高一數學必修一函數知識點(2)
高一數學必修一函數的練習題
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1.設集合M={x|x2+2x=0，x∈R}，N={x|x2-2x=0，x∈R}，則M∪N=( )
A.{0} B.{0,2}
C.{-2,0} D.{-2,0,2}
解析 M={x|x(x+2)=0.，x∈R}={0，-2}，N={x|x(x-2)=0，x∈R}={0,2}，所以M∪N={-2,0,2}.
答案 D
2.設f：x→|x|是集合A到集合B的映射，若A={-2,0,2}，則A∩B=( )
A.{0} B.{2}
C.{0,2} D.{-2,0}
解析 依題意，得B={0,2}，∴A∩B={0,2}.
答案 C
3.f(x)是定義在R上的奇函數，f(-3)=2，則下列各點在函數f(x)圖象上的是( )
A.(3，-2) B.(3,2)
C.(-3，-2) D.(2，-3)
解析 ∵f(x)是奇函數，∴f(-3)=-f(3).
又f(-3)=2，∴f(3)=-2，∴點(3，-2)在函數f(x)的圖象上.
答案 A
4.已知集合A={0,1,2}，則集合B={x-y|x∈A，y∈A}中元素的個數是( )
A.1 B.3
C.5 D.9
解析 逐個列舉可得.x=0，y=0,1,2時，x-y=0，-1，-2;x=1，y=0,1,2時，x-y=1,0，-1;x=2，y=0,1,2時，x-y=2,1,0.根據集合中元素的互異性可知集合B的元素為-2，-1,0,1,2.共5個.
答案 C
5.若函數f(x)滿足f(3x+2)=9x+8，則f(x)的解析式是( )
A.f(x)=9x+8
B.f(x)=3x+2
C.f(x)=-3x-4
D.f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4
解析 ∵f(3x+2)=9x+8=3(3x+2)+2，∴f(x)=3x+2.
答案 B
6.設f(x)=x+3 x>10，fx+5 x≤10，則f(5)的值為( )
A.16 B.18
C.21 D.24
解析 f(5)=f(5+5)=f(10)=f(15)=15+3=18.
答案 B
7.設T={(x，y)|ax+y-3=0}，S={(x，y)|x-y-b=0}，若S∩T={(2,1)}，則a，b的值為( )
A.a=1，b=-1 B.a=-1，b=1
C.a=1，b=1 D.a=-1，b=-1
解析 依題意可得方程組2a+1-3=0，2-1-b=0，⇒a=1，b=1.
答案 C
8.已知函數f(x)的定義域為(-1,0)，則函數f(2x+1)的定義域為( )
A.(-1,1) B.-1，-12
C.(-1,0) D.12，1
解析 由-1<2x+1<0，解得-1
答案 B
9.已知A={0,1}，B={-1,0,1}，f是從A到B映射的對應關系，則滿足f(0)>f(1)的映射有( )
A.3個 B.4個
C.5個 D.6個
解析 當f(0)=1時，f(1)的值為0或-1都能滿足f(0)>f(1);當f(0)=0時，只有f(1)=-1滿足f(0)>f(1);當f(0)=-1時，沒有f(1)的值滿足f(0)>f(1)，故有3個.
答案 A
10.定義在R上的偶函數f(x)滿足：對任意的x1，x2∈(-∞，0](x1≠x2)，有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0，則當n∈N*時，有( )
A.f(-n)
B.f(n-1)
C.f(n+1)
D.f(n+1)
解析 由題設知，f(x)在(-∞，0]上是增函數，又f(x)為偶函數，
∴f(x)在[0，+∞)上為減函數.
∴f(n+1)
又f(-n)=f(n)，
∴f(n+1)
答案 C
11.函數f(x)是定義在R上的奇函數，下列說法：
①f(0)=0; ②若f(x)在[0，+∞)上有最小值為-1，則f(x)在(-∞，0]上有最大值為1;③若f(x)在[1，+∞)上為增函數，則f(x)在(-∞，-1]上為減函數;④若x>0時，f(x)=x2-2x，則x<0時，f(x)=-x2-2x.其中正確說法的個數是( )
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
解析 ①f(0)=0正確;②也正確;③不正確，奇函數在對稱區間上具有相同的單調性;④正確.
答案 C
12.f(x)滿足對任意的實數a，b都有f(a+b)=f(a)•f(b)且f(1)=2，則f2f1+f4f3+f6f5+…+f2014f2013=( )
A.1006 B.2014
C.2012 D.1007
解析 因為對任意的實數a，b都有f(a+b)=f(a)•f(b)且f(1)=2，由f(2)=f(1)•f(1)，得f2f1=f(1)=2，
由f(4)=f(3)•f(1)，得f4f3=f(1)=2，
……
由f(2014)=f(2013)•f(1)，
得f2014f2013=f(1)=2，
∴f2f1+f4f3+f6f5+…+f2014f2013=1007×2=2014.
答案 B
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上)
13.函數y=x+1x的定義域為________.
解析 由x+1≥1，x≠0得函數的定義域為{x|x≥-1，且x≠0}.
答案 {x|x≥-1，且x≠0}
14.f(x)=x2+1 x≤0，-2x x>0，若f(x)=10，則x=________.
解析 當x≤0時，x2+1=10，∴x2=9，∴x=-3.
當x>0時，-2x=10，x=-5(不合題意，舍去).
∴x=-3.
答案 -3
15.若函數f(x)=(x+a)(bx+2a)(常數a，b∈R)是偶函數，且它的值域為(-∞，4]，則該函數的解析式f(x)=________.
解析 f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2為偶函數，則2a+ab=0，∴a=0，或b=-2.
又f(x)的值域為(-∞，4]，∴a≠0，b=-2，∴2a2=4.
∴f(x)=-2x2+4.
答案 -2x2+4
16.在一定范圍內，某種產品的購買量y噸與單價x元之間滿足一次函數關系，如果購買1000噸，每噸為800元，購買2000噸，每噸為700元，那么客戶購買400噸，單價應該是________元.
解析 設一次函數y=ax+b(a≠0)，把x=800，y=1000，
和x=700，y=2000，代入求得a=-10，b=9000.
∴y=-10x+9000，于是當y=400時，x=860.
答案 860
三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(本小題滿分10分)已知集合A={x|2≤x≤8}，B={x|1a}，U=R.
(1)求A∪B，(∁UA)∩B;
(2)若A∩C≠∅，求a的取值范圍.
解 (1)A∪B={x|2≤x≤8}∪{x|1
={x|1
∁UA={x|x<2，或x>8}.
∴(∁UA)∩B={x|1
(2)∵A∩C≠∅，∴a<8.
18.(本小題滿分12分)設函數f(x)=1+x21-x2.
(1)求f(x)的定義域;
(2)判斷f(x)的奇偶性;
(3)求證：f1x+f(x)=0.
解 (1)由解析式知，函數應滿足1-x2≠0，即x≠±1.
∴函數f(x)的定義域為{x∈R|x≠±1}.
(2)由(1)知定義域關于原點對稱，
f(-x)=1+-x21--x2=1+x21-x2=f(x).
∴f(x)為偶函數.
(3)證明：∵f1x=1+1x21-1x2=x2+1x2-1，
f(x)=1+x21-x2，
∴f1x+f(x)=x2+1x2-1+1+x21-x2
=x2+1x2-1-x2+1x2-1=0.
19.(本小題滿分12分)已知y=f(x)是定義在R上的偶函數，當x≥0時，f(x)=x2-2x.
(1)求當x<0時，f(x)的解析式;
(2)作出函數f(x)的圖象，并指出其單調區間.
解 (1)當x<0時，-x>0，
∴f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x.
又f(x)是定義在R上的偶函數，
∴f(-x)=f(x).
∴當x<0時，f(x)=x2+2x.
(2)由(1)知，f(x)=x2-2x x≥0，x2+2x x<0.
作出f(x)的圖象如圖所示：
由圖得函數f(x)的遞減區間是(-∞，-1]，[0,1].
f(x)的遞增區間是[-1,0]，[1，+∞).
20.(本小題滿分12分)已知函數f(x)=2x+1x+1，
(1)判斷函數在區間[1，+∞)上的單調性，并用定義證明你的結論.
(2)求該函數在區間[1,4]上的最大值與最小值.
解 (1)函數f(x)在[1，+∞)上是增函數.證明如下：
任取x1，x2∈[1，+∞)，且x1
f(x1)-f(x2)=2x1+1x1+1-2x2+1x2+1=x1-x2x1+1x2+1，
∵x1-x2<0，(x1+1)(x2+1)>0，
所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)
所以函數f(x)在[1，+∞)上是增函數.
(2)由(1)知函數f(x)在[1,4]上是增函數，最大值f(4)=95，最小值f(1)=32.
21.(本小題滿分12分)已知函數f(x)的定義域為(0，+∞)，且f(x)為增函數，f(x•y)=f(x)+f(y).
(1)求證：fxy=f(x)-f(y);
(2)若f(3)=1，且f(a)>f(a-1)+2，求a的取值范圍.
解 (1)證明：∵f(x)=fxy•y=fxy+f(y)，(y≠0)
∴fxy=f(x)-f(y).
(2)∵f(3)=1，∴f(9)=f(3•3)=f(3)+f(3)=2.
∴f(a)>f(a-1)+2=f(a-1)+f(9)=f[9(a-1)].
又f(x)在定義域(0，+∞)上為增函數，
∴a>0，a-1>0，a>9a-1，∴1
22.(本小題滿分12分)某商場經銷一批進價為每件30元的商品，在市場試銷中發現，此商品的銷售單價x(元)與日銷售量y(件)之間有如下表所示的關系：
x30404550
y6030150
(1)在所給的坐標圖紙中，根據表中提供的數據，描出實數對(x，y)的對應點，并確定y與x的一個函數關系式.
(2)設經營此商品的日銷售利潤為P元，根據上述關系，寫出P關于x的函數關系式，并指出銷售單價x為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤?
解 (1)由題表作出(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)的對應點，它們近似地分布在一條直線上，如圖所示.
設它們共線于直線y=kx+b，則50k+b=0，45k+b=15，⇒k=-3，b=150.
∴y=-3x+150(0≤x≤50，且x∈N*)，經檢驗(30,60)，(40,30)也在此直線上.
∴所求函數解析式為y=-3x+150(0≤x≤50，且x∈N*).
(2)依題意P=y(x-30)=(-3x+150)(x-30)=-3(x-40)2+300.
∴當x=40時，P有最大值300，故銷售單價為40元時，才能獲得最大日銷售利潤.
高一數學必修1函數及其表示的教案
重點難點教學：
1.正確理解映射的概念;
2.函數相等的兩個條件;
3.求函數的定義域和值域。
一.教學過程：
1. 使學生熟練掌握函數的概念和映射的定義;
2. 使學生能夠根據已知條件求出函數的定義域和值域; 3. 使學生掌握函數的三種表示方法。
二.教學內容： 1.函數的定義
設A、B是兩個非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數()fx和它對應，那么稱:fAB為從集合A到集合B的一個函數(function)，記作：
(),yfxxA
其中，x叫自變量，x的取值范圍A叫作定義域(domain)，與x的值對應的y值叫函數值，函數值的集合{()|}fxxA叫值域(range)。顯然，值域是集合B的子集。
注意：
① “y=f(x)”是函數符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”;
②函數符號“y=f(x)”中的f(x)表示與x對應的函數值，一個數，而不是f乘x. 2.構成函數的三要素 定義域、對應關系和值域。 3、映射的定義
設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應關系f,使對于集合A中的任意
一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f:A→B為從 集合A到集合B的一個映射。
4. 區間及寫法：
設a、b是兩個實數，且a
(1) 滿足不等式axb的實數x的集合叫做閉區間，表示為[a,b];
(2) 滿足不等式axb的實數x的集合叫做開區間，表示為(a,b);
5.函數的三種表示方法 ①解析法 ②列表法 ③圖像法
高一數學必修一函數的介紹
1. 函數的奇偶性
(1)若f(x)是偶函數，那么f(x)=f(-x) ;
(2)若f(x)是奇函數，0在其定義域內，則 f(0)=0(可用于求參數);
(3)判斷函數奇偶性可用定義的等價形式：f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);
(4)若所給函數的解析式較為復雜，應先化簡，再判斷其奇偶性;
(5)奇函數在對稱的單調區間內有相同的單調性;偶函數在對稱的單調區間內有相反的單調性;
2. 復合函數的有關問題
(1)復合函數定義域求法：若已知 的定義域為[a，b],其復合函數f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定義域為[a,b],求 f(x)的定義域，相當于x∈[a,b]時，求g(x)的值域(即 f(x)的定義域);研究函數的問題一定要注意定義域優先的原則。
(2)復合函數的單調性由“同增異減”判定;
3.函數圖像(或方程曲線的對稱性)
(1)證明函數圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在圖像上;
(2)證明圖像C1與C2的對稱性，即證明C1上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在C2上，反之亦然;
(3)曲線C1：f(x,y)=0,關于y=x+a(y=-x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
(4)曲線C1:f(x,y)=0關于點(a,b)的對稱曲線C2方程為：f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函數y=f(x)對x∈R時，f(a+x)=f(a-x)恒成立，則y=f(x)圖像關于直線x=a對稱;
(6)函數y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關于直線x= 對稱;
4.函數的周期性
(1)y=f(x)對x∈R時，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數;
(2)若y=f(x)是偶函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為2︱a︱的周期函數;
(3)若y=f(x)奇函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為4︱a︱的周期函數;
(4)若y=f(x)關于點(a,0),(b,0)對稱，則f(x)是周期為2 的周期函數;
(5)y=f(x)的圖象關于直線x=a,x=b(a≠b)對稱，則函數y=f(x)是周期為2 的周期函數;
(6)y=f(x)對x∈R時，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，則y=f(x)是周期為2 的周期函數;
5.方程k=f(x)有解 k∈D(D為f(x)的值域);
6.a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min;
7.(1) (a>0,a≠1,b>0,n∈R+); (2) l og a N= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1);
(3) l og a b的符號由口訣“同正異負”記憶; (4) a log a N= N ( a>0,a≠1,N>0 );
8. 判斷對應是否為映射時，抓住兩點：(1)A中元素必須都有象且唯一;(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;
9. 能熟練地用定義證明函數的單調性，求反函數，判斷函數的奇偶性。
10.對于反函數，應掌握以下一些結論：(1)定義域上的單調函數必有反函數;(2)奇函數的反函數也是奇函數;(3)定義域為非單元素集的偶函數不存在反函數;(4)周期函數不存在反函數;(5)互為反函數的兩個函數具有相同的單調性;(5) y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數，設f(x)的定義域為A，值域為B，則有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A).
11.處理二次函數的問題勿忘數形結合;二次函數在閉區間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向;二看對稱軸與所給區間的相對位置關系;
12. 依據單調性，利用一次函數在區間上的保號性可解決求一類參數的范圍問題
13. 恒成立問題的處理方法：(1)分離參數法;(2)轉化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解;
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