高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)等差數(shù)列公式
高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)等差數(shù)列公式
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高三數(shù)學(xué)等差數(shù)列公式
等差數(shù)列公式
等差數(shù)列公式an=a1+(n-1)d
a1為首項，an為第n項的通項公式，d為公差
前n項和公式為：Sn=na1+n(n-1)d/2
Sn=(a1+an)n/2
若m+n=p+q則：存在am+an=ap+aq
若m+n=2p則：am+an=2ap
以上n.m.p.q均為正整數(shù)
解析：第n項的值an=首項+(項數(shù)-1)×公差
前n項的和Sn=首項×n+項數(shù)(項數(shù)-1)公差/2
公差d=(an-a1)÷(n-1)
項數(shù)=(末項-首項)÷公差+1
數(shù)列為奇數(shù)項時，前n項的和=中間項×項數(shù)
數(shù)列為偶數(shù)項，求首尾項相加，用它的和除以2
等差中項公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差數(shù)列
通項公式：公差×項數(shù)+首項-公差
等差數(shù)列求和公式
若一個等差數(shù)列的首項為a1，末項為an那么該等差數(shù)列和表達式為：
S=(a1+an)n÷2
即(首項+末項)×項數(shù)÷2
前n項和公式
注意：n是正整數(shù)(相當(dāng)于n個等差中項之和)
等差數(shù)列前N項求和，實際就是梯形公式的妙用：
上底為：a1首項，下底為a1+(n-1)d，高為n。
即[a1+a1+(n-1)d]* n/2={a1n+n(n-1)d}/2。
推理過程
設(shè)首項為 , 末項為 , 項數(shù)為 , 公差為 , 前 項和為 , 則有:
當(dāng)d≠0時，Sn是n的二次函數(shù)，(n，Sn)是二次函數(shù) 的圖象上一群孤立的點。利用其幾何意義可求前n項和Sn的最值。
注意：公式一二三事實上是等價的，在公式一中不必要求公差等于一。
求和推導(dǎo)
證明：由題意得：
Sn=a1+a2+a3+。。。+an①
Sn=an+a(n-1)+a(n-2)+。。。+a1②
①+②得：
2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an](當(dāng)n為偶數(shù)時)
Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2
Sn=n(A1+An)/2 (a1，an，可以用a1+(n-1)d這種形式表示可以發(fā)現(xiàn)括號里面的數(shù)都是一個定值，即(A1+An)
基本公式
公式 Sn=(a1+an)n/2
等差數(shù)列求和公式
Sn=na1+n(n-1)d/2; (d為公差)
Sn=An2+Bn; A=d/2,B=a1-(d/2)
和為 Sn
首項 a1
末項 an
公差d
項數(shù)n
表示方法
等差數(shù)列基本公式:
末項=首項+(項數(shù)-1)×公差
項數(shù)=(末項-首項)÷公差+1
首項=末項-(項數(shù)-1)×公差
和=(首項+末項)×項數(shù)÷2
差:首項+項數(shù)×(項數(shù)-1)×公差÷2
說明
末項:最后一位數(shù)
首項:第一位數(shù)
項數(shù):一共有幾位數(shù)
和:求一共數(shù)的總和
本段通項公式
首項=2×和÷項數(shù)-末項
末項=2×和÷項數(shù)-首項
末項=首項+(項數(shù)-1)×公差:a1+(n-1)d
項數(shù)=(末項-首項)/ 公差+1 :n=(an-a1)/d+1
公差= d=(an-a1)/n-1
如：1+3+5+7+……99 公差就是3-1
將a1推廣到am，則為:
d=(an-am)/n-m
基本性質(zhì)
若 m、n、p、q∈N
①若m+n=p+q，則am+an=ap+aq
②若m+n=2q，則am+an=2aq(等差中項)
注意：上述公式中an表示等差數(shù)列的第n項。
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