列舉法：將集合中的元素一一列舉出來{a,b,c……}
b、描述法：
①區間法：將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合。
{x?R|x-3>2},{x|x-3>2}
②語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
③Venn圖:畫出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。
4.集合的分類：
(1)有限集：含有有限個元素的集合
(2)無限集：含有無限個元素的集合
(3)空集：不含任何元素的集合
5.元素與集合的關系：
(1)元素在集合里，則元素屬于集合，即：a?A
(2)元素不在集合里，則元素不屬于集合，即：a￠A
注意：常用數集及其記法：
非負整數集(即自然數集)記作：N
正整數集N-或N+
整數集Z
有理數集Q
實數集R
6.集合間的基本關系
(1)“包含”關系(1)—子集
定義：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關系，稱集合A是集合B的子集。
函數知識點
一次函數
1.一次函數定義與定義式：
自變量x和因變量y有如下關系：
y=kx+b
則此時稱y是x的一次函數。
特別地，當b=0時，y是x的正比例函數。
即：y=kx(k為常數，k≠0)
2.一次函數的性質：
1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k
即：y=kx+b(k為任意不為零的實數b取任何實數)
2.當x=0時，b為函數在y軸上的截距。
3.一次函數的圖像及性質：
(1)作法與圖形：通過如下3個步驟
a 列表;
b 描點;
c 連線，可以作出一次函數的圖像——一條直線。因此，作一次函數的圖像只需知道2點，并連成直線即可。(通常找函數圖像與x軸和y軸的交點)
(2)性質：
a 在一次函數上的任意一點P(x，y)，都滿足等式：y=kx+b。
b 一次函數與y軸交點的坐標總是(0，b)，與x軸總是交于(-b/k，0)正比例函數的圖像總是過原點。
(3)k，b與函數圖像所在象限：
當k>0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大;
當k<0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。
當b>0時，直線必通過一、二象限;
當b=0時，直線通過原點
當b<0時，直線必通過三、四象限。
特別地，當b=O時，直線通過原點O(0，0)表示的是正比例函數的圖像。
這時，當k>0時，直線只通過一、三象限;當k<0時，直線只通過二、四象限。
4.確定一次函數的表達式：
已知點A(x1，y1);B(x2，y2)，請確定過點A、B的一次函數的表達式。
(1)設一次函數的表達式(也叫解析式)為y=kx+b。
(2)因為在一次函數上的任意一點P(x，y)，都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②
(3)解這個二元一次方程，得到k，b的值。
(4)最后得到一次函數的表達式。
5.一次函數在生活中的應用：
(1)當時間t一定，距離s是速度v的一次函數。s=vt。
(2)當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數。設水池中原有水量S。g=S-ft。
6.常用公式：
(1)求函數圖像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)
(2)求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/2
(3)求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2
(4)求任意線段的長：√(x1-x2)’2+(y1-y2)’2(注：根號下(x1-x2)與(y1-y2)的平方和)
函數知識點總結
二次函數
1.定義與定義表達式
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：
y=ax’2+bx+c
(a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)
則稱y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
2.二次函數的三種表達式
一般式：y=ax’2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)
頂點式：y=a(x-h)’2+k[拋物線的頂點P(h，k)]
交點式：y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點A(x?，0)和B(x?，0)的拋物線]
注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:
h=-b/2ak=(4ac-b’2)/4ax?,x?=(-b±√b’2-4ac)/2a
3.二次函數的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數y=x’2的圖像，
可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。
4.拋物線的性質
(1)拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
x=-b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
(2)拋物線有一個頂點P，坐標為
P(-b/2a，(4ac-b’2)/4a)
當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ=b’2-4ac=0時，P在x軸上。
(3)二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小
當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
(4)一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置
當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。
(5)常數項c決定拋物線與y軸交點
拋物線與y軸交于(0，c)
(6)拋物線與x軸交點個數
Δ=b’2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ=b’2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
Δ=b’2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x=-b±√b’2-4ac的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a)
5.二次函數與一元二次方程
特別地，二次函數(以下稱函數)y=ax’2+bx+c，
當y=0時，二次函數為關于x的一元二次方程(以下稱方程)，
即ax’2+bx+c=0
此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。
函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
函數的表示方法
1.列表法。用表格的方式把x與y的對應關系一一列舉出來.比較少用。
用含有數學關系的等式來表示兩個變量之間的函數關系的方法叫做解析式法。這種方法的優點是能簡明、準確、清楚地表示出函數與自變量之間的數量關系;缺點是求對應值時往往要經過較復雜的運算，而且在實際問題中有的函數關系不一定能用表達式表示出來。
2.解析法。用解析式把把x與y的對應關系表述出來,最常見的一種表示函數關系的方法。
3.圖像法。在坐標平面中用曲線的表示出函數關系,比較常用,經常和解析式結合起來理解函數的性質。
把一個函數的自變量x與對應的因變量y的值分別作為點的橫坐標和縱坐標，在直角坐標系內描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做該函數的圖象。這種表示函數關系的方法叫做圖象法。這種方法的優點是通過函數圖象可以直觀、形象地把函數關系表示出來;缺點是從圖象觀察得到的數量關系是近似的。
4.列表法。用列表的方法來表示兩個變量之間函數關系的方法叫做列表法。這種方法的優點是通過表格中已知自變量的值，可以直接讀出與之對應的函數值;缺點是只能列出部分對應值，難以反映函數的全貌。
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