高三年級理科上冊數學考試試卷題
理科和文科的數學是不一樣的，理科的更加難一點，小編今天下面就給大家整理高三數學，不會的就來看看吧
高三年級數學考試試卷題
參考公式：球的表面積公式 球的體積公式
第Ⅰ卷(選擇題滿分60分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.請在答題卷的相應區域答題.)
1.設集合 ， ，則 等于
A. B. C. D.
2.已知復數 ，則 的實部為
A. -1 B. 0 C. 1 D. 3
3.函數 ) 的部分圖象如圖所示，為了得到 的圖象，只需將 的圖象
A. 向右平移 個單位 B.向右平移 個單位
C.向左平移 個單位 D.向左平移 個單位
4. 直線 軸的交點為 ,點 把圓 的直徑分為兩段，則較長一段比上較短一段的值等于
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5. 某校高三(6)班共有48人，學號依次為1，2，3，…，48，現用系統抽樣的方法抽取一個容量為6的樣本，已知學號為3，11，19，35，43的同學在樣本中，則還有一個同學的學號應為
A. 27 B. 26 C. 25 D. 24
6.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為
A. B.
C. D.
7. 在 展開式中，含 的項的系數是
A. 36 B. 24 C. -36 D. -24
8. 已知 ，則 的最小值是
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
9. 已知實數 滿足 ，則 的取值范圍是
A. B. C. D.
10.已知雙曲線 的左、右焦點分別 ，以線段 為直徑的圓與雙曲線 在第一象限交于點 ，且 ,則雙曲線的離心率為
A. B. C. D.
11. 定義域為 的函數 滿足 ，則不等式 的解為
A. B. C. D.
12.如圖，在 中， ， , 為
上一點，且滿足 ，若 的
面積為 ，則 的最小值為
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非選擇題滿分90分)
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.請在答題卷的相應區域答題.)
13.已知 ，則 .
14.已知 ，則 .
15.執行下圖的程序框圖，則輸出的 .
16.已知三棱錐 均為等邊三角形，二面角 的平面角為60°，則三棱錐外接球的表面積是.
三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.請在答題卷的相應區域答題.)
17.(本小題滿分12分)
已知數列 .
(Ⅰ)求數列 的通項公式;
(Ⅱ)記 為數列 的前 項和，求數列 的前 項和 .
18.(本小題滿分12分)
2015年11月27日至28日，中共中央扶貧開發工作會議在北京召開，為確保到2020年所有貧困地區和貧困人口一道邁入全面小康社會. 黃山市深入學習貫徹習近平總書記關于扶貧開發工作的重要論述及系列指示精神，認真落實省委、省政府一系列決策部署，精準扶貧、精準施策，各項政策措施落到實處，脫貧攻堅各項工作順利推進，成效明顯.貧困戶楊老漢就是扶貧政策受益人之一.據了解，為了幫助楊老漢早日脫貧，負責楊老漢家的扶貧隊長、扶貧副隊長和幫扶責任人經常到他家走訪,其中扶貧隊長每天到楊老漢家走訪的概率為
,扶貧副隊長每天到楊老漢家走訪的概率為 ,幫扶責任人每天到楊老漢家走訪的概率為 .
(Ⅰ)求幫扶責任人連續四天到楊老漢家走訪的概率;
(Ⅱ)設扶貧隊長、副隊長、幫扶責任人三人某天到楊老漢家走訪的人數為X,求X的分布列;
(Ⅲ)楊老漢對三位幫扶人員非常滿意，他對別人說:“他家平均每天至少有1人走訪”.請問：他說的是真的嗎?
19.(本小題滿分12分)
如圖1，平面四邊形 中， , , , ，將三角形 沿 翻折到三角形 的位置，如圖2，平面 平面 ， 為 中點.
(Ⅰ)求證： ;
(Ⅱ)求直線 與平面 所成角的正弦值.
20.(本小題滿分12分)
已知點 在拋物線 上，且 到拋物線焦點的距離為 . 直線 與拋物線交于 兩點，且線段 的中點為 .
(Ⅰ)求直線 的方程.
(Ⅱ)點 是直線 上的動點，求 的最小值.
21.(本小題滿分12分)
已知函數 .
(Ⅰ)設 是 的極值點，求 的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下， 在定義域內恒成立，求 的取值范圍;
(Ⅲ)當 時，證明：
考生注意：請在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一個題目計分.作答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題目后的方框涂黑.
22.(本小題滿分10分)選修4―4：坐標系與參數方程
已知平面直角坐標系 ，以 為極點， 軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線
過點 ，且傾斜角為 ，圓 的極坐標方程為 .
(Ⅰ)求圓 的普通方程和直線 的參數方程;
(Ⅱ)設直線 與圓 交于M、N兩點，求 的值.
23.(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講
已知函數
(Ⅰ)若 的解集;
(Ⅱ)若函數 有三個零點，求實數 的取值范圍.
黃山市2019屆高中畢業班第一次質量檢測
高三數學(理科)參考答案及評分標準
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)
1.C 2.B 3.B 4.A 5. A 6. B 7. D 8. D 9.A 10.A 11.C 12.B
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13. 14. 15. 11 16.
三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
17. (本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)由 ，得 所以 …………3分
由累乘法得到 ，所以數列 的通項公式為 ………………6分
(Ⅱ) 由等差數列前n項和公式得： 所以
…………………………………………………………9分
數列 的前 項和
……12分
18. (本小題滿分12分)
解：(Ⅰ)設幫扶責任人連續四天到楊老漢家走訪的事件為A ;
∴幫扶責任人連續四天到楊老漢家走訪的概率為 ……………………………………3分
(Ⅱ)隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3. ………………………………4分
;
; ……8分
隨機變量X的分布列為.
X 0 1 2 3
P
…………………………………9分
(Ⅲ) 所以
所以楊老漢說的是真的。 …………………………………………………………………12分
19.(本小題滿分12分)
證明：(Ⅰ)由題意 為等邊三角形，則 ，
在三角形 中， , ，由余弦定理可求得 ，
，即
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
平面 …………………………………………………3分
等邊三角形 中， 為 中點，則 ，且
平面 ， …………………………………………………5分
(Ⅱ)以 為坐標原點， 分別為 軸， 軸建立空間直角坐標系，
則 ， ， ， ，
， ……………………………………………7分
設 是平面 的法向量，則 ，
取 ……………………………………………9分
所以直線 與平面 所成角的正弦值為 . ……………………………12分
20. (本小題滿分12分)
解：(Ⅰ)拋物線的準線方程為 ,拋物線方程為 ……2分
設 , …4分
直線 的方程為 即 …………………………………………6分
(Ⅱ) 都在直線 上，則 ，設
…8分
又
當 時， 的最小值為 …………………………………………………12分
21.(本小題滿分12分)
解：(Ⅰ)∵ ，x=0是f(x)的極值點，∴ ，解得m=1.
經檢驗m=1 符合題意 ……………2分
(Ⅱ)由( Ι)可知，函數f(x)=ex-ln(x+1)+1，其定義域為(-1，+∞).
∵ ………………………………………………4分
設g(x)=ex(x+1)-1，則g′(x)=ex(x+1)+ex>0，所以g(x)在(-1，+∞)上為增函數，
又∵g(0)=0，所以當x>0時，g(x)>0，即f′(x)>0;當-1
所以f(x)在(-1，0)上為減函數;在(0，+∞)上為增函數;因此， 的最小值為
∵ 0在定義域內恒成立,即 ……………………………………………………………7分
(Ⅲ)證明：要證 ， .
設 , 即證
當m≤2，x∈(-m，+∞)時， ，故只需證明當m=2時， .
當m=2時，函數 在(-2，+∞)上為增函數，且 .
故 在(-2，+∞)上有唯一實數根 ，且 ∈(-1，0).
當 時， ，當 時， ,
從而當 時， 取得最小值. …………………………………………………10分
由 ，得 ， 故 .
綜上，當m≤2時， 即 >m.………………………………………12分
22.(本小題滿分10分)選修4-4：坐標系與參數方程
解：(Ⅰ)
(Ⅱ)將直線 的參數方程代入圓 的方程，得：
23.(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講
解：(Ⅰ)
(Ⅱ)
高三數學上學期期末試卷理科生
第Ⅰ卷
一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的).
1.已知集合 ， ，則 ( )
A. B. C. D.
2.已知復數 ( )，其中i為虛數單位，若 為實數，則 的值為( )
A. B. C. D.
3.已知 ，則下列關系正確的是( )
A. B. C. D.
4.下圖是某企業產值在2008年~2017年的年增量(即當年產值比前一年產值增加的量)統計圖(單位：萬元)，下列說法正確的是( )
A.2009年產值比2008年產值少
B.從2011年到2015年，產值年增量逐年減少
C.產值年增量的增量最大的是2017年
D.2016年的產值年增長率可能比2012年的產值年增長率低
5.等比數列 的前 項和 ，若對任意正整數 等式 成立，則 的值為( )
A.-3 B.1 C.-3或1 D.1或3
6.已知 ABC中， ，延長BD交AC于E，則 ( )
A. B. C. D.
7.函數 的圖象大致為( )
A. B.
C. D.
8.已知 是某球面上不共面的四點，且 ，則此球的體積為( )
A. B. C. D.
9.已知雙曲線 的左、右焦點分別為 ，實軸長為2，漸近線方程為 ， ，點N在圓 上，則 的最小值為
A. B.2 C. D.3
10.公元263年左右，我國數學家劉徽發現當圓內接正多邊形的邊數無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并創立了“割圓術”.利用“割圓術”劉徽得到了圓周率精確到小數點后兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率”.小華同學利用劉徽的“割圓術”思想在半徑為1的圓內作正 邊形求其面積，如圖是其設計的一個程序框圖，則框圖中應填入、輸出 的值分別為( )
(參考數據： )
A. B.
C. D.
11.已知點P(-1，0)，設不垂直于x軸的直線l與拋物線
y 2=2x交于不同的兩點A、B，若x軸是∠APB的角平分線，
則直線l一定過點( )
A.(，0) B.(1，0) C.(2，0) D.(-2，0)
12.設函數 ，其中 ，若僅存
在兩個正整數 使得 ，則 的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.
第II卷(非選擇題)
二、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分).
13.若 的展開式中常數項為-12，則a=____.
14.如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為____.
15.設數列 的前n項和為 ,若 且 (n≥2)則 的通項公式 _______.
16.如右圖，正方體 中， 是 的中點， 是側面 上的動點，且 //平面 ，則 與平面 所成角的正切值的最大值是_________.
三、解答題(共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.在 中，角 所對的邊分別為 ，且 .
(1)求 的值;
(2)若 ，點 在線段 上， ， ,求 的面積.
18.如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB 平面BEC，BE EC，AB=BE=EC=2，G，F分別是線段BE，DC的中點.
(1)求證： 平面 ;
(2)求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值.
19.為了改善市民的生活環境，信陽市決定對信陽市的1萬家中小型化工企業進行污染情況摸排，并出臺相應的整治措施.通過對這些企業的排污口水質，周邊空氣質量等的檢驗，把污染情況綜合折算成標準分100分，發現信陽市的這些化工企業污染情況標準分基本服從正態分布N(50，162)，分值越低，說明污染越嚴重;如果分值在[50，60]內，可以認為該企業治污水平基本達標.
(1)如圖信陽市的某工業區所有被調查的化工企業的污染情況標準分的頻率分布直方圖，請計算這個工業區被調查的化工企業的污染情況標準分的平均值，并判斷該工業區的化工企業的治污平均值水平是否基本達標;
(2)大量調査表明，如果污染企業繼續生產，那么標準分低于18分的化工企業每月對周邊造成的直接損失約為10萬元，標準分在[18，34)內的化工企業每月對周邊造成的直接損失約為4萬元.長沙市決定關停80%的標準分低于18分的化工企業和60%的標準分在[18，34)內的化工企業，每月可減少的直接損失約有多少?
(附：若隨機變量 ，則 ， ， )
20.已知橢圓 過點 ，且其中一個焦點的坐標為 .
(1)求橢圓 的方程;
(2)過橢圓 右焦點 的直線與橢圓交于兩點 ，在 軸上是否存在點 ，使得 為定值?若存在，求出點 的坐標;若不存在，請說明理由.
21.設 是 在點 處的切線.
(1)求證： ;
(2)設 ，其中 .若 對 恒成立，求 的取值范圍.
(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。
22.選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系 中，以坐標原點 為極點，以 軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線 的極坐標方程為 ，已知直線的參數方程為 (為參數)，點 的直角坐標為 .
(1)求直線和曲線 的普通方程;
(2)設直線和曲線 交于 兩點，求 .
23.選修4-5：不等式選講
已知函數 .
(1)若不等式 恒成立，求實數 的最大值;
(2)當 ，函數 有零點，求實數 的取值范圍.
參考答案
1.B 2.B 3.A 4.D
對 ，2009年產值比2008年產值多 萬元，故 錯誤;
對 ，從2011年到2015年，產值年增量逐年增加，故 錯誤;
對 ，產值年增量的增量最大的不是2017年，故 錯誤;
對 ，因為增長率等于增長量除以上一年產值,由于上一年產值不確定，所以2016年的產值年增長率可能比2012年的產值年增長率低， 對，故選D.
5.C設等比數列 的公比為 ，因為 ，所以 ，兩式相減，有 ，而 ，所以 ，當 時，令 得 ，解得 ;當 時，令 得 ，解得 ，所以 或 ，
6.D取特殊三角形，令 ，則有 ，直線BD的方程為 ，化簡得 ，令 ，解得 ，所以 ， ，故選D.
7.D因為 ，所以 為奇函數，不選A,C，
又因為 ，所以選D.
8.A因為 所以
因為 ，所以 為邊長為1得正方體四個頂點，外接球半徑為 ，
因此球的體積為 ，選A.
9.C因為 ，所以點M在雙曲線C右支上，因為漸近線方程為 ，所以 圓 ，即 ，設圓心為 ,
則有 ，選C.
10.C在半徑為 的圓內作出正 邊形，分成 個小的等腰三角形，
每一個等腰三角形兩腰是 ，頂角是 ，所以正 邊形面積是 ，
當 時， ;當 時， ;
當 時， ;符合 ，輸出 ，故選C.
11.B根據題意，直線的斜率不等于零，并且直線過的定點應該在x軸上，
設直線的方程為 ，與拋物線方程聯立，消元得 ，
設 ，因為x軸是∠APB的角平分線，所以AP、BP的斜率互為相反數，所以 ，結合根與系數之間的關系，整理得出 ，
即 ， ，解得 ，所以過定點 ，
12.A令 因為僅存在兩個正整數 使得 ，即僅有兩個整數使得 ，令 ，解得 且當 ， ;當 ， 所以 且 ， 所以當 時， ，另一個滿足條件的整數為2所以 ，代入解得 綜上， 的取值范圍為
13.-1因為 的展開式中常數項為 ，
14. 從圖中可以發現，對應的圓錐的高是2，底面圓的半徑是 ，
故剩余部分的底面的面積為 ，
所以該幾何體的體積為 ，故答案是 .
15.
時，由 可得 化為 是公差為 ，首項為的等差數列， ， 時， ，又因為 ，故答案為 .
16. 設 分別為 邊上的中點,則 四點共面，且平面 平面 ，又 面 ， 落在線段 上， 是 與平面 所成的角，
，設 的中點為,則當 與重合時 最小，此時 與平面 所成角的正切值有最大值為 ，故答案為 .
17.(1)因為 ，由正弦定理得：
即 ,
在 中， ，所以
，兩邊平方得：
由 ， ， 得
解得：
所以 的面積
18. 解法一：(Ⅰ)如圖，取 的中點 ，連接 ， ，又G是BE的中點， ，
又F是CD中點， ，由四邊形ABCD是矩形得， ，所以 .從而四邊形 是平行四邊形，所以 ，,又 ，所以 .
(Ⅱ)如圖，在平面BEC內，過點B作 ,因為 .
又因為AB 平面BEC，所以AB BE，AB BQ
以B為原點，分別以 的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1).因為AB 平面BEC，所以 為平面BEC的法向量，
設 為平面AEF的法向量.又
由 取 得 .
從而
所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為 .
解法二：(Ⅰ)如圖，取 中點 ，連接 ， ，又 是 的中點，可知 ，
又 面 ， 面 ，所以 平面 .
在矩形ABCD中，由M，F分別是AB，CD的中點得 .
又 面 ， 面 ，所以 面 .
又因為 ， 面 ， 面 ，
所以面 平面 ，因為 面 ，所以 平面 .
19. (Ⅰ)該工業區被調查的化工企業的污染情況標準分的平均值：
，
故該工業區的化工企業的治污平均值水平基本達標;
(Ⅱ)化工企業污染情況標準分基本服從正態分布N(50，162)
標準分在[18，34)內的概率，
∴60%的標準分在[18，34)內的化工企業，每月可減少的直接損失為:
萬元，
標準分低于18分的概率， ，
∴ 萬元
故信陽市決定關停80%的標準分低于18分的化工企業和60%的標準分在[18，34)內的化工企業，每月可減少的直接損失約有
20. (1)由已知得 ，∴ ，則 的方程為 ;
(2)假設存在點 ,使得 為定值，
當直線的斜率不為 時，可設直線的方程為 ，
聯立 , 得
設 ，則 ，
要使上式為定值, 即與 無關，應有
解得 ，此時
當直線的斜率為 時，不妨設 ，當 的坐標為 時
綜上，存在點 使得 為定值.
21. (1)設 ，則 ，所以 .所以 .
令 . 滿足 ，且 .
當 時， ，故 單調遞減;
當 時， ，故 單調遞增.
所以， .所以 .
(2)法一： 的定義域是 ，且 .
① 當 時，由(1)得 ，
所以 .
所以 在區間 上單調遞增， 所以 恒成立，符合題意.
② 當 時，由 ，且 的導數 ，
所以 在區間 上單調遞增. 因為 ，
于是存在 ，使得 .
所以 在區間 上單調遞減，在區間 上單調遞增，
所以 ，此時 不會恒成立，不符合題意.
綜上， 的取值范圍是 .
法二：∵
∴
當
當
令 =
令 ,
故 ,故 ，
綜上 .
22. (1)∵ρsin2α﹣2cosα=0，∴ρ2sin2α=4ρcosα，
∴曲線C的直角坐標方程為y2=4x.
由 消去，得 .∴直線l的直角坐標方程為 .
(2)點M(1，0)在直線l上，
設直線l的參數方程 (t為參數)，A，B對應的參數為t1，t2.
將l的參數方程代入y2=4x，得 .
于是 ， .
∴ .
23. (Ⅰ) .
∵ ，
∴ 恒成立當且僅當 ，
∴ ，即實數 的最大值為1.
(Ⅱ)當 時，
∴ ，
∴ 或
∴ ，∴實數 的取值范圍是 .
高三數學上學期期末試題參考
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.復數 的虛部是
A. B.2 C. D.
2.已知集合 ， ，則
A. B. C. D.
3.已知命題 若 ，則 ;命題 、 是直線， 為平面，若 // , ，則 // .下列命題為真命題的是
A. B. C. D.
4.如圖是某地區2000年至2016年環境基礎設施投資額 (單位：億元)的折線圖.
則下列結論中表述不正確的是
A.從2000年至2016年，該地區環境基礎
設施投資額逐年增加;
B.2011年該地區環境基礎設施的投資額比
2000年至2004年的投資總額還多;
C.2012年該地區基礎設施的投資額比2004年的投資額翻了兩番 ;
D.為了預測該地區2019年的環境基礎設施投資額，根據2010年至2016年的數據(時間變量t的值依次為 )建立了投資額y與時間變量t的線性回歸模型 ，根據該模型預測該地區2019的環境基礎設施投資額為256.5億元.
5. 函數 的圖象大致為
6. 若 滿足約束條件 ，則 的最小值為
A. 1 B.2 C.-2 D.-1
7.若 ， ， ，則 的大小關系為
A. B.
C. D.
8.若點 在拋物線 上，記拋物線 的焦點為 ，直線 與拋物線的另一交點為B，則
A. B. C. D.
9.某幾何體示意圖的三視圖如圖示，已知其主視圖的周長為8，
則該幾何體側面積的最大值為
A. B. C. D.
10.已知在區間 上，函數 與函數 的圖象交于點P，設點P在x軸上的射影為 ， 的橫坐標為 ，則 的值為
A. B. C. D.
11.已知雙曲線C： 的左、右焦點分別為 ，坐標原點O關于點 的對稱點為P，點P到雙曲線的漸近線距離為 ，過 的直線與雙曲線C右支相交于M、N兩點，若 ， 的周長為10，則雙曲線C的離心率為
A. B.2 C. D.3
12. 如圖，在三棱柱 中， 底面 ，∠ACB=90°，
為 上的動點，則 的最小值為
A. B. C.5 D.
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 的展開式中 的系數為_______;
14.若向量 、 不共線，且 ，則 _______;
15. 已知函數 ，若 ，則實數 的取值范圍是 ;
16. 已知 ，則 .
三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17題~第21題為必考題，每個試題考生都必須做答.第22題~第23題為選考題，考生根據要求做答.
(一)必考題：共60分
17.(12分)
已知數列 的前n項和為 ，且滿足 ， .
(1)求數列 的通項公式;
(2)若等差數列 的前n項和為 ，且 ， ，求數列 的前 項和 .
18.(12分)
如圖，在三棱錐P-ABC中，正三角形PAC所在平面與等腰三角形
ABC所在平面互相垂直，AB=BC，O是AC中點，OH⊥PC于H.
(1)證明：PC⊥平面BOH;
(2)若 ，求二面角A-BH-O的余弦值.
19.(12分)
某公司培訓員工某項技能，培訓有如下兩種方式，方式一：周一到周五每天培訓1小時，周日測試;方式二：周六一天培訓4小時，周日測試.公司有多個班組，每個班組60人，現任選兩組(記為甲組、乙組)先培訓，甲組選方式一，乙組選方式二，并記錄每周培訓后測試達標的人數如下表，其中第一、二周達標的員工評為優秀.
第一周 第二周 第三周 第四周
甲組 20 25 10 5
乙組 8 16 20 16
(1)在甲組內任選兩人，求恰有一人優秀的概率;
(2)每個員工技能測試是否達標相互獨立，以頻率作為概率.
(i)設公司員工在方式一、二下的受訓時間分別為 、 ，求 、 的分布列，若選平均受訓時間少的，則公司應選哪種培訓方式?
(ii)按(i)中所選方式從公司任選兩人，求恰有一人優秀的概率.
20.(12分)
已知橢圓 : 的上頂點為A,以A為圓心，橢圓的長半軸為半徑的圓與y軸的交點分別為 、 .
(1)求橢圓 的方程;
(2)設不經過點A的直線 與橢圓 交于P、Q兩點，且 ,試探究直線 是否過定點?若過定點，求出該定點的坐標，若不過定點，請說明理由.
21.(12分)
已知函數 ( ， ).
(1)討論函數 的單調性;
(2)當 時， ，求k的取值范圍.
(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.
22. [選修4-4：坐標系與參數方程] (10分)
已知曲線C的參數方程為 (t為參數)，以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，過極點的兩射線 、 相互垂直，與曲線C分別相交于A、B兩點(不同于點O)，且 的傾斜角為銳角 .
(1)求曲線C和射線 的極坐標方程;
(2)求△OAB的面積的最小值，并求此時 的值.
23. [選修4 5：不等式選講] (10分)
已知函數 ，
(1)當a=2時，求不等式 的解集;
(2)當 時不等式 恒成立，求 的取值范圍.
(理科)參考答案
一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則.
二、對計算題當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后續部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半;如果后續部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.
三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數.
四、只給整數分數.
一、選擇題
題序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C B D A D A D C B B C
解析：8.依題意易得 ， ，由拋物線的定義得 ，聯立直線AF的方程與拋物線的方程消去y得 ，得 , 則 ,故 .
9. 由三視圖知，該幾何體為圓錐，設底面的半徑為r，母線的長為 ，則 ，又S側= (當且僅當 時“=”成立)
10. 依題意得
.
11. 依題意得點P ， ，由雙曲線的定義得 周長為 ，由此得 ， ，故 .
12. 由題設知△ 為等腰直角三角形，又 平面 ，
故∠ =90°，將二面角 沿 展開成平面圖形，
得四邊形 如圖示，由此， 要取得最小值，當且
僅當 三點共線，由題設知∠ ,
由余弦定理得 .
二、填空題
題序 13 14 15 16
答案 224 3
解析：
15. 因函數 為增函數，且為奇函數， ， ，
解得 .【學生填 或 或 都給滿分】
16. 依題意可得 ,其最小正周期 ,且 故
三、解答題
17.解：(1)當 時， ，----------------------------------------------------------------------------1分
由 得 ( )，
兩式相減得 ，又 ，
∴ ( )， ------------------------------------------------------------------------------3分
又 ，∴ ( )， --------------------------------------------------------4分
顯然 ， ，即數列 是首項為3、公比為3的等比數列，
∴ ; --------------------------------------------------------------------------------6分
(2)設數列 的公差為d，則有 ，由 得 ，解得 ，--------8分∴ ， --------------------------------------------------------------------9分
又 --------------------------------------------10分
∴
.--------------------------------------------------------------------12分
18.解：(1)∵AB=BC，O是AC中點，
∴ BO⊥AC，---------------------------------------------1分
又平面PAC⊥平面ABC，
且 平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
∴ BO⊥平面PAC，-------------------------------------3分
∴ BO⊥PC，又OH⊥PC，BO∩OH=O，
∴ PC⊥平面BOH;------------------------------------5分
(2)易知PO⊥AC，又BO⊥平面PAC，
如圖，以O為原點，OB所在的直線為x軸，建立空間直角
坐標系O - xyz，由 易知 ，OC=2，
， ，
∴ ， ， ， ，
， ， ， -----------------------------------7分
設平面ABH的法向量為 ，
則 ， ∴ ，取x=2，得 ，----------------------9分
由(1)知 是平面BHO的法向量，易知 ，------10分
設二面角A-BH-O的大小為 ，顯然 為銳角，
則 ，
∴ 二面角A-BH-O的余弦值為 .------------------------------------------------------------12分
【其它解法請參照給分】
19.解：(1)甲組60人中有45人優秀，任選兩人，
恰有一人優秀的概率為 ;--------------------------------------------3分
(2)(i) 的分布列為
5 10 15 20
P
，----------------------------------------------6分
的分布列為
4 8 12 26
P
，
∵ ，∴公司應選培訓方式一;----------------------------------------------------9分
(ii)按培訓方式一，從公司任選一人，其優秀的概率為 ，
則從公司任選兩人，恰有一人優秀的概率為 .-------------------------12分
20. 解：(1)依題意知點A的坐標為 ，則以點A圓心，以 為半徑的圓的方程為:
，------------------------------------------------------------------------------------1分
令 得 ，由圓A與y軸的交點分別為 、
可得 ，解得 ，-------------------------------------------------------3分
故所求橢圓 的方程為 .----------------------------------------------------------------4分
(2)解法1：由 得 ，可知PA的斜率存在且不為0，
設直線 ---------------① 則 -------------②----------------------6分
將①代入橢圓方程并整理得 ，可得 ，
則 ，-------------------------------------------------------------------------------------------------8分
類似地可得 ，----------------------------------------------------------9分
由直線方程的兩點式可得：直線 的方程為 ，------------------------------11分
即直線 過定點，該定點的坐標為 .---------------------------------------------------------12分
【解法2：若直線l垂直于x軸，則AP不垂直于AQ，不合題意，
可知l的斜率存在，又l不過點(0,1)，設l的方程為 ，
又設點 ，則 ,
由 得 ，
由 ，消去y得 ，----------------------------6分
，當 即 時，
-------① ---------②-----------------------------------------7分
又 ， ，--------------------------8分
于是有 ，-----------③---------------------9分
將①②代入③得
整理得： ,--------------------------------------------------------------------------------------11分
滿足 ，這時直線 的方程為 ，直線 過定點 .------------------12分】
(21)解：(1) .--------------------------1分
①若 ，當 時， ， 在 上單調遞增;
當 時， ， 在 上單調遞減.----------------------3分
②若 ，當 時， ， 在 上單調遞減;
當 時， ， 在 上單調遞增.
∴當 時， 在 上單調遞增，在 上單調遞減;
當 時， 在 上單調遞減，在 上單調遞增.-------------------5分
(2) ( )，
當 時，上不等式成立，滿足題設條件;-----------------------------------------------------6分
當 時， ，等價于 ，
設 ，則 ，
設 ( )，則 ，
∴ 在 上單調遞減，得 .-------------------------------------9分
①當 ，即 時，得 ， ，
∴ 在 上單調遞減，得 ，滿足題設條件;--------------------10分
②當 ，即 時， ，而 ，
∴ ， ，又 單調遞減，
∴當 ， ，得 ，
∴ 在 上單調遞增，得 ，不滿足題設條件;
綜上所述， 或 .--------------------------------------------------------------------------12分
22. 解：(1)由曲線C的參數方程，得普通方程為 ，
由 ， ，得 ，
所以曲線C的極坐標方程為 ，[或 ] ---------------------------3分
的極坐標方程為 ; --------------------------------------------------------------------5分
(2)依題意設 ，則由(1)可得 ，
同理得 ，即 ，-------------------------------------------------7分
∴
∵ ∴ ，∴ ， -----------------9分
△OAB的面積的最小值為16，此時 ，
得 ，∴ . --------------------------------------------------------------------------10分
23.解：(1)①當 時， ，
解得 ，---------------------------------------------------------------------------------------------1分
②當 時， ，
解得 ，----------------------------------------------------------------------------------------2分
③當 時，
解得 ，----------------------------------------------------------------------------------------------3分
綜上知，不等式 的解集為 .-----------------------------------5分
(2)解法1：當 時， ，---------------6分
設 ，則 ， 恒成立，
只需 ， -------------------------------------------------------------------------------------8分
即 ，解得 ----------------------------------------------------------------------10分
【解法2：當 時， ，------------------------------------------------6分
，即 ，即 ----------------------------------7分
①當 時，上式恒成立， ;-----------------------------------------------------------8分
②當 時，得 恒成立，
只需 ，
綜上知， . --------------------------------------------------------------------------------10分】
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