2017年高考天津卷理數試卷和答案(2)
2017年高考天津卷理數試題解析版
一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
(A) (B) (C) (D)
【答案】
【解析】 ,選B.
【考點】 集合的運算
【名師點睛】集合的交、并、補運算問題，應先把集合化簡再計算，常常借助數軸或韋恩圖進行處理.
(A) (B)1(C) (D)3
【答案】
【考點】線性規劃
【名師點睛】線性規劃問題有三類:(1)簡單線性規劃，包括畫出可行域和考查截距型目標函數的最值，有時考查斜率型或距離型目標函數;(2)線性規劃逆向思維問題，給出最值或最優解個數求參數取值范圍;(3)線性規劃的實際應用，本題就是第三類實際應用問題.
(3)閱讀右面的程序框圖，運行相應的程序，若輸入的值為24，則輸出的值為
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
【答案】
【解析】依次為 ,，輸出 ，選C.
【考點】 程序框圖
識別算法框圖和完善算法框圖是高考的重點和熱點.解決這類問題：首先，要明確算法框圖中的順序結構、條件結構和循環結構;第二，要識別運行算法框圖，理解框圖解決的問題;第三，按照的要求完成解答.框圖的考查與函數和數列等相結合.
(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件
【答案】
【考點】
【名師點睛】，則是的充分條件，若，則是的必要條件，若，則是的充要條件;從集合的角度看，若，則是的充分條件，若，則是的必要條件，若，則是的充要條件，若是的真子集，則是的充分不必要條件，若是的真子集，則是的必要不充分條件.
(5)已知雙曲線的左焦點為，離心率為.若經過和兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為
(A) (B)(C)(D)
【答案】
【解析】由題意得 ，選B.
【考點】
【名師點睛】利用待定系數法求圓錐曲線方程是高考常見題型，求雙曲線方程最基礎的方法就是依據題目的條件列出關于的方程，解方程組求出，另外求雙曲線方程要注意巧設雙曲線(1)雙曲線過兩點可設為，(2)與共漸近線的雙曲線可設為，(3)等軸雙曲線可設為等，均為待定系數法求標準方程.
(6)已知奇函數在R上是增函數，.若，，，則a，b，c的大小關系為
(A) (B) (C) (D)
【答案】
【考點】
【名師點睛】比較大小是高考常見題，指數式、對數式的比較大小要結合指數函數、對數函數，借助指數函數和對數函數的圖象，利用函數的單調性進行比較大小，特別是靈活利用函數的奇偶性和單調性數形結合不僅能比較大小，還可以解不等式.
(7)設函數，，其中，.若，，且的最小正周期大于，則
(A)， (B)， (C)， (D)，
【答案】 中·華.資*源%庫 ziyuanku.com
【解析】由題意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故選A.
【考點】函數
【名師點睛】有關問題，一種為提供函數圖象求解析式或某參數的范圍，一般先根據圖象的最高點或最低點確定，再根據周期或周期或周期求出，最后再利用最高點或最低點坐標滿足解析式，求出滿足條件的值，另一種時根據題目用文字形容的函數圖象特點，如對稱軸或曲線經過的點的坐標，根據題意自己畫出圖象，再尋求待定的參變量，題型很活，求或的值或最值或范圍等.
(8)已知函數設，若關于x的不等式在R上恒成立，則a的取值范圍是$來&源：ziyuanku.com
(A) (B) (C) (D)
【答案】
當時，(*)式為，，
又(當時取等號)，
(當時取等號)，
所以，
綜上.故選A.
【考點】不等式、恒成立問題
【名師點睛】首先滿足轉化為去解決，由于涉及分段函數問題要遵循分段處理原則，分別對的兩種不同情況進行討論，針對每種情況根據的范圍，利用極端原理，求出對應的的范圍.
二. 填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.
(9)已知，i為虛數單位，若為實數，則a的值為 .
【答案】
【解析】為實數，
則.中·華.資*源%庫 ziyuanku.com
【考點】 復數的
【名師點睛】復數的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.
，
當時，為虛數，
當時，為實數，
當時，為純虛數.
(10)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為
.
【答案】
【考點】
【名師點睛】
(11)在極坐標系中，直線與圓的公共點的個數為___________.
2
【解析】直線為 ，圓為 ，因為 ，所以有兩個交點
【考點】
【名師點睛】 把極坐標方程化為直角坐標方程，再解聯立方程組根據判別式判斷出交點的個數，極坐標與參數方程為選修課程，要求靈活使用公式進行坐標變換及方程變換.
(12)若，，則的最小值為___________.
【考點】
【名師點睛】 ，當且僅當時取等號;(2) ， ，當且僅當時取等號;首先要注意公式的使用范圍，其次還要注意等號成立的條件;另外有時也考查利用“等轉不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.
(13)在中，，，.若，，且，則的值為___________.
【解析】 ,則
.
【考點】
【名師點睛】已知模和夾角，選作基地易于計算數量積.
(14)用數字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復數字，且至多有一個數字是偶數的四位數，這樣的四位數一共有___________個.(用數字作答)
【解析】
【考點】計數原理、排列、組合
【名師點睛】計數原理包含分類計數原理(加法)和分步計數原理(乘法)，組成四位數至多有一個數字是偶數
三. 解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
在中，內角所對的邊分別為.已知，，.
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)求的值.
【答案】 (1) .(2)
【解析】試題分析：利用正弦定理“角轉邊”得出邊的關系，再根據余弦定理求出，
進而得到，由轉化為，求出，進而求出，從而求出的三角函數值，利用兩角差的正弦公式求出結果.
()由()及，得，所以，
.故.
【名師點睛】利用正弦定理進行“邊轉角”尋求角的關系，利用“角轉邊”尋求邊的關系，利用余弦定理借助三邊關系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數值. 利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，經常利用三角形內角和定理，三角形面積公式，結合正、余弦定理解題.
16.(本小題滿分13分)
從甲地到乙地要經過3個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為.
(Ⅰ)設表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數，求隨機變量的分布列和數學期望;
(Ⅱ)若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率.
【答案】 (1) (2)
試題解析：()隨機變量的所有可能取值為0,1,2,3.
，
，
，
.
所以，隨機變量的分布列為
0 1 2 3 隨機變量的數學期望.
()設表示第一輛車遇到紅燈的個數，表示第二輛車遇到紅燈的個數，則所求事件的概率為
.
所以，這2輛車共遇到1個紅燈的概率為.
【名師點睛】求離散型隨機變量概率分布列問題首先要清楚離散型隨機變量的可取值有那些?當隨機變量取這些值時所對應的事件的概率有是多少，計算出概率值后，列出離散型隨機變量概率分布列，最后按照數學期望公式計算出數學期望.;列出離散型隨機變量概率分布列及計算數學期望是理科高考數學必考問題.
(17)(本小題滿分13分)
如圖，在三棱錐P-ABC中，PA底面ABC，.點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，PA=AC=4，AB=2.
(Ⅰ)求證：MN平面BDE;
(Ⅱ)求二面角C-EM-N的正弦值;
(Ⅲ)已知點H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長.
(3) 或
試題解析：如圖，以A為原點，分別以，，方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系.依題意可得
A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0).
(Ⅰ)證明：=(0，2，0)，=(2，0，).設，為平面BDE的法向量，
則，即.不妨設，可得.又=(1，2，)，可得.
因為平面BDE，所以MN//平面BDE.
(Ⅲ)依題意，設AH=h()，則H(0，0，h)，進而可得，.由已知，得，整理得，解得，或.
所以，線段AH的長為或.
直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角
【名師點睛】空間向量是解決空間幾何問題的銳利武器，不論是求空間角、空間距離還是證明線面關系利用空間向量都很方便，利用向量夾角公式求異面直線所成的角又快又準，特別是借助平面的法向量求線面角，二面角或點到平面的距離都很容易.
18.(本小題滿分13分)
已知為等差數列，前n項和為，是首項為2的等比數列，且公比大于0，
,，.
(Ⅰ)求和的通項公式;
(Ⅱ)求數列的前n項和.
【答案】 (1)..(2).
【解析】
試題分析：根據等差數列和等比數列通項公式及前項和公式列方程求出等差數列首項和公差及等比數列的公比，寫出等差數列和等比孰劣的通項公式，利用錯位相減法求出數列的和，要求計算要準確.
(II)解設數列的前項和為，
由，，有，
故，
，
上述兩式相減，得
得.
所以，數列的前項和為.
【名師點睛】利用等差數列和等比數列通項公式及前項和公式列方程組求數列的首項和公差或公比，進而寫出通項公式及前項和公式，這是等差數列、等比數列的基本要求，數列求和方法有倒序相加法，錯位相減法，裂項相消法和分組求和法等，本題考查錯位相減法求和.
(19)(本小題滿分14分)
設橢圓的左焦點為，右頂點為，離心率為.已知是拋物線的焦點，到拋物線的準線的距離為.
(I)
(II)設上兩點關于軸對稱直線與橢圓相交于點異于點)，直線與軸相交于點.若的面積為，求直線的方程.
【答案】 (1)， .，或.
試題分析：由于為拋物線焦點，到拋物線的準線的距離為，又橢圓的離心率為，求出，得出橢圓的標準方程和拋物線方程;則，設直線方程為設，解出兩點的坐標，把直線方程和橢圓方程聯立解出點坐標，寫出 所在直線方程，求出點的坐標，最后根據的面積為，得出直線的方程.
試題解析：()解：設的坐標為.依題意，，，，解得，，，于是.所以，橢圓的方程為，拋物線的方程為.
【名師點睛】圓錐曲線問題在歷年高考都是較有難度的壓軸題，不論第一步利用橢圓的離心率及橢圓與拋物線的位置關系的特點，列方程組，求出橢圓和拋物線方程，還是第二步聯立方程組求出點的坐標，寫直線方程，利用面積求直線方程，都是一種思想，就是利用大熟地方法解決幾何問題，坐標化，方程化，代數化是解題的關鍵.Ziyuanku.com
(20)(本小題滿分14分)
設已知定義在R上的函數在區間內有一個零點為的導函數
(Ⅰ)求的單調區間
(Ⅱ)設，函數，求證：;
(Ⅲ)求證：存在大于0的常數，使得對于任意的正整數，且 滿足
.
【答案】 (1)增區間是，，減區間是.
試題解析：(Ⅰ)由，可得，
進而可得.令，解得，或.
當x變化時，的變化情況如下表：
x WWW.ziyuanku.com + - + ↘ ↗ 所以，的單調遞增區間是，，單調遞減區間是.
(Ⅱ)證明：由，得，
.
令函數，則.由(Ⅰ)知，當時，，故當時，，單調遞減;當時，，單調遞增.因此，當時，，可得.
令函數，則.由(Ⅰ)知，在上單調遞增，故當時，，單調遞增;當時，，單調遞減.因此，當時，，可得.
所以，.
所以在內至少有一個零點，不妨設為，則.
由(I)知在上單調遞增，故，
于是.
因為當時，，故在上單調遞增，WWW.ziyuanku.com
所以在區間上除外沒有其他的零點，而，故.
又因為，，均為整數，所以是正整數，
從而.
所以.所以，只要取，就有.
【名師點睛】判斷的單調性，只需對函數求導，根據的導數的符號判斷函數的單調性，求出單調區間，有關函數的零點問題，先利用函數的導數判斷函數的單調性，了解函數的圖象的增減情況，再對極值點作出相應的要求，可控制零點的個數.
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