高三理科數學上學期期中試卷
把主要精力放在基礎知識、基本技能、基本方法這三個方面上，今天小編就給大家分享一下高三數學，歡迎閱讀學習
高三數學上學期期中試卷理科
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合 ,則集合 且 為( )
A. B. C. D.
2. 若復數 滿足 ,則 的虛部為( )
A. B. C. D.
3.三角形內，a>b是cosA
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
4. 若 是 的一個內角,且 ,則 的值為( )
A. B. C. D.
5. 兩個非零向量 滿足 則向量 與 夾角為( )
A. B. C. D.
6. 如果 位于第三象限,那么角 所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第一或三象限 D.第二或四象限
7. 函數 的圖象可能是( )
A. B.
C. D.
8. 已知數列 滿足: , ，設數列 的前 項和為 ,則 ( )
A.1007 B.1008 C.1009.5 D.1010
9. 在平面直角坐標系 中,角 與角 均以 為始邊,它們的終邊關于x軸對稱,若 ,則 ( )
A. 或 B. 或 C. D.
10.已知函數 的圖象向左平移 個單位后,得到函數 的圖象,下列關于 的說法正確的是( )
A.圖象關于點 中心對稱 B.圖象關于點 中心對稱.
C.圖象關于 軸對稱 D.圖象關于 軸對稱
11. 已知函數 的圖象關于點 對稱,若函數 有四個零點 則 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
12. 已知 是定義在 上的單調遞減函數, 是其導函數,若 ,則下列不等關系成立的是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)
二、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上).
13. 已知 若 ,則實數 __________
14. __________
15. 在 中, ,其面積為 ,則 的取值范圍是__________
16. 關于函數 ,有下列命題:
①由 可得 必是 的整數倍;
② 的表達式可改寫為 ;
③ 的圖象關于點 對稱;
④ 的圖象關于直線 對稱.
其中不正確的命題的序號是__________.
三、解答題(本大題共6小題，滿分共70分)
17.(本小題滿分10分) 在 中,角 、 、 的對邊分別為 、 、 ,向量 , ,且 .
(1)求銳角 的大小;
(2)若 ,求 面積的最大值.
19.(本小題滿分12分)
某經銷商計劃經營一種商品,經市場調查發現,該商品每日的銷售量 (單位:千克)與銷售價格 (單位:元/千克, ),滿足:當 時, ( 為常數);當 時, .已知當銷售價格為 元/千克時,每日可售出該特產 千克;當銷售價格為 元/千克時,每日可售出 千克.
(1)求 的值,并確定 關于 的函數解析式;
(2)若該商品的銷售成本為 元/千克,試確定銷售價格 的值,使店鋪每日銷售該特產所獲利潤 最大
20.(本小題滿分12分)
設各項均為正數的數列 的前 項和為 ,滿足 , 且 構成等比數列.
(1)求數列 的通項公式;
(2)若對一切正整數 都有 ,求實數 的最小值.
21.(本小題滿分12分)
已知 .
(1)討論 的單調性
(2)若 在 上有且僅有一個零點,求 的取值范圍.
22.(本小題滿分12分)
已知函數
(1)若 ,求曲線 在點 處的切線方程
(2)若 在 上恒成立,求實數 的取值范圍
(3)若數列 的前 項和 , ,求證:數列 的前 項和
數 學 試 題 答 案(理科)
1--12 B DCBC CCDCB BA
13. -1 14. 15.(-1，0) 16. (1)(4)
17.解：(1)∵ ,∴ , +1分
∴ . +3分
又∵ 為銳角,∴ ,
∴ ,∴ . +5分
4. ∵ , ,
由余弦定理 ,得 . +7分
又 ,代入上式,得 ,
當且僅當 時等號成立. +9分
故 ,
當且僅當 時等號成立,
即 的最大值為 . +10分
+4分
+6分
+8分
+10分
+12分
19.解：(1)由題意: 時 ,
∴ ,
又∵ 時 ,
∴ ,可得 , +2分
∴ +4分
(2)由題意: +5分
當 時,
由 得 或 由 得
所以 在 上是增函數,在 上是減函數
因為 所以 時, 的最大值為 +8分
當 時,
當且僅當 ,即 時取等號,
∴ 時有最大值 . ∵ , +11分
∴當 時 有最大值 ,
即當銷售價格為 元的值,使店鋪所獲利潤最大. +12分
20.解：(1) 即
且
∴ ,
∴ ,
∵ ,∴ ,
∴當 時, 是公差為 的等差數列. +4分
∵ ,構成等比數列,
∴ ,解得 , +5分
又由已知,當 時, ,
∴ ∵ ,
∴ 是首項 ,公差 的等差數列.
∴數列 的通項公式 . +6分
(2)由(1)可得式
+10分
解得
∴ 的最小值為 +12分
21.解：(1)由已知 的定義域為 ,又 , +1分
當 時, 恒成立; +2分
當 時,令 得 ;令 得 . +4分
綜上所述,當 時, 在 上為增函數;
當 時, 在 上為增函數,在 上為減函數. +5分
(2)由題意 ,則 , +6分
當 時,∵ , +7分
∴g在上為增函數,又 ,不符合題意.
當 時, , +8分
令 ,則 .
令 的兩根分別為 且 ,
則∵ ,∴ ,
當 時, ,∴ ,∴ 在 上為增函數;
當 時, ,∴ ,∴ 在 上為減函數;
當 時, ,∴ ,∴ 在 上為增函數.
∵g=0,∴ 在上只有一個零點 1,且 >0, <0.
∴ ,
∴g在上必有一個零點.
∵ ,當 時,g<0,∴ .
∴ 在 上必有一個零點.
綜上所述,a的取值范圍為 +12分
22.解：(1)因為 ,所以 , ,切點為 .由 ,所以 ,所以曲線 在 處的切線方程為 ,即 +2分
(2)由 ,令 ,則 (當且僅當 取等號).故 在 上為增函數.
①當 時, ,故 在 上為增函數,所以 恒成立,故 符合題意;
②當 時,由于 , ,根據零點存在定理,必存在 ,使得 ,由于 在 上為增函數,故當 時, ,故 在 上為減函數, 所以當 時, ,故 在 上不恒成立,所以 不符合題意.綜上所述,實數 的取值范圍為 +6分
(3)證明:由 由2知當 時, ,故當 時, , 故 ,故 .下面證明:
因為
而,
所以, ,即: +12分
關于高三上學期數學期中試題
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的
1.已知 則 等于( )
A. B. C. D.
2.命題“”的否定是( )
A. B.
C. D.
3.“ ”是“ ”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
4.已知函數y=f(x)，其導函數y=f′(x)的圖像如圖所示，則y=f(x)( )
A.在(-∞，0)上為減少的 B.在x=0處取極小值
C.在(4，+∞)上為減少的 D.在x=2處取極大值
5. ( )
A.0 B. C. D.1
6.下列求導運算正確的是( )
A.(cos x)′=sin x B.(ln 2x)′=1x C.(3x)′=3xlog3e D.(x2ex)′=2xex
7 .將函數y=sinx-π3的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再將所得的圖象向左平移π3個單位，得到的圖象對應的解析式為( )
A.y=sin 12x B.y=sin12x-π2 C.y=sin12x-π6 D.y=sin2x-π6
8.三次函數 的圖象在點 處的切線與 軸平行，則 在區間 上的最小值是( )
A. B. C. D.
9.函數錯誤!未找到引用源。(錯誤!未找到引用源。且錯誤!未找到引用源。)的圖象可能為( )
A. B. C. D.
10.已知sin α+3cos α3cos α-sin α=5，則tanα的值是( )
A.25 B.2 C.-2 D.-25
11.已知錯誤!未找到引用源。是定義在錯誤!未找到引用源。上的奇函數，當錯誤!未找到引用源。時， 錯誤!未找到引用源。，則函數錯誤!未找到引用源。的零點的集合為( )
A.錯誤!未找到引用源。 B.錯誤!未找到引用源。 C.錯誤!未找到引用源。 D.錯誤!未找到引用源。
12. 對于函數錯誤!未找到引用源。與錯誤!未找到引用源。，若存在錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。，使得錯誤!未找到引用源。，則稱函數錯誤!未找到引用源。與錯誤!未找到引用源。互為“零點密切函數”，現已知函數錯誤!未找到引用源。與錯誤!未找到引用源。互為“零點密切函數”，則實數錯誤!未找到引用源。的取值范圍是( )
A.[3,4] B.[1,2] C.[-1,3] D.[-3,1]
二.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13.已知sin(π-θ)=-23，且θ∈-π2，0，則tan(2π-θ)=
14.已知冪函數f(x)= ,若f(a+1)
15.設函數 ,則
16.如圖，在 中， ，點 在線段 上，且 ， ，
則 的面積的最大值為 .
三.解答題：共70分。解答題應寫出文字說明，證題過程或演算步驟。
17.(10分)已知函數f(x)是定義在R上的偶函數,且當x≤0時, f(x)=x2+2x.現已畫出函數f(x)在y軸左側的圖象,如圖所示.
(1)畫出函數f(x)在y軸右側的圖象,并寫出函數f(x)(x∈R)的解析式;
(2)若函數g(x)=f(x)-2ax+2(x∈[1,2]),當a>1時求函數g(x)的最小值.
18.(12分)已知函數f(x)=4cosωx•sinωx+π4 (ω>0)的最小正周期為π.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)在區間0，π2上的單調增區間.
19.(12分)已知△ABC是斜三角形，內角A，B，C所對的邊的長分別為a，b，c.若csin A=3acos C.
(1)求角C;
(2)若c=21，且sin C+sin(B-A)=5sin 2A，求△ABC的面積.
20. (12分)已知函數f(x)=-x3+12x+m.
(1)若x∈R，求函數f(x)的極大值與極小值之差;
(2)若函數y=f(x)有三個零點，求m的取值范圍.
21.(12分)已知函數f(x)=ln x，g(x)=12ax+b.
(1)若f(x)與g(x)在x=1處相切，求g(x)的表達式;
(2)若φ(x)=m(x-1)x+1-f(x)在[1，+∞)上是減函數，求實數m的取值范圍.
22.(12分)設函數 ， ，其中 .
(1)求 的單調區間;
(2)若 存在極值點 ，且 ，其中 ，求證： .
高三數學(理科)試卷參考答案
一.選擇題：
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D A C B B C D D B D A
二.填空題：
13. 14. (3,5) 15. 7 16.
三.解答題：共70分。解答題應寫出文字說明，證題過程或演算步驟。
17.(10分)
解：(1)若x>0,則-x<0,又函數f(x)是定義在R上的偶函數, ----( 補畫圖正確給3分)
且當x≤0時, f(x)=x2+2x,
∴f(x)=f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x2-2x(x>0),
∴f(x)= --------5分
(3)g(x)=x2-2x-2ax+2,其圖象的對稱軸方程為x=a+1,
當a>1時，a+1>2，g(x)=x2-2x-2ax+2)在[1,2]上單調遞減， ----------8分
g(x)在[1,2]上的最小值為g(2)=2-4a 。 ----------10分
18. (12分)
解：(1)f(x)=4cos ωx•sinωx+π4=22sin ωx•cos ωx+22cos2ωx
=2(sin 2ωx+cos 2ωx)+2=2sin2ωx+π4+2. ------4分
因為f(x)的最小正周期為π，且ω>0，從而有2π2ω=π，故ω=1. -----6分
(2)由(1)知，f(x)=2sin2x+π4+2.若0≤x≤π2，則π4≤2x+π4≤5π4. ------7分
當π4≤2x+π4≤π2，即0≤x≤π8時，f(x)單調遞增;
綜上可知，f(x)在區間0，π8上單調遞增。 ------------ 12分
19.(12分)
解：(1)根據asin A=csin C，可得csin A=asin C， ----------2分
又因為csin A=3acos C，所以asin C=3acos C， ---------4分
所以sin C=3cos C，所以tan C=sin Ccos C=3，
因為C∈(0，π)，所以C=π3. ------------6分
(2)因為sin C+sin(B-A)=5sin 2A，sin C=sin(A+B)，
所以sin(A+B)+sin(B-A)=5sin 2A，
所以2sin Bcos A=5×2sin Acos A.
因為△ABC為斜三角形，所以cos A≠0，
所以sin B=5sin A. ----------8分
由正弦定理可知b=5a， ①
由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C，
所以21=a2+b2-2ab×12=a2+b2-ab， ②
由①②解得a=1，b=5， -----------10分
所以S△ABC=12absin C=12×1×5×32=534. ---------12分
20. (12分)
解：(1)f′(x)=-3x2+12.
當f′(x)=0時，x=-2或x=2.
當f′(x)>0時，-2
∴f(x)在(-∞，-2)，(2，+∞)上單調遞減，在(-2,2)上單調遞增.-------3分
∴f(x)極小值=f(-2)=-16+m. ，
f(x)極大值=f(2)=16+m.
∴f(x)極大值-f(x)極小值=32. ---------------6分
(2)由(1)知要使函數y=f(x)有三個零點，必須f(x)極小值<0，f(x)極大值>0，----------10分
即-16+m<0，16+m>0，∴-16
∴m的取值范圍為(-16,16). --------------12分
21.(12分)
解：(1)由已知得f′(x)=1x，
所以f′(1)=1=12a，所以a=2. --------3分
又因為g(1)=0=12a+b，所以b=-1，
所以g(x)=x-1. --------6分
(2)因為φ(x)=m(x-1)x+1-f(x)=m(x-1)x+1-ln x在[1，+∞)上是減函數.
所以φ′(x)=-x2+(2m-2)x-1x(x+1)2≤0在[1，+∞)上恒成立. --------9分
即x2-(2m-2)x+1≥0在[1，+∞)上恒成立，
則2m-2≤x+1x，x∈[1，+∞)，
因為x+1x∈[2，+∞)，
所以2m-2≤2，m≤2.
故實數m的取值范圍是(-∞，2]. ----------12分
22.(12分)
解：(1)由 ，可得 ，下面分兩種情況討論：
① 時，有 恒成立，所以 的單調遞增區間為 .-----2分
②當 時，令 ，解得 或 .
當 變化時， ， 的變化情況如下表：
0 0
單調遞增 極大值 單調遞減 極小值 單調遞增
所以 的單調遞減區間為 ，單調遞增區間為 ， .---6分
(2)證明：因為 存在極值點，所以由(1)知 且 .由題意，
得 ，即 ， -----7分
進而 ，
又 ，且 ， ---------10分
由題意及(1)知，存在唯一實數 滿足 ，且 ，
因此 ，所以 . -------- 12分
上學期高三數學期中試卷理科
第I卷 (選擇題, 共60分)
一、選擇題(共12小題，每小題5分，共60分，每小題只有一個正確答案)
1. 已知集合 2， ， ，則
A. {-2,-1,0,1,2,3} B. {-2,-1,0,1,2}
C.{1,2,3} D. {1,2}
2.已知復數 (其中i是虛數單位),則 =( )
A. B. C. D.
3.在△ABC中,“ >0”是“△ABC為銳角三角形”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
4設數列 是單調遞增的等差數列， 且 ， ， 成等比數列，則 ( )
A.1009 B. 1011 C. 2018 D. 2019
5. ，，則 ( )
A. B. C. D.
6.函數 的最小正周期為 ，若其圖象向左平移 個單位后得到的函數為奇函數，則 =
A. B. C. D.-
7.函數 的圖象可能是( )
A. B. C. D.
8.我國古代數學著作《九章算術》中有如下問題：“今有人持金出五關，前關二而稅一，次關三而稅一，次關四而稅一，次關五而稅一，次關六而稅一，并五關所稅，適重一斤”。其意思為“今有持金出五關，第1關收稅金為持金的 ，第2關收稅金為剩余金的 ，第3關收稅金為剩余金的 ，第4關收稅金為剩余金的 ，第5關收稅金為剩余金的 ，5關所稅金之和，恰好重1斤。”則在此問題中，第5關收稅金為( )
A. 斤 B. 斤 C. 斤 D. 斤
9.設正實數 滿足 則( )
A. B. C. D.
10.已知數列 為等差數列，若 ，且它們的前n項和 有最大值，則使得 的n的最大值為( )
A. 39 B.40 C.41 D.42
11.已知兩個單位向量 ， ，且滿足，存在向量 使 ，則 的最大值為
A. 2 B. C. D. 1
12.已知點 是曲線 上任意一點，記直線 ( 為坐標系原點)的斜率為 ，則( )
A.至少存在兩個點 使得 B.對于任意點 都有
C.對于任意點 都有 D.至少存在兩個點 使得
第Ⅱ卷 (非選擇題, 共90分)
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在答題卡相應的位置上)
13. 。
14.設向量 與 的夾角為 ， ，則 。
15.已知 若函數 只有一個零點，則 的取值范圍是________。
16.設△ 的三邊 所對的角分別為 .已知 ，則 的最大值為_____。
三.解答題(滿分70分，解答應寫出文字說明，推理過程或演算步驟)
17、(本小題滿分12分)
已知在等差數列 中， 為其前 項和， ;等比數列 的前 項和 .
(I)求數列 ， 的通項公式;
(II)設 ,求數列 的前 項和 .
18、(本小題滿分12分)
如圖，在 中，點P在邊BC上，， ， .
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若 的面積是，求 .
19、(本小題滿分12分)
食品安全問題越來越引起人們的重視，農藥，化肥的濫用給人民群眾的健康帶來一定的危害，為了給消費者帶來放心的蔬菜，某農村合作社每年投入200萬元，搭建了甲，乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入20萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據以往的種菜經驗，發現種西紅柿的的年收入P與投入 (單價：萬元)滿足 ，種黃瓜的年收入Q與投入 (單價：萬元)滿足 ,設甲大棚的投入為 (單價：萬元)，每年兩個大棚的總收益為 (單價：萬元).
(Ⅰ)求 的值
(Ⅱ)試問如何安排甲，乙兩個大棚的投入，才能使總收益 最大?
20、(本小題滿分12分)
將射線y=17x(x≥0)繞著原點逆時針旋轉π4后所得的射線經過點A(cos θ，sin θ).
(I)求點A的坐標;
(II)若向量 =(sin 2x，2cos θ)， =(3sin θ，2cos 2x)，求函數 在區間 上的單調性.
21、(本小題滿分12分)
已知函數 .
(Ⅰ)當 時，求 的單調區間和極值;
(Ⅱ)若 ，且 ，證明： .
請考生在第22、23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分.做答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑。
22(本小題滿分10分)
選修4—4：坐標系與參數方程
在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為 .
(Ⅰ)求圓C的直角坐標方程;
(Ⅱ)設過點 且傾斜角為 的直線l與圓C交于A，B兩點，且 ，求直線l的普通方程.
23(本小題滿分10分)
4—5：不等式
已知函數 .
(Ⅰ)若 ,解不等式 ;
(Ⅱ)若不等式 對任意的實數 恒成立，求 的取值范圍.
泉港一中、南安國光中學高三年段兩校聯考
2018-2019學年第一學期期中考試理科數學參考答案
一. 選擇題：DCBBD BDCCA AC
二. 解答題:
13. 4 14.
15. 16.
三.解答題
17.解：(I)設等差數列 的首項為 公差為 ，
………………3分
且 滿足上式， ……………6分
(II) …………8分
………… 分
18. Ⅰ 在 中，因為， ， ，
由余弦定理得，………………2分
所以 ，
整理得 ，
解得 .
所以 .
所以 是等邊三角形.
所以. ………………6分
Ⅱ 法1：由于是 的外角，所以.
因為 的面積是，所以 .
所以 .…………8分
在 中，，
所以 .………………….10分
在 中，由正弦定理得 ，
所以 .………………12分
19.解：(Ⅰ)因為甲大棚投入50萬元，則乙大棚投入150萬元，
所以 .………………4分
(II) ，………………6分
依題意得 解得 ，
故 ( ). ………………7分
令 ， ………………8分
則 ，
當 ，即 時， ， ………………11分
所以投入甲大棚128萬元，乙大棚72萬元時，總收益最大，且最大收益為282萬元……12分
20.解：(Ⅰ)設射線y=17x(x≥0)與x軸的非負半軸所成的銳角為α，
則tan α=17，α∈0，π2. ………………2分
所以tan α
所以tan θ=tanα+π4=17+11-17×1=43， ………………4分
θ∈π4，π2，
所以由sin2θ+cos2θ=1，sin θcos θ=43， 得sin θ=45，cos θ=35.
所以點A的坐標為35，45. ………………6分
(II)f(x)=3sin θ•sin 2x+2cos θ•2cos 2x
=125sin 2x+125cos 2x=1225sin2x+π4. ………………8分
由x∈0，π2，
得2x+π4∈π4，5π4，
2x+π4∈ 即x∈ 時,f(x)單調遞增,
所以f(x)在x∈ 上單調遞增在x∈ 上單調遞減………………12分
21. 解：
，
時，因為 ，所以
函數 的單調遞增區間是 ，無單調遞減區間，無極值;
當 時，令 ，解得 ，
當時， ;當 ， .
所以函數 的單調遞減區間是 ，單調遞增區間是，
在區間 上的極小值為，無極大值.……………4分
(II)因為 ，由 知，函數 在區間 上單調遞減，
在區間上單調遞增，
不妨設 ，則 ，
要證 ，只要證 ，即證 …………6分
因為 在區間上單調遞增，所以 ，
又 ，即證 ，……………8分
構造函數 ，
即， ，……………10分
因為 ，所以 ， ，即 ，
所以函數 在區間 上單調遞增，故 ，
而，故，
所以 ，即 ，所以 成立.……………12分
22 圓C的極坐標方程為 .
， ， ，
圓C的直角坐標方程為 ，
化為圓的標準方程為 ………………5分
(II)設直線l的參數方程為 為參數
將l代入圓C的直角坐標方程 中，
化簡得 ，
設A，B兩點所對應的參數分別為 ， ，
由韋達定理知 ， ，
由 ， 同號 又， ，
由 可知 或 ，
或，解得 ，
，
的普通方程為
23.(Ⅰ)
所以解集為： . ………………5分
(II)
所以 的取值范圍為： . ………………10分
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