高三數學理科上學期期中題
學好數學剛開始要從基礎題入手，以課本上的習題為準，反復練習打好基礎，再找一些課外的習題，以幫助開拓思路，今天小編就給大家分享一下高三數學，一起來閱讀哦
高三數學理科上學期期中試卷
一、選擇題：每小題5分，共60分，只有一項是符合題目要求的.
1.若集合 ， ， 表示實數集，則下列選項錯誤的是(***)
A. B. C. D.
2.設復數 在復平面內對應的點關于實軸對稱，若 ，則 等于(***)
A.4i B.﹣4i C.2 D.﹣2
3.設P、M、N是單位圓上不相同的三點，且滿足 ，則 的最小值是(***)A. B. C. D.﹣1
4.某地一天 時的溫度變化曲線近似滿足函數 ，則這段曲線的函數解析式可以為(***)
A.
B.
C.
D.
5.函數 的圖象大致是(***)
A. B.
C. D.
6.命題： ;命題 ，則下列命題中的假命題為(***)
A. B. C. D.
7.設 滿足 ，若函數 的最大值為 ，則 的值為(***)
A. B. C. D.
8.若 ( )的圖像在 上恰有3個最高點，則 的范圍為(***)
A. B. C. D.
9.圖1所示，一棱長為2的正方體被削去一個角后所得到的幾何體的直觀圖，其中 ， ，若此幾何體的俯視圖如圖2所示，則可以作為其正視圖的是(***)
A. B. C. D.
10.已知棱長為 的正方體 內部有一圓柱，此圓柱恰好以直線 為軸，則該圓柱側面積的最大值為(***)
A. B. C. D.
11.已知函數 與 的圖象有三個不同的公共點,其中 為自然對數的底數,則實數 的取值范圍為(***)
A. B. C. D. 或
12.記 為 中的最小值，設 為任意正實數，則 的最大值為(***)
A. B. 2 C. D.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.如圖所示，在邊長為1的正方形 中任取一點 ，
則點 恰好取自陰影部分的概率為 .
14.向量 滿足： ， ， 在 上的投影為4， ，則 的最大值為 .
15.數列 且 ,若 為數列 的前 項和,則 .
16.已知函數 滿足 ，函數 ，若曲線 與 圖象的交點分別為 、 、…、 ，則 (結果用含有 的式子表示).
三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. (12分)已知等差數列 的公差為 ，且關于 的不等式 的解集為 ，
(Ⅰ)求數列 的通項公式; (Ⅱ)若 ，求數列 前 項和 .
18. (12分)如圖，在 中，內角 的對邊分別為 ，且 .
(Ⅰ)求角 的大小;
(Ⅱ)若 ， 邊上的中線 的
長為 ，求 的面積.
19. (10分)已知函數 .
(Ⅰ)解不等式： ;
(Ⅱ)設函數 的最小值為c，實數a，b滿足 ，
求證： .
20. (12分)四棱錐 的底面 為直角梯形， ， ， ， ， ， 為正三角形.
(Ⅰ)點 為棱 上一點，若 平面 ， ，求實數 的值;
(Ⅱ)若 ，求二面角 的余弦值.
21. (12分)已知圓 和圓 .
(Ⅰ)若直線 過點 且被圓 截得的弦長為 ，求直線 的方程;
(Ⅱ)設平面上的點 滿足：存在過點 的無窮多對互相垂直的直線 和 ，它們分別與圓 和圓 相交，且直線 被圓 截得的弦長與直線 被圓 截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點 的坐標。
22. (12分)已知函數 在點 處的切線方程為： .
(Ⅰ)若 ，證明： ;
(Ⅱ)若方程 有兩個實數根 ， ，且 ，證明： .
高三理科數學答案
一、選擇題：
1-12 CDBAD DACAC BD
二、填空題：
13. 14. 15. 16.
三、解答題：
17. 解：(1)由題意，得 解得 ┄┄┄┄┄┄4分
故數列 的通項公式為 ，即 .┄┄┄┄┄┄6分
(2)據(1)求解知 ，所以 ，┄┄┄┄┄┄8分
所以
┄┄┄┄┄┄12分
18解析：由 .
正弦定理，可得
即
可得：
則 …………………(6分)
(2)由(1)可知 .
則 .
設 ，則 ，
在 中利用余弦定理：可得.
即 ，可得 ，
故得 的面積 .…………………(12分)
19.解：①當 時，不等式可化為 ， .
又∵ ，∴ ∅;
②當 時，不等式可化為 ， .
又∵ ，∴ .
③當 時，不等式可化為 ， .
又∵ ，∴ .
綜上所得， .
∴原不等式的解集為 .…………………(5分)
(Ⅱ)證明：由絕對值不等式性質得， ，
∴ ，即 .
令 ， ，則 ， ， ， ，
，
原不等式得證.…………………(10分)
20. 解析：(1)因為 平面SDM， 平面ABCD，平面SDM 平面ABCD=DM，
所以 ，因為 ,所以四邊形BCDM為平行四邊形，
又 ,所以M為AB的三等分點.因為 ， . 4分
(2)因為 ， ，所以 平面 ，
又因為 平面 ，所以平面 平面 ，
平面 平面 ，
在平面 內過點 作 直線 于點 ，
則 平面 ， 在 和 中，
因為 ，所以 ，
又由題知 ，所以
所以 ， 6分
以下建系求解.
以點E為坐標原點，EA方向為X軸，EC方向為Y軸，ES方向為Z軸建立如圖所示空間坐標系，則 ， ， ， ， ，
， ， ， ，
設平面 的法向量 ，則 ，所以 ，令 得 為平面 的一個法向量，
同理得 為平面 的一個法向量， 9分
， 10分 因為二面角 為鈍角，11分
所以二面角 余弦值為 . 12分
21. 解：(1)設直線 的方程為： ，即
由垂徑定理，得：圓心 到直線 的距離 ，
點到直線距離公式，得：
求直線 的方程為： 或 ，
即 或 4分
(2) 設點P坐標為 ，直線 、 的方程分別為：
，即：
因為直線 被圓 截得的弦長與直線 被圓 截得的弦長相等，兩圓半徑相等。由
垂徑定理，得：：圓心 到直線 與 直線 的距離相等。
故有： ，
化簡得：
關于 的方程有無窮多解，有： ,或
解之得：點P坐標為 或 。 12分
22. 解：(Ⅰ)由題意 ，所以 ，
又 ，所以 ，源
若 ，則 ，與 矛盾，故 ， . 3分
可知 ， ，
由 ，可得 ，
令 ， ，
當 時， ，
當 時，設 ， ，
故函數 在 上單調遞增，又 ，
所以當 時， ，當 時， ，
所以函數 在區間 上單調遞減，在區間 上單調遞增，
故 ，即 故 . 6分
(Ⅱ)設 在(-1，0)處的切線方程為 ，
易得， ，令
即 ， ，
當 時，
當 時，設 ， ，
故函數 在 上單調遞增，又 ，
所以當 時， ，當 時， ，
所以函數 在區間 上單調遞減，在區間 上單調遞增，
故 ， ，
設 的根為 ，則 ，
又函數 單調遞減，故 ，故 ，
設 在(0,0)處的切線方程為 ，易得 ，
由(Ⅱ)得 ，
設 的根為 ，則 ，
又函數 單調遞增，故 ，故 ，
又 ， . 12分
高三數學上學期期中聯考試卷閱讀
第Ⅰ卷(共40分)
一、選擇題：本大題共8個小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合 ， ，則 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先把集合A解出來，然后求A∪B即可.
【詳解】因為集合合 ，
所以 ，
故選：B.
【點睛】本題主要考查集合的交集，屬于基礎題.
2.執行如圖所示的程序框圖，輸出的值為( )
A. -10 B. -2 C. 2 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環結構計算并輸出變量S的值，模擬程序的運行過程，可得答案.
【詳解】模擬程序的運行過程，第一次運行： ，
第二次運行：
第三次運行：
第四次運行：
此時 ，推出循環，輸出輸出 .
故選C.
【點睛】本題考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結論，是基礎題.
3.設平面向量 ， ， ， ，則實數 的值等于( )
A. B. C. 0 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根據平面向量的坐標運算與共線定理，列方程求出k的值.
【詳解】向量 ， ，，
∴
=
故選A.
【點睛】本題考查了平面向量的坐標運算與共線定理的應用問題，是基礎題.
4.已知 ，則下列不等關系中正確的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用指函數的單調性得出結論.
【詳解】A. ，顯然不成立;
B. 錯誤，因為函數 在 上為增函數，由 ，可得 ;
同理C. ，因為函數 在 上為增函數，由 ，可得 ;
D. ，正確，因為函數 在 上為減函數，由 ，可得 ;
故選D.
【點睛】本題考查函數單調性的應用，屬基礎題.
5.“ ”是“ ”的( )
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】
觀察兩條件的互推性即可求解.
【詳解】由“ ”可得到“ ”，但“ ”不一定得到“ ”，
故“ ”是“ ”的充分而不必要條件.
故応A.
6.已知函數 ，若 ( )，則 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由 ，可知 由 可得
根據基本不等式可求 的取值范圍.
【詳解】 若 由 ，則 與 矛盾;同理 也可導出矛盾，故 而
即
故選B
【點睛】本題考查分段函數的性質以及基本不等式的應用，屬中檔題.
7.已知函數 當 時，方程 的根的個數為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
畫出函數 的圖像，由圖像可得結論.
【詳解】畫出函數 的圖像，
有圖可知方程 的根的個數為3個.
故選C.
【點睛】本題考查分段函數的性質、方程的根等知識，綜合性較強，考查利用所學知識解決問題的能力，是中檔題.
8.將正奇數數列1,3,4,5,7,9，…依次按兩項、三項分組，得到分組序列如下： ， ， ， ，…，稱 為第1組， 為第2組，依此類推，則原數列中的2019位于分組序列中( )
A. 第404組 B. 第405組 C. 第808組 D. 第809組
【答案】A
【解析】
【分析】
求出2019為第1010個證奇數，根據富足規則可得答案.
【詳解】正奇數數列1,3,4,5,7,9，的通項公式為 則2019為第1010個奇數，因為按兩項、三項分組，故按5個一組分組是有202組，故原數列中的2019位于分組序列中第404組
選A.
【點睛】本題考查閨女是推理，屬中檔題.
第Ⅱ卷(共110分)
二、填空題(每題5分，滿分30分，將答案填在答題紙上)
9.已知 ， ，則 _________， __________.
【答案】 (1). (2). --
【解析】
【分析】
利用同角三角函數基本關系式和誘導公式可解.
【詳解】由題 ， ，則
即答案為(1). (2).
【點睛】本題考查同角三角函數基本關系式和誘導公式，屬基礎題.
10.已知 ， 滿足 則 的最大值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】
作出題中不等式組表示的平面區域，得如圖的△ABC及其內部，再將目標函數z=x+2y對應的直線進行平移，可得當x=3，y=1時，z=x+2y取得最大值為5.
【詳解】 作出不等式組 表示的平面區域，
得到如圖的△ABC及其內部，其中A(1，1)，B(-2，-2)，C(4，-2)
設z= x+2y，將直線l：z=x+2y進行平移，
當l經過點A時，目標函數z達到最大值
∴z最大值= 3
故答案為：3
【點睛】本題給出二元一次不等式組，求目標函數z=x+2y的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區域和簡單的線性規劃等知識，屬于基礎題.
11.已知函數 滿足下列條件：
①定義域為 ;
②函數 在 上單調遞增;
③函數 的導函數 有且只有一個零點，
寫出函數 的一個表達式__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用已知條件，直接推出結果即可.
【詳解】①定義域為 ;
②函數 在 上單調遞增;
③函數 的導函數 有且只有一個零點，
滿足條件一個函數可以為： .或 +2等等.
故答案為： .(答案不唯一)
【點睛】本題考查函數的簡單性質的應用，函數的解析式的求法，考查判斷能力.
12.如圖，在平行四邊形 中， ， 分別為邊 ， 的中點，連接 ， ，交于點 ，若 (， )，則 __________.
【答案】
【解析】
【分析】
根據平行線分線段成比例解答即可.
【詳解】 根據平行線分線段成比例可得 而
故
即答案為 .
【點睛】本題考查平面向量基本定理的應用，屬中檔題.
13.海水受日月的引力，在一定的時候發生的漲落現象叫潮.港口的水深會隨潮的變化而變化.某港口水的深度 (單位：米)是時刻( ，單位：小時)的函數，記作 .下面是該港口某日水深的數據：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
8.0 11.0 7.9 5.0 8.0 11.0 8.0 5.0 8.0
經長期觀察，曲線 可近似地看成函數 ( ， )的圖象，根據以上數據，函數 的近似表達式為__________.
【答案】
【解析】
【分析】
設出函數解析式，據最大值與最小值的差的一半為A;最大值與最小值和的一半為h;通過周期求出ω，得到函數解析式.
【詳解】根據已知數據數據可以得出A=3，b=8，T=12，φ=0，
由 ，得ω= ，所以函數 的近似表達式
即答案為
【點睛】本題考查通過待定系數法求函數解析式、屬基礎題.
14.從標有數字， ，， ( ，且， ，， )的四個小球中任選兩個不同的小球，將其上的數字相加，可得4種不同的結果;將其上的數字相乘，可得3種不同的結果，那么這4個小球上的不同的數字恰好有__________個;試寫出滿足條件的所有組， ，， __________.
【答案】 (1). 3 (2). 1,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9
【解析】
【分析】
由 ，且個小球中任選兩個不同的小球，將其上的數字相加，可得4種不同的結果;將其上的數字相乘，可得3種不同的結果，則必有兩個數字相等，分析可得
4個小球上的不同的數字恰好有3個，在逐一分析可得滿足條件的所有組， ，， .
【詳解】由 ，且個小球中任選兩個不同的小球，將其上的數字相加，可得4種不同的結果;將其上的數字相乘，可得3種不同的結果，則必有兩個數字相等，分析可得
4個小球上的不同的數字恰好有3個，若兩個相等的數為1，如1，1,2，4，則四個小球中任選兩個不同的小球，將其上的數字相加，可得3種不同的結果，不符合題意，若若兩個相等的數為2，則符合題意的為1,2,2,4;推理可得1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9符合題意.
即答案(1). 3 (2). 1,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9
【點睛】本題考查歸納推理，屬難題.
三、解答題 (本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
15.設 ( )是各項均為正數的等比數列，且 ， .
(I)求 的通項公式;
(II)若 ，求 .
【答案】(I) ， .
(II)
【解析】
【分析】
(I)設 為首項為 ，公比為 ( )，則依題意，
，解得 ， ，即可得到 的通項公式;
(II)因為 ，利用分組求和法即可得到 .
【詳解】(I)設 為首項為 ，公比為 ( )，則依題意，
，解得 ， ，
所以 的通項公式為 ， .
(II)因為 ，
所以
【點睛】本題考查等比數列的基本量計算，以及分組求和法屬基礎題.
16.已知函數 .
(I)求 的最小正周期及單調遞增區間;
(II)若對任意 ， ( 為實數)恒成立，求 的最小值.
【答案】(I)最小正周期為 ,單調遞增區間為 ， .
(II) 的最小值為2
【解析】
【分析】
(I)根據二倍角公式及輔助角公式求得f(x)的解析式，根據正弦函數的性質即可求得f(x)的最小正周期及其單調遞增區間;
II)由 .可得 .由此可求 的最小值.
【詳解】(I)由已知可得
.
所以最小正周期為 .
令 ， .
所以 ，
所以 ，即單調遞增區間為 ， .
(II)因為 .
所以 ，
則 ，
所以 ，
當 ，即 時， .
因為 恒成立，所以 ，所以 的最小值為2
【點睛】本題考查三角恒等變換，正弦函數的單調性及最值，考查轉化思想，屬于中檔題.
17.在 中，角 ， ， 的對邊分別為， ，， ， ， .
(I)求;
(II)求 的面積.
【答案】證明見解析
(II)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)利用同角三角函數基本關系式求得 .，利用正弦定理可求;;
(II)在 中，由 知 為鈍角，所以 .利用 ，可求 求 的面積.
【詳解】證明：(I)因為 ，即 ，
又 ， 為鈍角，所以 .
由 ，即 ，解得 .
(II)在 中，由 知 為鈍角，所以 .
，
所以
所以
【點睛】此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理是解本題的關鍵.
18.已知函數 ( )
(I)當 時，求 在區間 上的最大值和最小值;
(II)求證：“ ”的“函數 有唯一零點”的充分而不必要條件.
【答案】(I) ; .
(II)“ ”是“ 有唯一零點”的充分不必要條件
【解析】
【分析】
(Ⅰ)先求導，再由導函數為0，求出極值，列表解得即可;
(Ⅱ)根據(Ⅰ)分類討論，分別利用導數和函數的零點的關系以及充分不必要條件的定義即可證明.
【詳解】(I) ，
當 時， ，
當 在 內變化時， ， 的變化如下表：
-1 0 1 2
+ 0 - 0 +
-4 ↗ 極大值1 ↘ 極小值0 ↗ 5
當 時， ; .
(II)若 ， .
當 變化時， ， 的變化如下表：
0
+ 0 - 0 +
↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
，因為 ，所以 .即 .
且 ，所以 有唯一零點.
所以“ ”是“ 有唯一零點”的充分條件.
又 時，當 變化時， ， 的變化如下表：
0
- 0 + 0 -
↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘
又 ， ， .
所以此時 也有唯一零點.
從而“ ”是“ 有唯一零點”的充分不必要條件
【點睛】本題考查了導數和函數的極值和零點的關系，考查了學生的運算能力和轉化能力，屬于難題.
19.已知函數 ( ).
(I)求曲線 在點 處的切線方程;
(II)試判斷函數 的單調性并證明;
(III)若函數 在 處取得極大值，記函數 的極小值為 ，試求 的最大值.
【答案】(I) .
(II)函數 在 和 上單調遞增，在 上單調遞減.
(III)函數 的最大值為 .
【解析】
【分析】
函數 的定義域為 ，且 .
(I)易知 ， ，代入點斜式即可得到曲線 在點 處的切線方程;
(II)令 ，得 ， ，分類討論可得函數 的單調性，
(III)由(II)可知，要使 是函數 的極大值點，需滿足 .
此時，函數 的極小值為 .，利用導數可求 的最大值.
【詳解】函數 的定義域為 ，
且 .
(I)易知 ，
所以曲線 在點 處的切線方程為 .
即 .
(II)令 ，得 ，
①當 時， .
當 變化時， ， 變化情況如下表：
1
+ 0 - 0 +
↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
所以函數 在 和 上單調遞增，在 上單調遞減.
②當 時， 恒成立.
所以函數 在 上單調遞增.
③當 時， .
當 變化時， ， 變化情況如下表：
1
+ 0 - 0 +
↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
所以函數 在 和 上單調遞增，在 上單調遞減.
(III)由(II)可知，要使 是函數 的極大值點，需滿足 .
此時，函數 的極小值為 .
所以 .
令 得 .
當變化時， ， 變化情況如下表：
+ 0 -
↗ 極大值 ↘
所以函數 的最大值為 .
【點睛】本題考查函數的導數的應用，函數的單調性以及切線方程的求法，考查轉化思想以及計算能力.
20.設 ， 為正整數，一個正整數數列 ， ，…， 滿足 ，對 ，定義集合 ，數列 ， ，…， 中的 ( )是集合 中元素的個數.
(I)若數列 ， ，…， 為5,3,3,2,1,1，寫出數列 ， ，…， ;
(II)若 ， ， ， ，…， 為公比為 的等比數列，求 ;
(III)對 ，定義集合 ，令 是集合 中元素的個數.求證：對 ，均有 .
【答案】(I)數列 ， ，…， 是6,4,3,1,1.
(II)
(III) ，
【解析】
【分析】
(I)根據數列 ， ，…， 數列 ， ，…， 是6,4,3,1,1.
(II)由題知 ，由于數列 ， ，…， 是 項的等比數列，
因此數列 ， ，…， 為 ， ，…，2，利用反證法證明 ;
(III)對 ， 表示 ， ，…， 中大于等于的個數，首先證明 .再證對 ， 即可.
【詳解】(I)解：數列 ， ，…， 是6,4,3,1,1.
(II)由題知 ，由于數列 ， ，…， 是 項的等比數列，
因此數列 ， ，…， 為 ， ，…，2
下面證明
假設數列 中有 個 ， 個 ，…， 個2， 個1，顯然
所以 .
由題意可得 ， ，
，…， ，…， .
所以
故
即
(III)對 ， 表示 ， ，…， 中大于等于的個數
由已知得 ， ，…， 一共有 項，每一項都大于等于1，故 ，由于
故
由于 ，故當 時，
即 .
接下來證明對 ，
，則 ，即1,2，…， ，從而
故 ，
從而1,2，…， ，故 ，從而 ，故有
設 ，即 ，根據集合 的定義，有 .
由 知，1,2，…， ，由 的定義可得 ，
而由 ，故
因此，對 ，
【點睛】本題考查新定義數列的理解與求法，考查不等式的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意反證法的合理運用.屬難題.
理科高三數學上學期期中試題
第I卷 共60分
一、選擇題：本大題有12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.
1.設集合 A={x|x2-3x+2≥0}，B={x|2x<4}，則 A∪B= ( **** )
A. R B. ∅ C. {x|x≤1} D. {x|x>2}
2.若復數 ( )是純虛數,則復數 在復平面內對應的點在( **** )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知命題 ：“ ，都有 成立”，則命題 為(**** )
A. ，有 成立 B. ，有 成立
C. ，有 成立 D. ，有 成立
4.利用數學歸納法證明“(n+1)(n+2) …(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)，n∈N*”時，從“n=k”變到“n=k+1”時，左邊應增乘的因式是(**** )
A.2k+1 B.2(2k+1)
C.2k+1k+1 D.2k+3k+1
5. 我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈?”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈(****)
A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞
6. 設 ，則 的大小關系為(**** )
A. B. C. D.
7.記不等式組 解集為 ,若 ,則實數 的最小值是( **** )
A.0 B.1 C.2 D.4
8.如圖，在平面四邊形 中， ， ， ， . 若點 為邊 上的動點，則 的最小值為(**** )
A. B. C. D.
9.已知函數 (其中 為自然對數的底數)，則 的大致圖象大致為( **** )
A. B. C. D
10.如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，角 的始邊為射線 ，終邊為射線 ，過點 作直線 的垂線，垂足為 ，將點 到直線 的距離表示為 的函數 ，則 = 在[0, ]上的圖像大致為(**** )
11.已知函數 若方程 在 上有且只有
四個實數根，則實數 的取值范圍為( **** )
A. B. C. D.
12.已知關于 的方程 有唯一實數解，則實數 的值為(****)
A. B. C. 或 D. 或
第Ⅱ卷 共90分
二：填空題：本大題有4小題，每小題5分.
13.已知向量 ， 的夾角為 ， ， ，則 __****__.
14.已知 滿足約束條件 若目標函數 的最大值為7，
則 的最小值為__****__.
15.甲和乙玩一個猜數游戲，規則如下：已知五張紙牌上分別寫有 ( )五個數字，現甲、乙兩人分別從中各自隨機抽取一張，然后根據自己手中的數推測誰手上的數更大.
甲看了看自己手中的數，想了想說：我不知道誰手中的數更大;乙聽了甲的判斷后，思索了一下說：我也不知道誰手中的數更大.假設甲、乙所作出的推理都是正確的，那么乙手中的數是_***__.
16.在數列 中，若存在一個確定的正整數T，對任意 滿足 ，則稱 是周期數列，T叫做它的周期.已知數列 滿足 ， ，若數列 的周期為3，則 的前100項的和為 **** .
三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分12分)
如圖，在 中, , ,點 在邊 上, , , 為垂足.
(Ⅰ)若 的面積為 ,求 的長;
(Ⅱ)若 ,求 的大小.
18.(本小題滿分12分)
已知數列 的前 和為 ，若 ， .
(Ⅰ)求數列 的通項公式;
(Ⅱ)若 ，求數列 的前 項和 .
19.(本小題滿分12分)
在直角坐標系 中，曲線 ,曲線 為參數)，以坐標原點 為極點，以 軸正半軸為極軸，建立極坐標系.
(Ⅰ)求曲線 的極坐標方程;
(Ⅱ)已知射線 與曲線 分別交于點 (異于原點 )，當 時，
求 的取值范圍.
20.(本小題滿分12分)
已知函數 ( ).
(Ⅰ)當 時，解不等式 ;
(Ⅱ)若 ，求 的取值范圍.
21. (本小題滿分12分)
函數 ，在一個周期內的圖象如圖所示, 為圖象的最高點, 、 為圖象與 軸的交點,且 為正三角形.
(Ⅰ)求函數 的解析式;
(Ⅱ)將 的圖象上每個點的橫坐標縮小為原來的 倍(縱坐標不變)，再向右平移 個單位得到函數 ，若設 圖象在 軸右側第一個最高點為 ，試問 圖象上是否存在點 ，使得 ，若存在請求出滿足條件的點 的個數，若不存在，說明理由.
22.(本小題滿分12分)
已知函數 .
(Ⅰ)當 時，討論 的極值情況;
(Ⅱ)若 ，求 的值.
福建師大附中2018-2019學年第一學期高三期中考試卷解答
數學 (理科)
一、選擇題：ABDBB ;DCADB,BA
二：填空題：本大題有4小題，每小題5分.
13. , 14. 7 15. 16.67
三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分12分)
(Ⅰ)由已知得 ， 又 ， 得 ……………3分
在 中，由余弦定理得
，
所以 的長為 ……………6分
(Ⅱ)因為 ……………8分
在 中，由正弦定理得 ，又 , ……………10分
得 ，……………11分 解得 ,所以 即為所求. ……………12分
18.(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ) ， .………………………………1分
當 時， ，得 .………………………………2分
當 時， ，
，………………………………3分
，即 ，
.………………………………4分
數列 是等差數列，且首項為 ，公差為2，………………………………5分
.………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知， ，
，——①………………………………7分
，——②………………………………8分
①–②得 ………………………………9分
，………………………………10分
化簡得 .…………………12分
19.(本小題滿分12分)
解：(1)因為 ，所以曲線 的普通方程為： ，由 ，得曲線 的極坐標方程 ，
對于曲線 , ,則曲線 的極坐標方程為
(2)由(1)得 , ，
因為 ，則
20.(本小題滿分12分)
解：(1)f(x)=2|x-1|+|x-2|=-3x+4，x<1，x，1≤x≤2，3x-4，x>2.
所以，f(x)在(-∞,1]上遞減，在[1，+∞)上遞增，
又f(0)=f( 8 3)=4，故f(x)≤4的解集為{x|0≤x≤ 8 3}. ....................................6分
(2)
①若a>1，f(x)=(a-1)|x-1|+|x-1|+|x-a|≥a-1，
當且僅當x=1時，取等號，故只需a-1≥1，得a≥2. .................................7分
②若a=1，f(x)=2|x-1|，f(1)=0<1，不合題意. ...................…9分
③若0
當且僅當x=a時，取等號，故只需a(1-a)≥1，這與0
綜上所述， a的取值范圍是[2，+∞). …...................12分
21. (本小題滿分12分)
由已知得: ………2分
∵ 為圖象的最高點， ∴ 的縱坐標為 ,又∵ 為正三角形，所以 …………3分
∴ 可得 , 即 得 …………4分,
∴ …………5分,
(Ⅱ)由題意可得 , …………7分
法一：作出如右下圖象，由圖象可知滿足條件的點 是存在的，而且有兩個………8分
注：以上方法雖然能夠得到答案，但其理由可信度不高，故無法給滿分.
法二：由 得 ，即 ，
即 ，由此作出函數 及 圖象，由圖象可知滿足條件的 點有兩個.………10分(注：數形結合是我們解題中常用的方法，但就其嚴密性而言，仍有欠缺和不足.)
法三：由 得 ，即 ，即 ，問題轉化為研討函數 零點個數。∵ ， ，當 時， 恒成立，從而說明函數 在 中是單調遞增函數………10分，
又 ， ，故存在 ，使得 從而函數 在區間 單調遞減，
在區間 單調遞增………11分 又 ， ， ，由零點存在定理得:
函數 在區間 和區間 上各有一個零點…12分
22.(本小題滿分12分)
解：(Ⅰ) 1分
. 因為 ，由 得， 或 .
①當 時， ， 單調遞增，故 無極值.2分
②當 時， . , , 的關系如下表：
+ 0 - 0 +
單調遞增 極大值 單調遞減 極小值 單調遞增
故 有極大值 ，極小值 .4分
③當 時， . , , 的關系如下表：
+ 0 - 0 +
單調遞增 極大值 單調遞減 極小值 單調遞增
故 有極大值 ，極小值 .5分
綜上：當 時， 有極大值 ，極小值 ;
當 時， 無極值;
當 時， 有極大值 ，極小值 .6分
(Ⅱ)令 ，則 .
(i)當 時， ，
所以當 時， ， 單調遞減，
所以 ，此時 ，不滿足題意.8分
(ii)由于 與 有相同的單調性，因此，由(Ⅰ)知：
①當 時， 在 上單調遞增，又 ，
所以當 時， ;當 時， .
故當 時，恒有 ，滿足題意.9分
②當 時， 在 單調遞減，
所以當 時， ，
此時 ，不滿足題意.10分
③當 時， 在 單調遞減，
所以當 時， ，
此時 ，不滿足題意. 11分 綜上所述： . 12分
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