2017蘇教版九年級數學上期末考試題(2)

　　(3)已知點C是拋物線上一點，且△ABC的面積為6，求點C的坐標.

　　【考點】待定系數法求二次函數解析式;二次函數圖象上點的坐標特征;二次函數與不等式(組).

　　【分析】(1)利用待定系數法即可求得;

　　(2)判斷拋物線的開口，根據交點坐標即可求得;

　　(3)求得拋物線與x軸的交點M，則S△ABM=6，從而判定M出即為C1點，過M點作AB的平行線交拋物線于C2，根據平行線的性質判定此時三角形ABC2的面積=6，求得平行線與拋物線的交點，即為C點.

　　【解答】解：(1)∵拋物線y1=ax2+2x+c與直線y2=kx+b交于點A(﹣1，0)、B(2，3).

　　∴ ，

　　解得 ， ，

　　∴a=﹣1，b=1，c=3;

　　(2)∵a=﹣1<0，

　　∴拋物線的開口向下，

　　∴x<﹣1或x>2時，拋物線上的部分在直線的下方，

　　∴當y12.

　　故答案為 x<﹣1或x>2.

　　(3)∵a=﹣1，b=1，c=3;

　　∴拋物線為y1=﹣x2+2x+3，直線為y2=x+1.

　　∵令﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，

　　∴拋物線的另一個交點為M(3，0)，

　　∴AM=4，

　　∴S△ABM= AM×3=6，

　　∴C1點與M的重合，

　　過M點作AB的平行線交拋物線于C2，

　　此時三角形ABC2的面積=6，

　　設平行線的解析式為y=x+n，

　　∵平行線經過(3，0)，

　　∴平行線的解析式為y=x﹣3，

　　解 得 或 ，

　　∴C的坐標為(3，0)或(﹣2，﹣5).

　　【點評】本題考查了二次函數的綜合運用.關鍵是由已知條件求拋物線解析式和直線的解析式，根據拋物線與x軸的交點，判斷三角形的面積，利用平移的性質解題.

　　23.如圖，AD是△ABC的中線，tanB= ，cosC= ，AC= .求：

　　(1)BC的長;

　　(2)sin∠ADC的值.

　　【考點】解直角三角形.

　　【分析】(1)過點A作AE⊥BC于點E，根據cosC= ，求出∠C=45°，求出AE=CE=1，根據tanB= ，求出BE的長即可;

　　(2)根據AD是△ABC的中線，求出BD的長，得到DE的長，得到答案.

　　【解答】解：過點A作AE⊥BC于點E，

　　∵cosC= ，

　　∴∠C=45°，

　　在Rt△ACE中，CE=AC•cosC=1，

　　∴AE=CE=1，

　　在Rt△ABE中，tanB= ，即 = ，

　　∴BE=3AE=3，

　　∴BC=BE+CE=4;

　　(2)∵AD是△ABC的中線，

　　∴CD= BC=2，

　　∴DE=CD﹣CE=1，

　　∵AE⊥BC，DE=AE，

　　∴∠ADC=45°，

　　∴sin∠ADC= .

　　【點評】本題考查的是解直角三角形的知識，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵，注意銳角三角函數的概念的正確應用.

　　24.如圖，從一塊矩形薄板ABCD上裁下一個工件GEHCPD.圖中EF∥BC，GH∥AB，∠AEG=11°18′，∠PCF=33°42′，AG=2cm，FC=6cm.求工件GEHCPD的面積.(參考數據：tan11°18'≈ ，tan33°42′≈ )

　　【考點】解直角三角形的應用.

　　【專題】計算題.

　　【分析】工件GEHCPD的面積=矩形面積減去其余三個三角形的面積.其余三角形正好等于矩形面積的一半，只需求得矩形邊長即可.

　　【解答】解：∵∠AEG=11°18′，AG=2cm

　　∴AE=AG÷tan11°18'≈10

　　那么DF=10

　　∵FC=6cm，∠PCF=33°42′

　　∴PF=FC×tan33°42′≈4

　　那么CD=DF+FC=16，AD=EP+PF=6

　　∵△AGE和△DPF底相等，高加到一起是AD

　　所以是矩形AEFD的一半，同理可得到其余兩個三角形是下邊矩形的一半.

　　∴工件GEHCPD的面積=矩形面積÷2=6×16÷2=48.

　　【點評】解決本題的關鍵是根據題意得到所求面積與大矩形的關系.

　　25.某公司銷售一種新型節能產品，現準備從國內和國外兩種銷售方案中選擇一種進行銷售.若只在國內銷售，銷售價格y(元/件)與月銷量x(件)的函數關系式為y=﹣ x+150，成本為20元/件，無論銷售多少，每月還需支出廣告費62500元，設月利潤為w內(元).若只在國外銷售，銷售價格為150元/件，受各種不確定因素影響，成本為a元/件(a為常數，10≤a≤40)，當月銷量為x(件)時，每月還需繳納 x2元的附加費，設月利潤為w外(元).

　　(1)當x=1000時，y=　140　元/件;

　　(2)分別求出w內，w外與x間的函數關系式(不必寫x的取值范圍)，并求當x為何值時，在國內銷售的月利潤為360000元?

　　(3)如果某月要求將5000件產品全部銷售完，請你通過分析幫公司決策，選擇在國內還是在國外銷售才能使所獲月利潤較大?

　　【考點】二次函數的應用.

　　【分析】(1)將x的值代入y關于x的解析式即可解題;

　　(2)根據利潤等于銷售利潤去掉附加費即可求得w內、w外的值，再根據月利潤為360000元即可求得x的值，即可解題;

　　(3)根據x=5000，即可求得w內的值和w外關于a的一次函數式，即可解題.

　　【解答】解：(1)將x=1000代入y=﹣ x+150得：

　　y=140，

　　故答案為 140;

　　(2)w內=x(y﹣20)﹣62500=﹣ x2+130x﹣62500，

　　w外=﹣ x2+(150﹣a)x;

　　當﹣ x2+130x﹣62500=360000時，

　　解得：x=6500，

　　故當x為6500時，在國內銷售的月利潤為360000元;

　　(3)當x=5000時，w內=337500，

　　w外=﹣5000a+500000，

　　若w內

　　若w內=w外，則a=32.5;

　　若w內>w外，則a>32.5，

　　所以，當10≤a<32.5時，選擇在國外銷售;

　　當a=32.5時，在國外和國內銷售都一樣;

　　當32.5

　　【點評】本題考查了二次函數在實際生活中的應用，考查了一次函數的應用，本題中正確求得函數解析式是解題的關鍵.

　　26.如圖，AC是⊙O的直徑，OB是⊙O的半徑，PA切⊙O于點A，PB與AC的延長線交于點M，∠COB=∠APB.

　　(1)求證：PB是⊙O的切線;

　　(2)當OB=3，PA=6時，求MB，MC的長.

　　【考點】切線的判定與性質.

　　【專題】證明題.

　　【分析】(1)根據切線的性質，可得∠MAP=90°，根據直角三角形的性質，可得∠P+M=90°，根據余角的性質，可得∠M+∠MOB=90°，根據直角三角形的判定，可得∠MOB=90°，根據切線的判定，可得答案;

　　(2)根據相似三角形的判定與性質，可得 = = ，根據解方程組，可得答案.

　　【解答】(1)證明：∵PA切⊙O于點A，

　　∴∠MAP=90°，

　　∴∠P+M=90°.

　　∵∠COB=∠APB，

　　∴∠M+∠MOB=90°，

　　∴∠MBO=90°，即OB⊥PB，

　　∵PB經過直徑的外端點，

　　∴PB是⊙O的切線;

　　(2)∵∠COB=∠APB，∠OBM=∠PAM，

　　∴△OBM∽△APM，

　　∴ = = ，

　　= ①，

　　= ②

　　聯立①②得 ，

　　解得 ，

　　當OB=3，PA=6時，MB=4，MC=2.

　　【點評】本題考查了切線的判定與性質，(1)利用了切線的判定與性質，直角三角形的判定與性質，余角的性質;(2)利用了相似三角形的判定與性質，解方程組.

　　27.如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=9，AB=12，BC=15.動點P從點B出發，沿BD向點D勻速運動;線段EF從DC出發，沿DA向點A勻速運動，且與BD交于點Q，連接PE、PF.若P、Q兩點同時出發，速度均為1個單位∕秒，當P、Q兩點相遇時，整個運動停止.設運動時間為t(s).

　　(1)當PE∥AB時，求t的值;

　　(2)設△PEF的面積為S，求S關于t的函數關系式;

　　(3)如圖2，當△PEF的外接圓圓心O恰好在EF的中點時，求t的值.

　　【考點】圓的綜合題.

　　【分析】(1)由勾股定理求出BD，當PE∥AB時，∠PEA=∠DEP=90°，作PK⊥AB于K，則PK=AE，PK∥AD，則 ，得出AE=PK= t，由AD=AE+ED= +t=9，解方程即可;

　　(2)過點P作BC的平行線，交EF于G，由BD=15=BC，得出∠BCD=∠BDC，由平行線的性質得出證出∠DEQ=∠EQD，得出DQ=DE=t，同理：PG=PQ=15﹣2t，得出S= PG•AB，即可得出結果;

　　(3)過點P作BC的垂線，交AD于M，交BC于N，則∠PME=∠FNP=90°，若△PEF的外接圓圓心O恰好在EF的中點，則EF為直徑，由圓周角定理得出∠EPF=90°，證出∠PEM=∠FPN，得出△EMP∽△PNF，得出對應邊成比例 = ，即可求出t的值.

　　【解答】解：(1)∵∠A=90°

　　∴BD= = =15，

　　當PE∥AB時，∠PEA=∠DEP=90°，

　　作PK⊥AB于K，如圖1所示：

　　則PK=AE，PK∥AD，

　　則 ，即 ，

　　∴AE=PK= t，

　　∴AD=AE+ED= +t=9，

　　解得：t= ;

　　(2)過點P作BC的平行線，交EF于G，如圖2所示：

　　∵BD=15=BC，

　　∴∠BCD=∠BDC，

　　∵AD∥BC，EF∥DC，

　　∴∠∠DEQ=∠BCD，∠EQD=∠BDC，

　　∴∠DEQ=∠EQD，

　　∴DQ=DE=t，

　　同理：PG=PQ=15﹣2t，

　　∴S= PG•AB= ×12(15﹣2t)=90﹣12t

　　(3)過點P作BC的垂線，交AD于M，交BC于N，如圖3所示：

　　則∠PME=∠FNP=90°，

　　∴∠MPE+∠PEM=90°，

　　若△PEF的外接圓圓心O恰好在EF的中點，

　　∴EF為直徑，

　　∴∠EPF=90°，

　　∴∠MPE+∠FPN=90°，

　　∴∠PEM=∠FPN，

　　∴△EMP∽△PNF，

　　∴ = ，即 ，

　　解得：t= 或 ，

　　∵2t≤15，

　　∴t≤ ，

　　∴t= .

　　【點評】本題是圓的綜合題目，考查了直角梯形的性質、相似三角形的判定與性質、圓周角定理、等腰三角形的判定與性質、平行線的性質等知識;本題綜合性強，有一定難度，特別是(3)中，需要通過作輔助線證明三角形相似和運用圓周角定理才能得出結果.

　　28.邊長為2的正方形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點D是邊OA的中點，連接CD，點E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC.以直線AB為對稱軸的拋物線過C，E兩點.

　　(1)求拋物線的解析式;

　　(2)點P從點C出發，沿射線CB每秒1個單位長度的速度運動，運動時間為t秒.過點P作PF⊥CD于點F，當t為何值時，以點P，F，D為頂點的三角形與△COD相似?

　　(3)點M為直線AB上一動點，點N為拋物線上一動點，是否存在點M，N，使得以點M，N，D，E為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，請直接寫出滿足條件的點的坐標;若不存在，請說明理由.

　　【考點】二次函數綜合題.

　　【專題】壓軸題.

　　【分析】(1)根據正方形的性質，可得OA=OC，∠AOC=∠DGE，根據余角的性質，可得∠OCD=∠GDE，根據全等三角形的判定與性質，可得EG=OD=1，DG=OC=2，根據待定系數法，可得函數解析式;

　　(2)分類討論：若△DFP∽△COD，根據相似三角形的性質，可得∠PDF=∠DCO，根據平行線的判定與性質，可得∠PDO=∠OCP=∠AOC=90，根據矩形的判定與性質，可得PC的長;若△PFD∽△COD，根據相似三角形的性質，可得∠DPF=∠DCO， = ，根據等腰三角形的判定與性質，可得DF于CD的關系，根據相似三角形的相似比，可得PC的長;

　　(3)分類討論：▱MDNE，▱MNDE，▱NDME，根據一組對邊平行且相等的四邊形式平行四邊，可得答案..

　　【解答】解：(1)過點E作EG⊥x軸于G點.

　　∵四邊形OABC是邊長為2的正方形，D是OA的中點，

　　∴OA=OC=2，OD=1，∠AOC=∠DGE=90°.

　　∵∠CDE=90°，

　　∴∠ODC+∠GDE=90°.

　　∵∠ODC+∠OCD=90°，

　　∴∠OCD=∠GDE.

　　在△OCD和△GED中 ，

　　∴△ODC≌△GED (AAS)，

　　∴EG=OD=1，DG=OC=2.

　　∴點E的坐標為(3，1).

　　∵拋物線的對稱軸為直線AB即直線x=2，

　　∴可設拋物線的解析式為y=a(x﹣2)2+k，

　　將C、E點的坐標代入解析式，得

　　.

　　解得 ，

　　拋物線的解析式為y= (x﹣2)2+ ;

　　(2)①若△DFP∽△COD，則∠PDF=∠DCO，

　　∴PD∥OC，

　　∴∠PDO=∠OCP=∠AOC=90°，

　　∴四邊形PDOC是矩形，

　　∴PC=OD=1，

　　∴t=1;

　?、谌簟鱌FD∽△COD，則∠DPF=∠DCO， = .

　　∴∠PCF=90°﹣∠DCO=90﹣∠DPF=∠PDF.

　　∴PC=PD，

　　∴DF= CD.

　　∵CD2=OD2+OC2=22+12=5，

　　∴CD= ，

　　∴DF= .

　　∵ = ，

　　∴PC=PD= × = ，

　　t= ，

　　綜上所述：t=1或t= 時，以點P，F，D為頂點的三角形與△COD相似;

　　(3)存在，

　　四邊形MDEN是平行四邊形時，M1(2，1)，N1(4，2);

　　四邊形MNDE是平行四邊形時，M2(2，3)，N2(0，2);

　　四邊形NDME是平行四邊形時，M3(2， )，N3(2， ).

　　【點評】本題考察了二次函數綜合題，(1)利用了正方形的性質，余角的性質，全等三角形的判定與性質，待定系數法求函數解析式;(2)利用了相似三角形的性質，矩形的判定，分類討論時解題關鍵;(3)利用了平行四邊形的判定，分類討論時解題關鍵.

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