高三年級數學期中試卷考試文科
學習好了數學我們就需要多做題來參考一下，小編今天下面就給大家整理高三數學，希望大家一起學習
數學高三年級期中試卷考試
一、選擇題:本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合 ， ，則 ( )
A. B. C. D.
2.已知 為虛數單位，若復數 是純虛數，則實數 等于 ( )
A. B. C. D.
3.方程 的根的個數是 ( )
A. B. C. D.
4.等差數列 的前 項和為 ，若 ，則 ( )
A. B. C. D.
5.已知向量 ， ，若 ，則 ( )
A. B. C. D.
6.將函數 圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的 倍(縱坐標不變)，得到函數 的圖像，則函數 的圖像的一個對稱中心是( )
A. B. C. D.
7.若如圖的程序框圖輸出的 是 ，則①應為 ( )
A. ?
B. ?
C. ?
D. ?
8.已知某幾何體的正視圖、側視圖和俯視圖均為斜邊為 的等腰直角三角形，該幾何體的頂點都在同一球面上，則此球的表面積為 ( )
A. B. C. D.
9.設 為拋物線 ： 的焦點，曲線 與 交于點 ， 軸，則 ( )
A. B. C. D.
10.設函數 ，若 ，則實數 的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
11.若函數 的圖像上存在兩點，使得函數的圖像在這兩點處的切線互相垂直，則稱 具有 性質，下列函數中有 性質的是 ( )
A. B. C. D.
12.已知函數 ，則函數 滿足 ( )
A.最小正周期為 B.圖像關于點 對稱
C.在區間 上為減函數 D.圖像關于直線 對稱
二、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.已知實數 滿足約束條件 ，則 的最小值是 .
14.設 是等差數列 的前 項和，若 ， ，則公差 .
15.在 中，若 ， ， ，則 .
16.已知函數 是定義在 上的周期為 的奇函數，當 時， ，
則 .
三、解答題:共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.
(一)必考題：共60分.
17.(12分)
已知正項等比數列 ，其前n項和為 滿足： ， ，
(1)求 ;
(2)令 ，數列 的前n項和為 ，求 .
18. (12分)
某中學對高三年級的學生進行體質測試，已知高三、一班共有學生30人，測試立定跳遠的成績用莖葉圖表示如下(單位： )：
男 女
7 16 5 7 8 9 9
9 8 17 1 8 4 5 2 9
3 5 6 18 0 2 7 5 4
1 2 4 19 0 1
1
8
5 20
21
22
男生成績不低于 的定義為“合格”，成績低于 的定義為“不合格”;女生成績不低于 的定義為“合格”，成績低于 的定義為“不合格”.
(1) 求女生立定跳遠成績的中位數;
(2) 若在男生中按成績是否合格進行分層抽樣，抽取6個人，求抽取成績“合格”的男生人數;
(3) 若從(2)問所抽取的6人中任選2人，求這2人中恰有1人成績“合格”的概率.
19. (12分)
已知橢圓C： 的右焦點F2和上頂點B在直線 上，過橢圓右焦點的直線交橢圓于 兩點.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)求 面積的最大值.
20.(12分)
四棱錐 中， 平面 ，底面 為直角梯形， ， ， ，M為PA上一點，且 ，
(1)證明：PC//平面MBD;
(2)若 ，四棱錐 的體積為 ，
求直線AB與平面MBD所成角的正弦值.
21.(12分)
已知函數 的圖象與直線 相切，
(1)求b的值;
(2)當 時， 恒成立，求實數a的取值范圍.
(二) 選考題：共10分.請考生在22、23題中任選一題作答.如果多做則按所做的第一題計分.
22. [選修4-4：坐標系與參數方程](10分)
在直角坐標系 中，曲線 的參數方程為 ( 為參數);以原點
極點，以 軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線 的極坐標方程為 .
⑴ 求曲線 的普通方程與曲線 的直角坐標方程;
⑵ 試判斷曲線 與 是否存在兩個交點，若存在求出兩交點間的距離;若不存在，說明理由.
23. [選修4-5：不等式選講](10分)
設函數 ， .
⑴ 當 時，求不等式 的解集;
⑵ 對任意 恒有 ，求實數 的取值范圍.
C
A
C
A
B
D
B
B
D
B
A
D
答案：
答案：
答案：
.
17.解：(1)設公比為q(q>0)
由已知可得： 解得q=3，q=-1(舍)……………………………
，解得 ， ………………………………………
………………
所以當 時， ;………………
當 時， ………………
綜上可知 ……
18.解：(1) 女生立定跳遠成績的中位數 cm.…………………
(2) 男生中成績“合格”和“不合格”人數比為 ，用分層抽樣的方法抽取6個人，
則抽取成績“合格”人數為4人;…………………
(3)由(2)設成績“合格”的4人為A，B，C，D，成績“不合格”的2人為 ,從中選出2人有(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A, )，(A, )，(B,C)，(B,D)，(B, )，(B, )，(C,D)，(C, )，(C, )，(D, )，(D, )，( )，共15種，…………………
其中恰有1人成績“合格”的有(A, )，(A, )，(B, )，(B, )，(C, )，(C, )，(D, )，(D, )，共8種，故所求事件概率為 .…………………
19.解：(1) 橢圓C： 的右焦點F2和上頂點B在直線 上， 橢圓的右焦點為F2(1，0)，上頂點為B ，…………
故c=1，b= ，a2=b2+c2=4，∴所求橢圓標準方程為 .…………
(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線 的方程為
聯立 得： ，…………
…………
…………
= ， ，令 ，函數 在 上為增函數，故當 即 時， ，此時三角形 的面積取得最小值為 .…………
20.(1)證明：連結AC交BD于N點，連結MN，則 ∽
又 ， ， ，
， ……………………
(2) 解：不妨設 ，因為PA=AD=3，四棱錐 的體積為 ，所以 ，解得 ;………………
設點 到平面 的距離為 ，利用體積橋， ,在 中， ,利用余弦定理可求得 ,所以 ，所以三角形 的面積 ,………………
代入 中得： ，解得 ，………………
又因為 ,所以直線AB與平面MBD所成角的正弦值為 . ………………
21.解：(1)
， 在 上為增函數，且 …………………
切點的坐標為 ，將 代入 得1+b=2， b=1…………………
(2)由 ， …………
令
………………
，
，顯然
………………………………………
22.解：(1) 對于曲線 有 ，對于曲線 有 .…………
(2) 顯然曲線 ： 為直線，則其參數方程可寫為 ( 為參數)與曲線 ： 聯立，可知 ，所以 與 存在兩個交點，
由 ， ，得 . …………
23. 解：(1) 當 時， ，
所以 的解集為 或 . …………
(2) ，
由 恒成立，有 ，解得
所以 的取值范圍是 . …………
高三年級數學期中上學期考試卷
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
相關公式：
1.獨立性檢驗有關數據：
P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合 , ,則 ( )
A. B. C. D.
2.復數 等于( )
A. B. C. D.
3.若非零向量 , 滿足 ，則 與 的夾角為( )
A. B. C. D.
4.已知 ，則 的值為( )
A. B. 或 C. D.
5.設 滿足 ，則 ( )
A.有最小值 ，無最大值 B.有最小值 ，無最大值
C.有最大值 ，無最小值 D.既無最小值，又無最大值
6. 一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為( )
A. B. C. D.12
7.右面的程序框圖表示求式子 × × × × ×
的值, 則判斷框內可以填的條件為( )
A. B. C. D.
8. 若函數 同時滿足下列三個性質:
①最小正周期為 ;
②圖像關于直線 對稱;
③在區間 上是增函數，則 的解析式可以是( )
A. B.
C. D.
9.已知等比數列 滿足 ，且 ，則當 時，
( )
A. B. C. D.
10.若直線 與圓 相切，且 為銳角，則該直線的斜率是( )
A. B. C. D.
11.若 是雙曲線 和圓 的一個交點，且, ，其中 是雙曲線 的兩個焦點，則雙曲線 的離心率為( )
A. B. C. D.
12.定義域為 的函數 ，若關于 的方程 ,
恰有5個不同的實數解 等于( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.
13.已知 ，則數列 的通項公式為 .
14. 已知函數 的定義域為 ，若其值域也為 ，則稱區間 為 的保值區間.
若 的保值區間是 ，則 的值為 .
15. 已知三棱錐 的三條側棱 兩兩互相垂直，且 ,
則該三棱錐的外接球的體積為 .
16.有如下四個命題：
①甲乙兩組數據分別為甲：28,31,39,42,45,55,57,58,66;乙：29,34,35,48,42,46,55,53,55,67
則甲乙的中位數分別為45和44.
②相關系數 ，表明兩個變量的相關性較弱.
③若由一個2 2列聯表中的數據計算得 的觀測值 ,那么有95%的把握認為兩個變量有關.
④用最小二乘法求出一組數據 的回歸直線方程 后要進行殘差分析，相應于數據 的殘差是指 .
以上命題“錯誤”的序號是 .
三、解答題：解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.
17. (本小題滿分12分)
在 中，角 所對應的邊分別為 ，且滿足 = , .
(1)求 的面積;
(2)若 ,求 的值.
18.(本小題滿分12分)
某校高三文科 名學生參加了 月份的高考模擬考試，學校為了了解高三文科學生的歷史、
地理學習情況，從 名學生中抽取 名學生的成績進行統計分析，抽出的 名學生的地理、歷史成績如下表：
歷史 地理 [80,100] [60,80) [40,60)
[80,100] 8 m 9
[60,80) 9 n 9
[40,60) 8 15 7
若歷史成績在[80,100]區間的占30%，
(1)求 的值;
(2)請根據上面抽出的 名學生地理、歷史成績，填寫下面地理、歷史成績的頻數分布表：
[80,100] [60,80) [40,60)
地理
歷史
根據頻數分布表中的數據估計歷史和地理的平均成績及方差(同一組數據用該組區間的中點值作代表)，并估計哪個學科成績更穩定.
19. (本小題滿分12分)
如圖，直三棱柱 中， ， 分別是 ， 的中點.
(1)證明： 平面 ;
(2)設 ， ，求三棱錐 的體積.
20. (本題滿分12分)
設 、 分別是橢圓 的左、右焦點.
(1)若 是該橢圓上的一個動點，求 的最大值與最小值.
(2)是否存在過點 的直線 與橢圓交于不同的兩點 ，使得 ?若存在，
求直線 的方程;若不存在，請說明理由.
21. (本小題滿分12分)
設函數 ，已知曲線 在點
處的切線與直線 垂直.
(1)求 的值;
(2)求函數 的極值點.
請考生在題22,23中任選一題作答，如果多做，則按所做的的第一題計分.做題時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑.
22.(本小題滿分10分)選修4—4：坐標系與參數方程
在直角坐標系 中，以 為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線 過點 ，傾斜角為 .
(1)寫出直線 的參數方程，及當 時，直線 的極坐標方程 .
(2)已知從極點 作直線 與直線 相交于點 ，在 上取一點 ，使 ，求點 的極坐標方程.
23(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講
已知函數
(1)當 時，求不等式 的解集;
(2)若 |的解集包含 ，求 的取值范圍.
高三文科數學答案
答案1-5CACAB 6-10CBADA 11-12DC
13. 14. ①② 15. 16.
17.(1)因為 ， ，又由 ，得 ，
(2)對于 ，又 ， 或 ，由余弦定理得 ，
18. 解：(1)∵由歷史成績在[80,100]區間的占30%，∴ ，得 ，
∴ . 3分
可得
[80,100] [60,80) [40,60)
地理 25 50 25
歷史 30 40 30
從以上計算數據來看，地理學科的成績更穩定。………………………………12分
19.(1)略 (2)
20. 解：(Ⅰ)易知
設P(x，y)，則
，
，即點P為橢圓短軸端點時， 有最小值3;
當 ，即點P為橢圓長軸端點時， 有最大值4
(Ⅱ)假設存在滿足條件的直線l易知點A(5，0)在橢圓的外部，當直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓無交點，所在直線l斜率存在，設為k
直線l的方程為
由方程組
依題意
當 時，設交點C ，CD的中點為R ，
則
又|F2C|=|F2D|
∴20k2=20k2-4，而20k2=20k2-4不成立， 所以不存在直線 ，使得|F2C|=|F2D|
綜上所述，不存在直線l，使得|F2C|=|F2D|
21.【 解析】(1) ，所以 ，所以 .
(2) ，其定義域為 ，
，
令 ， ，
①當 時， ，有 ，即 ，所以 在區間 上單調遞減，故 在區間 無極值點.
②當 時， ，令 ，有 ， ，
當 時， ，即 ，得 在 上遞減;
當 時， ，即 ，得 在 上遞增;
當 時， ，即 ，得 在 上遞減，
此時 有一個極小值點 和一個極大值點 .
③當 時， ，令 ，有 ，
當 時， ，即 ，得 在 上遞增;
當 時， ，即 ，得 在 上遞減，
此時 有唯一的極大值點 .
綜上可知，當 時，函數 有一個極小值點 和一個極大值點 ;
當 時，函數 在 無極值點;
當 時，函數 有唯一的極大值點 ，無極小值點.
22.(1) ( 為參數) ( 為參數) 的極坐標方程為
設點 ， ， ， ， ， ，即點 的軌跡方程為 。
23.答案(1) ; (2)
高三年級數學期末試卷文科
參考公式：
三角函數的和差化積公式
正棱臺、圓臺的側面積公式
其中c’、c分別表示上、下底面周長，l表示斜高或母線長臺體的體積公式
其中S’、S分別表示上、下底面面積，h表示高
一、選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把你認為正確的選項前的字母填在題后的括號內。
(1)設集合 ，若 ，則a的取值范圍是( )
(A) (B) (C) (D)
(2)已知二面角 ，直線 ， ，且a與l不垂直，b與l不垂直，那么( )
(A)a與b可能垂直，但不可能平行 (B)a與b可能垂直，也可能平行
(C)a與b不可能垂直，但可能平行 (D)a與b不可能垂直，也不可能平行
(3)函數 在一個周期內的圖象如圖所示，函數 解析式為( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(4)若橢圓 ，雙曲線 有相同的焦點 ， ，P是兩曲線的交點，則 的值是( )
(A) (B) (C)a-m (D)b-n
(5)如圖，O為直二面角 的棱MN上的一點，射線OE，OF分別在 內，且∠EON=∠FON=45°，則∠EOF的大小為( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
(6)在等差數列 中， ，公差d<0，前n項和是 ，則有( )
(A) (B)
(C) (D)
(7)8種不同的商品，選出5種放入5個不同的柜臺中，如果甲、乙兩種商品不能放入第5號柜臺中，那么不同的放法共有( )
(A)3360種 (B)5040種 (C)5880種 (D)2160種
(8)下列四個命題：
①滿足 的復數只有 ;
②若a，b是兩個相等的實數，則 是純虛數;
③復 的充要條件是 ;
④復平面內x軸即實軸，y軸即虛軸。
其中正確的有( )
(A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個
(9)在 中， ，則角C等于( )
(A) (B)
(C) (D)
(10)過拋物線 的焦點作直線與此拋物線交于P，Q兩點，那么線段PQ中點的軌跡方程是( )
(A) (B)
(C) (D)
第Ⅱ卷(非選擇題共100分)
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案填在題中橫線上。
(11)已知 ，則 =________________。
(12)在一個棱長為 的正四面體內有一點P，它到三個面的距離分別是1cm，2cm，3cm，則它到第四個面的距離為_______________cm。
(13)設等比數列 的前n項和為 ，前n+1項的和為 ，則 =___________________。
(14)拋物線 和圓 上最近兩點的距離是_________________。
三、解答題：本大題共6小題，共84分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
(15)(本小題滿分14分)解關于x的不等式 ，(a>0且a≠1)。
(16)(本小題滿分14分)
已知：定義在R上的函數 為奇函數，且在 上是增函數。
(Ⅰ)求證： 在 上也是增函數;
(Ⅱ)對任意 ，求實數m，使不等式 恒成立。
(17)(本小題滿分14分)
在長方體ABCD— 中，AB=2， ，E為 的中點，連結ED，EC，EB和DB。
(Ⅰ)求證：平面EDB⊥平面EBC;
(Ⅱ)求二面角E-DB-C的正切值;
(Ⅲ)求異面直線EB和DC的距離。
(18)(本小題滿分14分)
某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級污水處理池(平面圖如圖所示)，池的深度一定，池的外圈周壁建造單價為每米400元，中間一條隔壁建造單價為每米100元，池底建造單價每平方米60元(池壁厚度忽略不計)。
(Ⅰ)設污水處理池的長為x米時，寫出總造價f(x)的解析式;
(Ⅱ)污水處理池的長設計為多少米時，可使總造價最低。
(19)(本小題滿分14分)
已知橢圓c： ，將橢圓c平移，中心移到點(1，2)，成為橢圓c’。
(Ⅰ)求橢圓c’的方程;
(Ⅱ)橢圓c’上存在關于直線 對稱的不同的兩點，求出m的范圍。
(20)(本小題滿分14分)
已知函數 ，滿足條件：
① ;② ;③ ;
④當x>y時，有 。
(Ⅰ)求f(1)，f(3)的值;
(Ⅱ)由f(1)，f(2)，f(3)的值，猜想f(n)的解析式;
(Ⅲ)證明你猜想的f(n)的解析式的正確性。
高三期末試卷
一、選擇題
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B B D C C A B A C D
二、填空題
11. 12.4 13. 14.
三、解答題
15.解：當a>1時，原不等式等價于 。……………………2分
…………………………………………………………4分
解得 。………………………………………………………………6分
∴原不等式的解集為 。……………………………………8分
當0
或 ……………………………………12分
解得 或x>2。
∴原不等式的解集為 。…………………………………………14分
16.(Ⅰ)證明：設 ，且 ，則 ，且 。
…………………………2分
∵ 在 上是增函數，
∴ …………………………………………………………4分
又 為奇函數，∴ ……………………………………6分
∴ 。
∴ 在 上也是增函數。…………………………………………8分
(Ⅱ)∵函數 在 和 上是增函數，且 在R上是奇函數
∵ 在 上是增函數。…………………………………………10分
∵ ，
∴ 。
，
，………………………………………………12分
，
。
∵當 時， 的最大值為 ，
∴當 時，不等式恒成立。…………………………………………14分
17.(Ⅰ)證明：在長方體ABCD- 中，AB=2， ，E為 的中點。
∴ 為等腰直角三角形， 。
同理 。
∴ ，即DE⊥EC。……………………………………………2分
在長方體ABCD- 中，BC⊥平面 ，又DE 平面 ，
∴BC⊥DE。……………………………………………………………………4分
又 ，
∴DE⊥平面EBC。
∵平面DEB過DE，
∵平面DEB⊥平面EBC。……………………………………………………5分
(Ⅱ)解：如圖，過E胡平面 中作EO⊥DC于O。
在長方體ABCD- 中，
∵面ABCD⊥面 ，
∴EO⊥面ABCD。
過O在平面DBC中作OF⊥DB于F，連結EF
∴EF⊥BD。
∠EFO為二面角E-DB-C的平面角。………………………………7分
利用平幾知識可得
。…………………………10分
(Ⅲ)解：E在 上，B在AB上，在長方體ABCD- 中， ，
∴EB在平面 內。
又∵DC//AB
∴DC//平面 。
直線DC到平面 的距離就等于異面直線DC和EB的距離。………………12分
在長方體ABCD- 中，平面 ⊥平面 ，連結 ，在平面 中，過C作 。
CH⊥平面 ，CH為所求的距離。
∴ 。…………………………………………………………14分
18.(Ⅰ)解：設污水處理池的長為x米，則寬為 米。………………………2分
總造價 。…………………4分
(Ⅱ)
=36000(元)………………………………………………………………10分
當且僅當 時，即x=15等號成立。…………………………………12分
答：當污水處理池的長為15米(寬為 米)時，總造價最低。………………14分
19.(Ⅰ)解：橢圓c’的方程為 。…………………………4分
(Ⅱ)解：設 為橢圓c’上關于直線l對稱的不同的兩點，AB的中點為 ，則有
……………………………………8分
(2)-(1)得 (5) ………………………10分
(3)代入(5)得 (6)。
由(4)與(6)得： 。…………………………………12分
∵M在c’內
∴ 。
解得 。…………………………………………………………………14分
20.(Ⅰ)解：∵ ，又 ，
∴ 。…………………………………………………………………………2分
又∵ ，…………………………………………4分
，且 。
∴ 。…………………………………………………………………………5分
(Ⅱ)解：由 猜想 。…………8分
(Ⅲ)用數學歸納法證明：
(1)當n=1時，f(1)=1，函數解析式成立;
(2)假設 時， ，函數解析式成立;
①若 ，
。………………10分
②若 ，
，
。
∴ 。……………………………………12分
即 時，函數解析式成立。
綜合(1)(2)可知， 成立。……………………14分
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