高三數學函數解題方法方法
高三數學函數解題方法方法
什么是高三數學函數解題方法? 今天小編為大家推薦高三數學函數解題方法，希望大家在學習的路上越來越好。
高三數學函數解題方法是什么
一.觀察法
通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域。
例1求函數y=3+√(2-3x)的值域。
點撥：根據算術平方根的性質，先求出√(2-3x)的值域。
解：由算術平方根的性質，知√(2-3x)≥0，
故3+√(2-3x)≥3。
∴函數的知域為.
點評：算術平方根具有雙重非負性，即：(1)被開方數的非負性，(2)值的非負性。
本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對于一類函數的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。
練習：求函數y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域為：{0，1，2，3，4，5｝)
二.反函數法
當函數的反函數存在時，則其反函數的定義域就是原函數的值域。
例2求函數y=(x+1)/(x+2)的值域。
點撥：先求出原函數的反函數，再求出其定義域。
解：顯然函數y=(x+1)/(x+2)的反函數為:x=(1-2y)/(y-1),其定義域為y≠1的實數,故函數y的值域為{y∣y≠1,y∈R｝。
點評：利用反函數法求原函數的定義域的前提條件是原函數存在反函數。這種方法體現逆向思維的思想，是數學解題的重要方法之一。
練習：求函數y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函數的值域為{y∣y<-1或y>1｝)
三.配方法
當所給函數是二次函數或可化為二次函數的復合函數時,可以利用配方法求函數值域
例3：求函數y=√(-x2+x+2)的值域。
點撥：將被開方數配方成平方數，利用二次函數的值求。
解：由-x2+x+2≥0,可知函數的定義域為x∈[-1，2]。此時-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]
∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函數的值域是[0,3/2]
點評：求函數的值域不但要重視對應關系的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用。配方法是數學的一種重要的思想方法。
練習：求函數y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域為{y∣y≤3})
四.判別式法
若可化為關于某變量的二次方程的分式函數或無理函數,可用判別式法求函數的值域。
例4求函數y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。
點撥：將原函數轉化為自變量的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函數的值域。
解：將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)
當y≠2時,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2
當y=2時,方程(*)無解。∴函數的值域為2
點評：把函數關系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實數解，故其判別式為非負數，可求得函數的值域。常適應于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數。
練習：求函數y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域為y≤-8或y>0)。
五.值法
對于閉區間[a,b]上的連續函數y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的較值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的值,可得到函數y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數z=xy+3x的值域。
點撥：根據已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標函數消元、配方，可求出函數的值域。
解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),
∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數z在區間[-1,3/2]上連續，故只需比較邊界的大小。
當x=-1時，z=-5;當x=3/2時，z=15/4。
∴函數z的值域為{z∣-5≤z≤15/4｝。
點評：本題是將函數的值域問題轉化為函數的值。對開區間，若存在值，也可通過求出值而獲得函數的值域。
練習：若√x為實數，則函數y=x2+3x-5的值域為()
A.(-∞，+∞)B.[-7，+∞]C.[0，+∞)D.[-5，+∞)
(答案：D)。
六.圖象法
通過觀察函數的圖象，運用數形結合的方法得到函數的值域。
例6求函數y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。
點撥：根據值的意義，去掉符號后轉化為分段函數，作出其圖象。
解：原函數化為-2x+1(x≤1)
y=3(-1
2x-1(x>2)
它的圖象如圖所示。
顯然函數值y≥3,所以，函數值域[3，+∞]。
點評：分段函數應注意函數的端點。利用函數的圖象
求函數的值域，體現數形結合的思想。是解決問題的重要方法。
求函數值域的方法較多，還適應通過不等式法、函數的單調性、換元法等方法求函數的值域。
七.單調法
利用函數在給定的區間上的單調遞增或單調遞減求值域。
例1求函數y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。
點撥：由已知的函數是復合函數，即g(x)=-√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域為x≤1/3，在此區間內分別討論函數的增減性，從而確定函數的值域。
解：設f(x)=4x,g(x)=-√1-3x,(x≤1/3),易知它們在定義域內為增函數，從而y=f(x)+g(x)=4x-√1-3x
在定義域為x≤1/3上也為增函數，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數值域為{y|y≤4/3｝。
點評：利用單調性求函數的值域，是在函數給定的區間上，或求出函數隱含的區間，結合函數的增減性，求出其函數在區間端點的函數值，進而可確定函數的值域。
練習：求函數y=3+√4-x的值域。(答案：{y|y≥3｝)
八.換元法
以新變量代替函數式中的某些量，使函數轉化為以新變量為自變量的函數形式，進而求出值域。
例2求函數y=x-3+√2x+1的值域。
點撥：通過換元將原函數轉化為某個變量的二次函數，利用二次函數的值，確定原函數的值域。
解：設t=√2x+1(t≥0),則
x=1/2(t2-1)。
于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.
所以，原函數的值域為{y|y≥-7/2｝。
點評：將無理函數或二次型的函數轉化為二次函數，通過求出二次函數的值，從而確定出原函數的值域。這種解題的方法體現換元、化歸的思想方法。它的應用十分廣泛。
練習：求函數y=√x-1–x的值域。(答案：{y|y≤-3/4｝
高考數學五大主要解題思路
高考數學解題思想一：函數與方程思想
函數思想是指運用運動變化的觀點，分析和研究數學中的數量關系，通過建立函數關系(或構造函數)運用函數的圖像和性質去分析問題、轉化問題和解決問題;方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題轉化為方程(方程組)或不等式模型(方程、不等式等)去解決問題。利用轉化思想我們還可進行函數與方程間的相互轉化。
高考數學解題思想二：數形結合思想
中學數學研究的對象可分為兩大部分，一部分是數，一部分是形，但數與形是有聯系的，這個聯系稱之為數形結合或形數結合。它既是尋找問題解決切入點的“法寶”，又是優化解題途徑的“良方”，因此我們在解答數學題時，能畫圖的盡量畫出圖形，以利于正確地理解題意、快速地解決問題。
高考數學解題思想三：特殊與一般的思想
用這種思想解選擇題有時特別有效，這是因為一個命題在普遍意義上成立時，在其特殊情況下也必然成立，根據這一點，我們可以直接確定選擇題中的正確選項。不僅如此，用這種思想方法去探求主觀題的求解策略，也同樣精彩。
高考數學解題思想四：極限思想解題步驟
極限思想解決問題的一般步驟為：(1)對于所求的未知量，先設法構思一個與它有關的變量;(2)確認這變量通過無限過程的結果就是所求的未知量;(3)構造函數(數列)并利用極限計算法則得出結果或利用圖形的極限位置直接計算結果。
高考數學解題思想五：分類討論思想
我們常常會遇到這樣一種情況，解到某一步之后，不能再以統一的方法、統一的式子繼續進行下去，這是因為被研究的對象包含了多種情況，這就需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合歸納得解，這就是分類討論。引起分類討論的原因很多，數學概念本身具有多種情形，數學運算法則、某些定理、公式的限制，圖形位置的不確定性，變化等均可能引起分類討論。在分類討論解題時，要做到標準統一，不重不漏。
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