浙教版二次函數知識點
浙教版二次函數知識點
二次函數在初中數學中占有重要位置，特別是在中考的最后一道大題，算是數學大題中的壓軸題，接下來學習啦小編為你整理了浙教版二次函數知識點，一起來看看吧。
浙教版二次函數知識點
I.定義與定義表達式
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：y=ax^2+bx+c
(a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)則稱y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
II.二次函數的三種表達式
一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)
頂點式：y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點P(h，k)]
交點式：y=a(x-x₁)(x-x ₂) [僅限于與x軸有交點A(x₁ ，0)和 B(x₂，0)的拋物線]
注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函數的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。
IV.拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線 x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點P，坐標為：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交于(0，c)
6.拋物線與x軸交點個數
Δ= b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
Δ= b^2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a)
V.二次函數與一元二次方程
特別地，二次函數(以下稱函數)y=ax^2+bx+c，
當y=0時，二次函數為關于x的一元二次方程(以下稱方程)，即ax^2+bx+c=0
此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
1.二次函數y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：
當h>0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，
當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到.
當h>0,k>0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的圖象;
當h>0,k<0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;
當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;
當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;
因此，研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.
2.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).
3.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而減小;當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而增大.若a<0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而增大;當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而減小.
4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c);
(2)當△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的兩根.這兩點間的距離AB=|x₂-x₁|
當△=0.圖象與x軸只有一個交點;
當△<0.圖象與x軸沒有交點.當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0;當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0.
5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當x= -b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值.
6.用待定系數法求二次函數的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0).
(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0).
浙教版二次函數解題方法
1.求證“兩線段相等”的問題：
借助于函數解析式，先把動點坐標用一個字母表示出來;然后看兩線段的長度是什么距離(即是“點點”距離，還是“點軸距離”，還是“點線距離”，再運用兩點之間的距離公式或點到x軸(y軸)的距離公式或點到直線的距離公式，分別把兩條線段的長度表示出來，把它們進行化簡，即可證得兩線段相等。
2.“平行于y軸的動線段長度的最大值”的問題：
由于平行于y軸的線段上各個點的橫坐標相等(常設為t)，借助于兩個端點所在的函數圖象解析式，把兩個端點的縱坐標分別用含有字母t的代數式表示出來，再由兩個端點的高低情況，運用平行于y軸的線段長度計算公式y上-y下，把動線段的長度就表示成為一個自變量為t，且開口向下的二次函數解析式，利用二次函數的性質，即可求得動線段長度的最大值及端點坐標。
3.“拋物線上是否存在一點，使之到定直線的距離最大”的問題：
(方法1)先求出定直線的斜率，由此可設出與定直線平行且與拋物線相切的直線的解析式(注意該直線與定直線的斜率相等，因為平行直線斜率(k)相等)，再由該直線與拋物線的解析式組成方程組，用代入法把字母y消掉，得到一個關于x的的一元二次方程，由題有△=0(因為該直線與拋物線相切，只有一個交點，所以△=0)從而就可求出該切線的解析式，再把該切線解析式與拋物線的解析式組成方程組，求出x、y的值，即為切點坐標，然后再利用點到直線的距離公式，計算該切點到定直線的距離，即為最大距離。
(方法2)該問題等價于相應動三角形的面積最大問題，從而可先求出該三角形取得最大面積時，動點的坐標，再用點到直線的距離公式，求出其最大距離。
4.常數問題：
(1)點到直線的距離中的常數問題：
“拋物線上是否存在一點，使之到定直線的距離等于一個固定常數”的問題：先借助于拋物線的解析式，把動點坐標用一個字母表示出來，再利用點到直線的距離公式建立一個方程，解此方程，即可求出動點的橫坐標，進而利用拋物線解析式，求出動點的縱坐標，從而拋物線上的動點坐標就求出來了。
(2)三角形面積中的常數問題：
“拋物線上是否存在一點，使之與定線段構成的動三角形的面積等于一個定常數”的問題：先求出定線段的長度，再表示出動點(其坐標需用一個字母表示)到定直線的距離，再運用三角形的面積公式建立方程，解此方程，即可求出動點的橫坐標，再利用拋物線的解析式，可求出動點縱坐標，從而拋物線上的動點坐標就求出來了。
(3)幾條線段的齊次冪的商為常數的問題：
用K點法設出直線方程，求出與拋物線(或其它直線)的交點坐標，再運用兩點間的距離公式和根與系數的關系，把問題中的所有線段表示出來，并化解即可。
5.“在定直線(常為拋物線的對稱軸，或x軸或y軸或其它的定直線)上是否存在一點，使之到兩定點的距離之和最小”的問題：
先求出兩個定點中的任一個定點關于定直線的對稱點的坐標，再把該對稱點和另一個定點連結得到一條線段，該線段的長度〈應用兩點間的距離公式計算〉即為符合題中要求的最小距離，而該線段與定直線的交點就是符合距離之和最小的點，其坐標很易求出(利用求交點坐標的方法)。
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