高三數(shù)學奇偶性及周期性知識點整理

　　學習數(shù)學的時候我們就可以了解到函數(shù)的奇偶性及周期性是函數(shù)的一個重要性質(zhì),下面是學習啦小編給大家?guī)淼母呷龜?shù)學奇偶性及周期性知識點整理，希望對你有幫助。

　　高三數(shù)學函數(shù)的奇偶性、周期性知識點(一)

　　函數(shù)的奇偶性、周期性

　　函數(shù)的奇偶性定義：

　　偶函數(shù)：一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=f(x)，則稱函數(shù)f(x)為偶函數(shù)。

　　奇函數(shù)：一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)。

　　函數(shù)的周期性：

　　(1)定義：若T為非零常數(shù)，對于定義域內(nèi)的任一x，使f(x+T)=f(x)恒成立，則f(x)叫做周期函數(shù)，T叫做這個函數(shù)的一個周期。

　　周期函數(shù)定義域必是無界的。

　　(2)若T是周期，則k·T(k≠0，k∈Z)也是周期，所有周期中最小的正數(shù)叫最小正周期。一般所說的周期是指函數(shù)的最小正周期。

　　周期函數(shù)并非都有最小正周期，如常函數(shù)f(x)=C。

　　奇函數(shù)與偶函數(shù)性質(zhì)：

　　(1)奇函數(shù)與偶函數(shù)的圖像的對稱性：奇函數(shù)的圖像關于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關于y軸對稱。

　　(3)在公共定義域內(nèi)，①兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù)，兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù); ②兩個偶函數(shù)的和、積是偶函數(shù); ③一個奇函數(shù)，一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù)。

　　注：定義域在數(shù)軸上關于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要但不充分條件.

　　1、函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)的前提定義域必須關于原點對稱;定義域在數(shù)軸上關于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要但不充分條件.

　　2、函數(shù)的周期性 令a,b均不為零，若：

　　(1)函數(shù)y=f(x)存在f(x)=f(x+a)==>函數(shù)最小正周期T=|a|

　　(2)函數(shù)y=f(x)存在f(a+x)=f(b+x)==>函數(shù)最小正周期T=|b-a|

　　(3)函數(shù)y=f(x)存在f(x)=-f(x+a)==>函數(shù)最小正周期T=|2a|

　　(4)函數(shù)y=f(x)存在f(x+a)=

　　==>函數(shù)最小正周期T=|2a|

　　(5)函數(shù)y=f(x)存在f(x+a)=

　　==>函數(shù)最小正周期T=|4a|

　　高三數(shù)學函數(shù)的奇偶性、周期性知識點(二)

　　一、函數(shù)的奇偶性

　　二、周期性

　　1、周期函數(shù)

　　對于函數(shù)y=f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x+T)=f(x)，那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.

　　2、最小正周期

　　如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.

　　三、奇、偶函數(shù)的有關性質(zhì)：

　　(1)定義域關于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件;

　　(2)奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱;反之亦然;

　　(3)若奇函數(shù)f(x)在x=0處有定義，則f(0)=0;

　　(4)利用奇函數(shù)的圖象關于原點對稱可知，奇函數(shù)在原點兩側(cè)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同;利用偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱可知，偶函數(shù)在原點兩側(cè)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反.

　　(5)若函數(shù)滿足f(x+T)=f(x)，由函數(shù)周期性的定義可知T是函數(shù)的一個周期;應注意nT(n∈Z且n≠0)也是函數(shù)的周期.

　　四、利用定義判斷函數(shù)奇偶性的方法

　　(1)首先求函數(shù)的定義域，定義域關于原點對稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件;

　　(2)如果函數(shù)的定義域關于原點對稱，可進一步判斷f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否對定義域內(nèi)的每一個x恒成立(恒成立要給予證明，否則要舉出反例).

　　判斷分段函數(shù)的奇偶性應分段分別證明f(-x)與f(x)的關系，只有對各段上的x都滿足相同的關系時，才能判斷其奇偶性.

　　【特別提醒】

　　函數(shù)奇偶性的應用

　　(1)已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式.

　　利用奇偶性構(gòu)造關于f(x)的方程，從而可得f(x)的解析式.

　　(2)已知帶有字母參數(shù)的函數(shù)的表達式及奇偶性求參數(shù).

　　常常采用待定系數(shù)法：利用f(x)±f(-x)=0產(chǎn)生關于字母的恒等式，由系數(shù)的對等性可得知字母的值.

　　(3)奇偶性與單調(diào)性綜合時要注意奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反.