高一數學必修一函數知識點

　　函數的學習是比較重要的，是學生需要學習的，下面是學習啦小編給大家帶來的有關于高一數學的關于函數的知識點的分析，希望能夠幫助到大家。

　　高一數學必修一函數知識點分析

　　1、函數：設A、B為非空集合，如果按照某個特定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，寫作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域，與x相對應的y的值叫做函數值，函數值的集合B={f(x)∣x∈A }叫做函數的值域。

　　★2、函數定義域的解題思路：

　　⑴ 若x處于分母位置，則分母x不能為0。

　　⑵ 偶次方根的被開方數不小于0。

　　⑶ 對數式的真數必須大于0。

　　⑷ 指數對數式的底，不得為1，且必須大于0。

　　⑸ 指數為0時，底數不得為0。

　　⑹ 如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的，那么，它的定義域是各個部分都有意義的x值組成的集合。

　　⑺ 實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義。

　　3、相同函數

　　⑴ 表達式相同：與表示自變量和函數值的字母無關。

　　⑵ 定義域一致，對應法則一致。

　　4、函數值域的求法

　　⑴ 觀察法：適用于初等函數及一些簡單的由初等函數通過四則運算得到的函數。

　　⑵ 圖像法：適用于易于畫出函數圖像的函數已經分段函數。

　　⑶ 配方法：主要用于二次函數，配方成 y=(x-a)2+b 的形式。

　　⑷ 代換法：主要用于由已知值域的函數推測未知函數的值域。

　　5、函數圖像的變換

　　⑴ 平移變換：在x軸上的變換在x上就行加減，在y軸上的變換在y上進行加減。

　　⑵ 伸縮變換：在x前加上系數。

　　⑶ 對稱變換：高中階段不作要求。

　　6、映射：設A、B是兩個非空集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于A中的任意儀的元素x，在集合B中都有唯一的確定的y與之對應，那么就稱對應f：A→B為從集合A到集合B的映射。

　　⑴ 集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。

　　⑵ 集合A中的不同元素，在集合B中對應的象可以是同一個。

　　⑶ 不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

　　7、分段函數

　　⑴ 在定義域的不同部分上有不同的解析式表達式。

　　⑵ 各部分自變量和函數值的取值范圍不同。

　　⑶ 分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集。

　　8、復合函數：如果(u∈M)，u=g(x) (x∈A),則，y=f[g(x)]=F(x) (x∈A)，稱為f、g的復合函數。

　　★五、函數的性質

　　1、函數的局部性質——單調性

　　設函數y=f(x)的定義域為I，如果對應定義域I內的某個區間D內的任意兩個變量x1、x2，當x1< x2時，都有f(x1)f(x2)，那么那么y=f(x)在區間D上是減函數，D是函數y=f(x)的單調遞減區間。

　　⑴函數區間單調性的判斷思路

　　ⅰ在給出區間內任取x1、x2，則x1、x2∈D，且x1< x2。

　　ⅱ 做差值f(x1)-f(x2)，并進行變形和配方，變為易于判斷正負的形式。

　　ⅲ判斷變形后的表達式f(x1)-f(x2)的符號，指出單調性。

　　⑵復合函數的單調性

　　復合函數y=f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律為“同增異減”;多個函數的復合函數，根據原則“減偶則增，減奇則減”。

　　⑶注意事項

　　函數的單調區間只能是其定義域的子區間，不能把單調性相同的區間和在一起寫成并集，如果函數在區間A和B上都遞增，則表示為f(x)的單調遞增區間為A和B，不能表示為A∪B。

　　2、函數的整體性質——奇偶性

　　對于函數f(x)定義域內的任意一個x，都有f(x) =f(-x)，則f(x)就為偶函數;

　　對于函數f(x)定義域內的任意一個x，都有f(x) =-f(x)，則f(x)就為奇函數。

　　⑴奇函數和偶函數的性質

　　ⅰ無論函數是奇函數還是偶函數，只要函數具有奇偶性，該函數的定義域一定關于原點對稱。

　　ⅱ奇函數的圖像關于原點對稱，偶函數的圖像關于y軸對稱。

　　⑵函數奇偶性判斷思路

　　ⅰ先確定函數的定義域是否關于原點對稱，若不關于原點對稱，則為非奇非偶函數。

　　ⅱ確定f(x) 和f(-x)的關系：

　　若f(x) -f(-x)=0，或f(x) /f(-x)=1，則函數為偶函數;

　　若f(x)+f(-x)=0，或f(x)/ f(-x)=-1，則函數為奇函數。

　　3、函數的最值問題

　　⑴對于二次函數，利用配方法，將函數化為y=(x-a)2+b的形式，得出函數的最大值或最小值。

　　⑵對于易于畫出函數圖像的函數，畫出圖像，從圖像中觀察最值。

　　⑶關于二次函數在閉區間的最值問題

　　ⅰ判斷二次函數的頂點是否在所求區間內，若在區間內，則接ⅱ，若不在區間內，則接ⅲ。

　　ⅱ 若二次函數的頂點在所求區間內，則在二次函數y=ax2+bx+c中，a>0時，頂點為最小值，a<0時頂點為最大值;后判斷區間的兩端點距離頂點的遠近，離頂點遠的端點的函數值，即為a>0時的最大值或a<0時的最小值。

　　ⅲ 若二次函數的頂點不在所求區間內，則判斷函數在該區間的單調性

　　若函數在[a，b]上遞增，則最小值為f(a)，最大值為f(b);

　　若函數在[a，b]上遞減，則最小值為f(b)，最大值為f(a)。

　　六、基本初等函數

　　1、指數函數：函數y=ax (a>0且a≠1)叫做指數函數

　　注意：⑴由函數的單調性可以看出，在閉區間[a,b]上，指數函數的最值為：

　　a>1時，最小值f(a)，最大值f(b);0

　　⑵ 對于任意指數函數y=ax (a>0且a≠1)，都有f(1)=a。

　　2、對數函數：函數y=logax(a>0且a≠1))，叫做對數函數

　　3、冪函數：函數y=xa(a∈R)，高中階段，冪函數只研究第I象限的情況。

　　⑴所有冪函數都在(0，+∞)區間內有定義，而且過定點(1,1)。

　　⑵a>0時，冪函數圖像過原點，且在(0，+∞)區間為增函數，a越大，圖像坡度越大。

　　⑶a<0時，冪函數在(0，+∞)區間為減函數。

　　當x從右側無限接近原點時，圖像無限接近y軸正半軸;

　　當y無限接近正無窮時，圖像無限接近x軸正半軸。

　　冪函數總圖見下頁。

　　4、反函數：將原函數y=f(x)的x和y互換即得其反函數x=f-1(y)。

　　反函數圖像與原函數圖像關于直線y=x對稱。

　　冪函數總圖

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