太原市2016-2017學年高二期末文理科數學試卷
高二的期末考試是高二期間最重要的考試，下面學習啦的小編將為大家帶來高二期末數學試卷的分析，希望能夠幫助到大家。
太原市2016-2017學年高二期末理科數學試卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每個小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求.
1.命題“若x2，則x1”的逆否命題是( )
A.若x2，則x1 B.若x2，則x1 C.若x1，則x2 D.若x1，則x2
2.拋物線y2=8x的準線方程是( )
A.x=2 B.y=2 C.x=﹣2 D.y=﹣2
3.已知空間向量=(0，1，1)，=(﹣1，0，1)，則與的夾角為( )
A. B. C. D.
4.焦點在x軸上，且漸近線方程為y=2x的雙曲線的方程是( )
A.x2﹣=1 B.=1 C.=1 D.y2﹣=1
5.已知兩條直線a，b和平面α，若bα，則ab是aα的( )
A.充分但不必要條件 B.必要但不充分條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
6.已知橢圓C經過點(1，0)，(0，2)，則橢圓C的標準方程為( )
A.x2=1 B.y2=1 C.x2=1 D.y2=1
7.已知橢圓=1(0b<2)的左、右焦點分別為F1，F2，直線l過F2且與橢圓相交于不同的兩點A，B，那么ABF1的周長( )
A.是定值4
B.是定值8
C.不是定值，與直線l的傾斜角大小有關
D.不是定值，與b取值大小有關
8.如圖，在四面體ABCD中，=，點M在AB上，且AM=AB，點N是CD的中點，則=( )
A. B. C. D.
9.對于雙曲線C1：=1和C2：=1，給出下列四個結論：
(1)離心率相等;(2)漸近線相同;(3)沒有公共點;(4)焦距相等，其中正確的結論是( )
A.(1)(2)(4) B.(1)(3)(4) C.(2)(3)(4) D.(2)(4)
10.已知=(1，2，3)，=(2，1，2)，=(1，1，2)，點Q在直線OP上運動，則當取得最小值時，點Q的坐標為( )
A. B. C. D.
11.與圓x2y2=1及圓x2y2﹣8x12=0都外切的圓的圓心在( )
A.一個橢圓上 B.雙曲線的一支上
C.一條拋物線上 D.一個圓上
12.已知p：“x∈[1，2，x2﹣a0”，q：“x∈R”，使得x22ax+2﹣a=0，那么命題“pq”為真命題的充要條件是( )
A.a﹣2或a=1 B.a﹣2或1a≤2 C.a1 D.﹣2a≤1
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.
13.(4分)雙曲線x2﹣y2=1的離心率為 .
14.(4分)命題“若x|≠3，則x3”的真假為 .(填“真”或“假”)
15.(4分)橢圓的焦點為F1，F2，點P在橢圓上，若PF1|=4，F1PF2的大小為 .
16.(4分)如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點A1在平面ABC內的射影O為AC的中點，A1O=2，ABBC，AB=BC=點P在線段A1B上，且cosPAO=，則直線AP與平面A1AC所成角的正弦值為 .
三、解答題：本大題共7小題，共48分.解答應寫出必要的文字說明或推理、驗算過程.
17.(8分)已知命題p：x∈R，x|+x≥0;q：關于x的方程x2mx+1=0有實數根.
(1)寫出命題p的否定，并判斷命題p的否定的真假;
(2)若命題“pq”為假命題，求實數m的取值范圍.
18.(10分)已知空間四點A(2，0，0)，B(0，2，1)，C(1，1，1)，D(﹣1，m，n).
(1)若ABCD，求實數m，n的值;
(2)若mn=1，且直線AB和CD所成角的余弦值為，求實數m的值.
19.(10分)已知拋物線y2=2px(p0)上一點M(1，y)到焦點F的距離為.
(1)求p的值;
(2)若圓(x﹣a)2y2=1與拋物線C有四個不同的公共點，求實數a的取值范圍.
20.(10分)如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PC平面ABC，ACB=45°，BC=2，AB=2.
(1)求AC的長;
(2)若PC=，點M在側棱PB上，且，當λ為何值時，二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
21.如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PC平面ABC，PAC=30°，ACB=45°，BC=2，PAAB.
(1)求PC的長;
(2)若點M在側棱PB上，且，當λ為何值時，二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
22.(10分)已知橢圓E：=1(ab>0)的離心率為，右焦點為F，橢圓與y軸的正半軸交于點B，且BF|=.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若斜率為1的直線l經過點(1，0)，與橢圓E相交于不同的兩點M，N，在橢圓E上是否存在點P，使得PMN的面積為，請說明理由.
23.已知橢圓E：=1(ab>0)的離心率為，過焦點垂直與x軸的直線被橢圓E截得的線段長為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)斜率為k的直線l經過原點，與橢圓E相交于不同的兩點M，N，判斷并說明在橢圓E上是否存在點P，使得PMN的面積為.
2016-2017學年山西省太原市高二(上)期末數學試卷(理科)
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每個小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求.
1.命題“若x2，則x1”的逆否命題是( )
A.若x2，則x1 B.若x2，則x1 C.若x1，則x2 D.若x1，則x2
【分析】根據逆否命題的定義，結合已知中的原命題，可得答案.
【解答】解：命題“若x2，則x1”的逆否命題是“若x1，則x2”，
故選：C
【點評】本題考查的知識點是四種命題，難度不大，屬于基礎題.
2.(2017•和平區模擬)拋物線y2=8x的準線方程是( )
A.x=2 B.y=2 C.x=﹣2 D.y=﹣2
【分析】利用拋物線的準線方程求解即可.
【解答】解：拋物線y2=8x的準線方程是x=﹣=﹣2，
故選：C
【點評】本題考查拋物線的簡單性質的應用，基本知識的考查.
3.已知空間向量=(0，1，1)，=(﹣1，0，1)，則與的夾角為( )
A. B. C. D.
【分析】由已知中向量，，求出兩個向量的模和數量積，代入夾角余弦公式，可得答案.
【解答】解：空間向量=(0，1，1)，=(﹣1，0，1)，
與的夾角θ滿足，
cosθ===，
θ=，
故選：A
【點評】本題考查的知識點是向量的數量積運算，向量的夾角，向量的模，難度中檔.
4.焦點在x軸上，且漸近線方程為y=2x的雙曲線的方程是( )
A.x2﹣=1 B.=1 C.=1 D.y2﹣=1
【分析】利用焦點在x軸上，且漸近線方程為y=2x的雙曲線的方程，結合選項，即可得出結論.
【解答】解：由題意，焦點在x軸上，且漸近線方程為y=2x的雙曲線的方程是x2﹣=1，
故選A.
【點評】本題考查雙曲線的方程與性質，比較基礎.
5.(2013•泉州二模)已知兩條直線a，b和平面α，若bα，則ab是aα的( )
A.充分但不必要條件 B.必要但不充分條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
【分析】我們先判斷ab⇒a∥α與aα⇒a∥b的真假，然后利用充要條件的定義，我們易得到ab是aα的關系.
【解答】解：當bα是
若ab時，a與α的關系可能是aα，也可能是aα，即aα不一定成立，故ab⇒a∥α為假命題;
若aα時，a與b的關系可能是ab，也可能是a與b異面，即ab不一定成立，故aα⇒a∥b也為假命題;
故ab是aα的既不充分又不必要條件
故選D
【點評】本題考查的知識點是充要條件，直線與平面平行關系的判斷，先判斷ab⇒a∥α與aα⇒a∥b的真假，然后利用充要條件的定義得到結論是證明充要條件的常規方法，要求大家熟練掌握.
6.已知橢圓C經過點(1，0)，(0，2)，則橢圓C的標準方程為( )
A.x2=1 B.y2=1 C.x2=1 D.y2=1
【分析】橢圓C經過點(1，0)，(0，2)，則橢圓C的焦點在y軸上，設標準方程為=1(ab>0).即可得出.
【解答】解：橢圓C經過點(1，0)，(0，2)，
則橢圓C的焦點在y軸上，設標準方程為=1(ab>0).
則a=2，b=1.
橢圓C的標準方程為=1.
故選：C.
【點評】本題考查了橢圓的標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.
7.已知橢圓=1(0b<2)的左、右焦點分別為F1，F2，直線l過F2且與橢圓相交于不同的兩點A，B，那么ABF1的周長( )
A.是定值4
B.是定值8
C.不是定值，與直線l的傾斜角大小有關
D.不是定值，與b取值大小有關
【分析】由題意畫出圖形，可得ABF1的周長為4a，則答案可求.
【解答】解：如圖，
橢圓=1(0b<2)，
橢圓的長軸長為2a=4，
ABF1的周長=4a=8.
故選：B.
【點評】本題考查橢圓的定義，考查數形結合的解題思想方法，是基礎題.
8.如圖，在四面體ABCD中，=，點M在AB上，且AM=AB，點N是CD的中點，則=( )
A. B. C. D.
【分析】由已知可得==++，進而得到答案.
【解答】解：點M在AB上，且AM=AB，點N是CD的中點，
=，=，
=+=++，
又=，
=，
故選：B.
【點評】本題考查的知識點是向量在幾何中的應用，向量的線性運算，難度中檔.
9.對于雙曲線C1：=1和C2：=1，給出下列四個結論：
(1)離心率相等;(2)漸近線相同;(3)沒有公共點;(4)焦距相等，其中正確的結論是( )
A.(1)(2)(4) B.(1)(3)(4) C.(2)(3)(4) D.(2)(4)
【分析】利用方程，分別計算離心率、漸近線、焦距，即可得出結論.
【解答】解：由題意，雙曲線C1：=1，C2：=1，
(1)離心率分別為，;(2)漸近線相同，為y=x;(3)沒有公共點;(4)焦距相等，為10，
故選C.
【點評】本題考查雙曲線的性質，考查學生的計算能力，比較基礎.
10.已知=(1，2，3)，=(2，1，2)，=(1，1，2)，點Q在直線OP上運動，則當取得最小值時，點Q的坐標為( )
A. B. C. D.
【分析】可先設Q(x，y，z)，由點Q在直線OP上可得Q(λ，λ，2λ)，則由向量的數量積的坐標表示可得=2(3λ2﹣8λ5)，根據二次函數的性質可求，取得最小值時的λ，進而可求Q
【解答】解：設Q(x，y，z)
由點Q在直線OP上可得存在實數λ使得，則有Q(λ，λ，2λ)
，
當=(1﹣λ)(2﹣λ)(2﹣λ)(1﹣λ)(3﹣2λ)(2﹣2λ)=2(3λ2﹣8λ5)
根據二次函數的性質可得當時，取得最小值此時Q
故選：C
【點評】本題主要考查了平面向量的共線定理的應用，解題的關鍵是由點Q在直線OP上可得存在實數λ使得，進而有Q(λ，λ，2λ)，然后轉化為關于λ的二次函數，根據二次函數知識求解最值，體現了轉化思想在解題中的應用.
11.與圓x2y2=1及圓x2y2﹣8x12=0都外切的圓的圓心在( )
A.一個橢圓上 B.雙曲線的一支上
C.一條拋物線上 D.一個圓上
【分析】設動圓P的半徑為r，然后根據動圓與圓x2y2=1及圓x2y2﹣8x12=0都外切得PF|=2+r、PO|=1+r，再兩式相減消去參數r，則滿足雙曲線的定義，問題解決.
【解答】解：設動圓的圓心為P，半徑為r，而圓x2y2=1的圓心為O(0，0)，半徑為1;圓x2y2﹣8x12=0的圓心為F(4，0)，半徑為2.
依題意得PF|=2+r，PO|=1+r，則PF|﹣PO|=(2r)﹣(1r)=1FO|，所以點P的軌跡是雙曲線的一支.
故選B.
【點評】本題主要考查圓與圓的位置關系，考查雙曲線的定義，屬于基礎題.
12.已知p：“x∈[1，2，x2﹣a0”，q：“x∈R”，使得x22ax+2﹣a=0，那么命題“pq”為真命題的充要條件是( )
A.a﹣2或a=1 B.a﹣2或1a≤2 C.a1 D.﹣2a≤1
【分析】p：“x∈[1，2，x2﹣a0”，可得a(x2)min.q：“x∈R”，使得x22ax+2﹣a=0，則0，解得a，即可得出命題“pq”為真命題的充要條件.
【解答】解：p：“x∈[1，2，x2﹣a0”，a≤(x2)min，a≤1.
q：“x∈R”，使得x22ax+2﹣a=0，則=4a2﹣4(2﹣a)0，解得a1，或a﹣2.
那么命題“pq”為真命題的充要條件是，解得a=1或a﹣2.
故選：A.
【點評】本題考查了不等式的解法、充要條件的判定、函數的性質、一元二次方程的實數根與判別式的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.
13.(4分)雙曲線x2﹣y2=1的離心率為 .
【分析】根據題意，由雙曲線的方程分析可得a=1，b=1，結合雙曲線的幾何性質可得c的值，進而由離心率計算公式計算可得答案.
【解答】解：根據題意，雙曲線的方程為x2﹣y2=1，變形可得﹣=1，
則a=1，b=1，
則有c==，
則其離心率e==，
故答案為：.
【點評】本題考查雙曲線的幾何性質，要從雙曲線的標準方程分析得到a、b的值.
14.(4分)命題“若x|≠3，則x3”的真假為 真 .(填“真”或“假”)
【分析】若x|≠3，則x3且x﹣3，x≠3
【解答】解：若x|≠3，則x3且x﹣3，x≠3，
故答案為：真
【點評】本題考查了命題真假的判定，屬于基礎題.
15.(4分)(2014•開封一模)橢圓的焦點為F1，F2，點P在橢圓上，若PF1|=4，F1PF2的大小為 120° .
【分析】由PF1|+|PF2|=6，且PF1|=4，易得PF2|，再利用余弦定理，即可求得結論.
【解答】解：PF1|+|PF2|=2a=6，PF1|=4，
PF2|=6﹣PF1|=2.
在F1PF2中，cosF1PF2==﹣，
F1PF2=120°.
故答案為：120°
【點評】本題主要考查橢圓定義的應用及焦點三角形問題，考查余弦定理的運用，考查學生的計算能力，屬于基礎題.
16.(4分)如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點A1在平面ABC內的射影O為AC的中點，A1O=2，ABBC，AB=BC=點P在線段A1B上，且cosPAO=，則直線AP與平面A1AC所成角的正弦值為 .
【分析】取AA1的中點H，連結PO，PH，AN.則PH面AA1C，APO為直角三角形，且cosPAO=，得AP
PAH為直線AP與平面A1AC所成角，sinPAH=.
【解答】解：AB⊥BC，AB=BC=，AC=2，AO=1.
點A1在平面ABC內的射影O為AC的中點，A1O=2，ABBC，
AO，BO，A1O互相垂直，即面ABC，面AA1C，面A1OB互相垂直，
取AA1的中點H，連結PO，PH，AN.則PH面AA1C
APO為直角三角形，且cosPAO=，AP=，
PAH為直線AP與平面A1AC所成角，sinPAH=.
故答案為：
【點評】本題考查了空間角的求解，屬于中檔題.
三、解答題：本大題共7小題，共48分.解答應寫出必要的文字說明或推理、驗算過程.
17.(8分)已知命題p：x∈R，x|+x≥0;q：關于x的方程x2mx+1=0有實數根.
(1)寫出命題p的否定，并判斷命題p的否定的真假;
(2)若命題“pq”為假命題，求實數m的取值范圍.
【分析】(1)命題p的否定：存在x0R，x0|+x0<0.容易判斷真假.
(2)命題p：x∈R，x|+x≥0是真命題;命題“pq”為假命題，可得q為假命題.因此關于x的方程x2mx+1=0沒有實數根.因此0，解得m范圍.
【解答】解：(1)命題p的否定：存在x0R，x0|+x0<0.是一個假命題.
(2)命題p：x∈R，x|+x≥0是真命題;命題“pq”為假命題，q為假命題.
因此關于x的方程x2mx+1=0沒有實數根.=m2﹣40，解得﹣2m<2.
實數m的取值范圍是(﹣2，2).
【點評】本題考查了絕對值不等式的解法、充要條件的判定、一元二次方程的實數根與判別式的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.
18.(10分)已知空間四點A(2，0，0)，B(0，2，1)，C(1，1，1)，D(﹣1，m，n).
(1)若ABCD，求實數m，n的值;
(2)若mn=1，且直線AB和CD所成角的余弦值為，求實數m的值.
【分析】(1)=(﹣2，2，1)，=(﹣2，m﹣1，n﹣1)，利用ABCD，即可求實數m，n的值;
(2)若mn=1，且直線AB和CD所成角的余弦值為，即=，即可求實數m的值.
【解答】解：(1)=(﹣2，2，1)，=(﹣2，m﹣1，n﹣1)，
AB∥CD，
m﹣1=2，n﹣1=1，
m=3，n=2;
(2)由題意，=，mn=1，
m=3.
【點評】本題考查空間角的計算，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題.
19.(10分)已知拋物線y2=2px(p0)上一點M(1，y)到焦點F的距離為.
(1)求p的值;
(2)若圓(x﹣a)2y2=1與拋物線C有四個不同的公共點，求實數a的取值范圍.
【分析】(1)根據拋物線的性質即可求出;
(2)聯立方程組，根據題意可得，解得即可.
【解答】解：(1)拋物線y2=2px(p0)上一點M(1，y)到焦點F的距離為.
則1=，
解得p=，
(2)由(1)以及已知得，
即4x2(1﹣8a)x4a2﹣4=0有兩個不相等的實數根，
則，
解得1a<，
則實數a的取值范圍為(1，)
【點評】本題考查圓與拋物線的位置關系，考查學生分析轉化問題的能力，考查計算能力，正確合理轉化是關鍵.
20.(10分)如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PC平面ABC，ACB=45°，BC=2，AB=2.
(1)求AC的長;
(2)若PC=，點M在側棱PB上，且，當λ為何值時，二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
【分析】(1)由已知條件利用余弦定理，利能求出AC.
(2)以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，過A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，求出平面ACM的一個法向量和平面ABC的一個法向量，利用向量法能求出當λ=1時，二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
【解答】解：：(1)在ABC中，
由余弦定理得AB2=BC2AC2﹣2BCAC×cos∠ACB，
得4=8AC2+﹣4AC，解得AC=2.
(2)PC⊥平面ABC，PAAB，AB⊥AC，
以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，過A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，
B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，2，)，
點M在側棱PB上，且=，
M(，，)，
設平面ACM的一個法向量為=(x，y，z)，
則，取z=1，得=(﹣，0，1)，
平面ABC的一個法向量=(0，0，1)，
二面角B﹣AC﹣M的大小為30°，
cos30°===，
解得λ=1或λ=﹣1(舍)，
當λ=1時，二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
【點評】本題考查線段長的求法，考查滿足條件的實數值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用.
21.如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PC平面ABC，PAC=30°，ACB=45°，BC=2，PAAB.
(1)求PC的長;
(2)若點M在側棱PB上，且，當λ為何值時，二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
【分析】(1)以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，過A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出PC.
(2)求出平面ACM的一個法向量和平面ABC的一個法向量，利用向量法能求出當λ=1時，二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
【解答】解：(1)PC⊥平面ABC，PAAB，AB⊥AC，
以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，過A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，
PA⊥AB，=0，
()•()==0，
PC⊥平面ABC，•=0，=0，
﹣|•||cos∠ACB+||2=0，
即﹣，
解得AC=2，
在Rt中，PC=ACsin30°=.
(2)B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，2，)，
點M在側棱PB上，且，
M(，，)，
設平面ACM的一個法向量為=(x，y，z)，
則，取z=1，得=(﹣)，
平面ABC的一個法向量=(0，0，1)，
二面角B﹣AC﹣M的大小為30°，
cos30°==，
解得λ=1或λ=﹣1(舍)，
當λ=1時，二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
【點評】本題考查線段長的求法，考查滿足條件的實數值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用.
22.(10分)已知橢圓E：=1(ab>0)的離心率為，右焦點為F，橢圓與y軸的正半軸交于點B，且BF|=.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若斜率為1的直線l經過點(1，0)，與橢圓E相交于不同的兩點M，N，在橢圓E上是否存在點P，使得PMN的面積為，請說明理由.
【分析】(1)由題意求得a，c的值，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求;
(2)設出P點坐標及直線l的方程，由PMN的面積為求得點P到直線l的距離為1，再設出過點P與直線l平行的直線l1：y=xm.與橢圓方程聯立，由判別式等于0求得m值，再結合兩平行線間的距離公式求出l與l1之間的距離，與1比較得答案.
【解答】解：(1)由題意，，得c=1，b2=a2﹣c2=1.
則橢圓E的方程為：;
(2)存在.
設點P(x，y)，直線l的方程為y=x﹣1.
由，得M(0，﹣1)，N()，
則MN|=.
則點P到直線l的距離為.
設過點P與直線l平行的直線l1：y=xm.
聯立，得3x24mx+2m2﹣2=0.
由=16m2﹣12(2m2﹣2)=0，解得m=.
當m=時，l與l1之間的距離為1;
當m=﹣時，l與l1之間的距離為1.
則在橢圓E上存在點P，使得PMN的面積為.
【點評】本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，屬中檔題.
23.已知橢圓E：=1(ab>0)的離心率為，過焦點垂直與x軸的直線被橢圓E截得的線段長為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)斜率為k的直線l經過原點，與橢圓E相交于不同的兩點M，N，判斷并說明在橢圓E上是否存在點P，使得PMN的面積為.
【分析】(1)由題意求得a，c的值，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求;
(2)設出P點坐標及直線l的方程，由PMN的面積為求得點P到直線l的距離為1，再設出過點P與直線l平行的直線l1：y=xm.與橢圓方程聯立，由判別式等于0求得m值，再結合兩平行線間的距離公式求出l與l1之間的距離，與1比較得答案.
【解答】解：(1)由題意，，得c=1，b2=a2﹣c2=1.
則橢圓E的方程為：;
(2)存在.
設點P(x，y)，直線l的方程為y=x﹣1.
由，得M(0，﹣1)，N()，
則MN|=.
則點P到直線l的距離為.
設過點P與直線l平行的直線l1：y=xm.
聯立，得3x24mx+2m2﹣2=0.
由=16m2﹣12(2m2﹣2)=0，解得m=.
當m=時，l與l1之間的距離為1;
當m=﹣時，l與l1之間的距離為1.
則在橢圓E上存在點P，使得PMN的面積為.
【點評】本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，屬中檔題.
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太原市2016-2017學年高二期末文理科數學試卷
