高考文科數學一模試卷及答案(2)
高考文科數學一模試卷解答題
解答應寫出文字說明.證明過程或演算步驟
17.(12分)(2013•天心區校級二模)已知△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c， ，且c=3.
(1)求角C;
(2)若向量 與 共線，求a、b的值.
【考點】： 余弦定理;三角函數的恒等變換及化簡求值;正弦定理.
【專題】： 計算題.
【分析】： (1)利用二倍角公式及輔助角公式對已知化簡可得sin(2C﹣30°)=1，結合C的范圍可求C
(2)由(1)C，可得A+B，結合向量共線的坐標表示可得sinB﹣2sinA=0，利用兩角差的正弦公式化簡可求
【解析】： 解：(1)∵ ，
∴
∴sin(2C﹣30°)=1
∵0°
∴C=60°
(2)由(1)可得A+B=120°
∵ 與 共線，
∴sinB﹣2sinA=0
∴sin(120°﹣A)=2sinA
整理可得， 即tanA=
∴A=30°，B=90°
∵c=3.
∴a= ，b=2
【點評】： 本題主要考查了二倍角公式、輔助角公式及兩角和的正弦公式、銳角三角函數的綜合應用
18.(12分)如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD= AB=2，點E為AC中點.將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D﹣ABC，如圖2所示.
(1)在CD上找一點F，使AD∥平面EFB;
(2)求點C到平面ABD的距離.
【考點】： 點、線、面間的距離計算;直線與平面平行的判定.
【專題】： 空間位置關系與距離.
【分析】： (1)取CD的中點F，連結EF，BF，在△ACD中，可證AD∥EF，又EF⊆平面EFB AD⊄平面EFB，可證AD∥平面EFB.
(2)設點C到平面ABD的距離為h，由于可證AD⊥BD，可得 ，又三棱錐B﹣ACD的高BC=2 ，S△ACD=2，由 = 即可解得點C到平面ABD的距離.
【解析】： (1)取CD的中點F，連結EF，BF，
在△ACD中，∵E，F分別為AC，DC的中點，
∴EF為△ACD的中位線
∴AD∥EF，
EF⊆平面EFB，AD⊄平面EFB
∴AD∥平面EFB.
(2)設點C到平面ABD的距離為h，
∵平面ADC⊥平面ABC，且BC⊥AC，
∴BC⊥平面ADC，
∴BC⊥AD，而AD⊥DC•
∴AD⊥平面BCD，即AD⊥BD•
∴ •
∴三棱錐B﹣ACD的高BC=2 ，S△ACD=2，
∴ =
∴可解得：h=2.
【點評】： 本題主要考查了直線與平面平行的判定，考查了點、線、面間的距離計算，考查了空間想象能力和轉化思想，屬于中檔題.
19.(12分)(2010•鯉城區校級二模)某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數多少之間的關系，他們分別到氣象局與某醫院抄錄了1至6月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數，得到如下資料：
日期 1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日
晝夜溫差x(℃) 10 11 13 12 8 6
就診人數y(人) 22 25 29 26 16 12
該興趣小組確定的研究方案是：先從這六組數據中選取2組，用剩下的4組數據求線性回歸方程，再用被選取的2組數據進行檢驗.
(Ⅰ)求選取的2組數據恰好是相鄰兩個月的概率;
(Ⅱ)若選取的是1月與6月的兩組數據，請根據2至5月份的數據，求出y關于x的線性回歸方程y=bx+a;
(Ⅲ)若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2人，則認為得到的線性回歸方程是理想的，試問該小組所得線性回歸方程是否理想?
【考點】： 回歸分析的初步應用;等可能事件的概率.
【專題】： 計算題;方案型.
【分析】： (Ⅰ)本題是一個古典概型，試驗發生包含的事件是從6組數據中選取2組數據共有C62種情況，滿足條件的事件是抽到相鄰兩個月的數據的情況有5種，根據古典概型的概率公式得到結果.
(Ⅱ)根據所給的數據，求出x，y的平均數，根據求線性回歸方程系數的方法，求出系數b，把b和x，y的平均數，代入求a的公式，做出a的值，寫出線性回歸方程.
(Ⅲ)根據所求的線性回歸方程，預報當自變量為10和6時的y的值，把預報的值同原來表中所給的10和6對應的值做差，差的絕對值不超過2，得到線性回歸方程理想.
【解析】： 解：(Ⅰ)由題意知本題是一個古典概型，
設抽到相鄰兩個月的數據為事件A
試驗發生包含的事件是從6組數據中選取2組數據共有C62=15種情況，
每種情況都是等可能出現的其中，
滿足條件的事件是抽到相鄰兩個月的數據的情況有5種
∴
(Ⅱ)由數據求得 ，
由公式求得b=
再由 求得a=﹣
∴y關于x的線性回歸方程為
(Ⅲ)當x=10時，y= ，| |= <2
∴該小組所得線性回歸方程是理想的.
【點評】： 本題考查線性回歸方程的求法，考查等可能事件的概率，考查線性分析的應用，考查解決實際問題的能力，是一個綜合題目，這種題目可以作為解答題出現在高考卷中.
20.(12分)(2015•邢臺模擬)已知A(﹣2，0)，B(2，0)為橢圓C的左、右頂點，F為其右焦點，P是橢圓C上異于A，B的動點，△APB面積的最大值為2 .
(I)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)若直線AP的傾斜角為 ，且與橢圓在點B處的切線交于點D，試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關系，并加以證明.
【考點】： 直線與圓錐曲線的綜合問題.
【專題】： 圓錐曲線中的最值與范圍問題.
【分析】： (Ⅰ)由題意可設橢圓C的方程為 (a>b>0)，F(c，0).由題意知 ，解得即可得出.
(II)以BD為直徑的圓與直線PF相切.由題意可知，c=1，F(1，0)，直線AP的方程為y=﹣x﹣2.則點D坐標為(2，﹣4)，BD中點E的坐標為(2，﹣2)，圓的半徑r=2.直線AP的方程與橢圓的方程聯立可得7x2+16x+4=0.可得點P的坐標.可得直線PF的方程為：4x﹣3y﹣4=0.利用點到直線的距離公式可得點E到直線PF的距離d.只要證明d=r.
【解析】： 解：(Ⅰ)由題意可設橢圓C的方程為 (a>b>0)，F(c，0).
由題意知 ，解得 .
故橢圓C的方程為 .
(Ⅱ)以BD為直徑的圓與直線PF相切.
證明如下：由題意可知，c=1，F(1，0)，直線AP的方程為y=﹣x﹣2.
則點D坐標為(2，﹣4)，BD中點E的坐標為(2，﹣2)，圓的半徑r=2.
由 得7x2+16x+4=0.
設點P的坐標為(x0，y0)，則 .
∵點F坐標為(1，0)，直線PF的斜率為 ，直線PF的方程為：4x﹣3y﹣4=0.
點E到直線PF的距離d= =2.
∴d=r.
故以BD為直徑的圓與直線PF相切.
【點評】： 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立可得交點坐標、直線與圓相切的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題.
21.(12分)(2012•武漢模擬)設a∈R，函數f(x)=lnx﹣ax.
(Ⅰ)討論函數f(x)的單調區間和極值;
(Ⅱ)已知x1= (e為自然對數的底數)和x2是函數f(x)的兩個不同的零點，求a的值并證明：x2> .
【考點】： 利用導數研究函數的單調性;利用導數研究函數的極值.
【專題】： 計算題.
【分析】： (I)先求函數f(x)的導函數f′(x)，并確定函數的定義域，再解不等式f′(x)>0，f′(x)<0，即可分別求得函數f(x)的單調增區間和單調減區間，進而利用極值定義求得函數的極值，由于導函數中含有參數a，故為解不等式的需要，需討論a的正負;
(II)將x1= 代入函數f(x)，即可得a的值，再利用(I)中的單調性和函數的零點存在性定理，證明函數的另一個零點x2是在區間( ， )上，即可證明結論
【解析】： 解：(Ⅰ)函數f(x)的定義域為(0，+∞).
求導數，得f′(x)= ﹣a= .
①若a≤0，則f′(x)>0，f(x)是(0，+∞)上的增函數，無極值;
②若a>0，令f′(x)=0，得x= .
當x∈(0， )時，f′(x)>0，f(x)是增函數;
當x∈( ，+∞)時，f′(x)<0，f(x)是減函數.
∴當x= 時，f(x)有極大值，極大值為f( )=ln ﹣1=﹣lna﹣1.
綜上所述，當a≤0時，f(x)的遞增區間為(0，+∞)，無極值;當a>0時，f(x)的遞增區間為(0， )，遞減區間為( ，+∞)，極大值為﹣lna﹣1
(Ⅱ)∵x1= 是函數f(x)的零點，
∴f ( )=0，即 ﹣a =0，解得a= = .
∴f(x)=lnx﹣ x.
∵f( )= ﹣ >0，f( )= ﹣ <0，∴f( )•f( )<0.
由(Ⅰ)知，函數f(x)在(2 ，+∞)上單調遞減，
∴函數f(x)在區間( ， )上有唯一零點，
因此x2> .
【點評】： 本題主要考查了導數在函數單調性和函數極值中的應用，連續函數的零點存在性定理及其應用，分類討論的思想方法，屬中檔題
三.請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，并用2B鉛筆將答題卡上所選題目對應的題號方框涂黑，按所涂題號進行評分;多涂、多答，按所涂的首題進行評分;不涂，按本選考題的首題進行評分.[選修4-1：幾何證明選講]
22.(10分)(2014•葫蘆島二模)如圖，圓O的直徑AB=10，P是AB延長線上一點，BP=2，割線PCD交圓O于點C，D，過點P做AP的垂線，交直線AC于點E，交直線AD于點F.
(1)求證：∠PEC=∠PDF;
(2)求PE•PF的值.
【考點】： 與圓有關的比例線段.
【專題】： 選作題;立體幾何.
【分析】： (1)證明P、B、C、E四點共圓、A、B、C、D四點共圓，利用四點共圓的性質，即可證明：∠PEC=∠PDF;
(2)證明D，C，E，F四點共圓，利用割線定理，即可求得PE•PF的值.
【解析】： (1)證明：連結BC，∵AB是圓O的直徑，∴∠ACB=∠APE=90°，
∴P、B、C、E四點共圓.
∴∠PEC=∠CBA.
又∵A、B、C、D四點共圓，∴∠CBA=∠PDF，
∴∠PEC=∠PDF﹣﹣﹣﹣(5分)
(2)解：∵∠PEC=∠PDF，∴F、E、C、D四點共圓.
∴PE•PF=PC•PD=PA•PB=2×12=24.﹣﹣﹣﹣(10分)
【點評】： 本題考查圓的性質，考查四點共圓的判定，考查割線的性質，屬于中檔題.
[選修4-4：坐標系與參數方程]
23.(2012•洛陽模擬)已知直線l： (t為參數)，曲線C1： (θ為參數).
(Ⅰ)設l與C1相交于A，B兩點，求|AB|;
(Ⅱ)若把曲線C1上各點的橫坐標壓縮為原來的 倍，縱坐標壓縮為原來的 倍，得到曲線C2，設點P是曲線C2上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值.
【考點】： 圓的參數方程;函數的圖象與圖象變化;直線與圓相交的性質;直線的參數方程.
【專題】： 計算題.
【分析】： (I)將直線l中的x與y代入到直線C1中，即可得到交點坐標，然后利用兩點間的距離公式即可求出|AB|.
(II)將直線的參數方程化為普通方程，曲線C2任意點P的坐標，利用點到直線的距離公式P到直線的距離d，分子合并后利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，與分母約分化簡后，根據正弦函數的值域可得正弦函數的最小值，進而得到距離d的最小值即可.
【解析】： 解：(I)l的普通方程為y= (x﹣1)，C1的普通方程為x2+y2=1，
聯立方程組 ，解得交點坐標為A(1，0)，B( ，﹣ )
所以|AB|= =1;
(II)曲線C2： (θ為參數).
設所求的點為P( cosθ， sinθ)，
則P到直線l的距離d= = [ sin( )+2]
當sin( )=﹣1時，d取得最小值 .
【點評】： 此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有直線與圓的參數方程與普通方程的互化，點到直線的距離公式，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，以及特殊角的三角函數值，根據曲線C2的參數方程設出所求P的坐標，根據點到直線的距離公式表示出d，進而利用三角函數來解決問題是解本題的思路.
[選修4-5;不等式選講]
24.(2012•包頭一模)選修4﹣5;不等式選講.
設不等式|2x﹣1|<1的解集是M，a，b∈M.
(I)試比較ab+1與a+b的大小;
(II)設max表示數集A的最大數.h=max ，求證：h≥2.
【考點】： 平均值不等式;不等式比較大小;絕對值不等式的解法.
【專題】： 壓軸題;不等式的解法及應用.
【分析】： (I)解絕對值不等式求出M=( 0，1)，可得 0
(II)由題意可得 h≥ ，h≥ ，h≥ ，可得 h3≥ = ≥8，從而證得 h≥2.
【解析】： 解：(I)由不等式|2x﹣1|<1 可得﹣1<2x﹣1<1，解得 0
由 a，b∈M，可得 0
∴(ab+1)﹣(a+b)=(a﹣1)(b﹣1)>0，
∴(ab+1)>(a+b).
(II)設max表示數集A的最大數，∵h=max ，
∴h≥ ，h≥ ，h≥ ，
∴h3≥ = ≥8，故 h≥2.
【點評】： 本題主要考查絕對值不等式的解法，不等式的性質以及基本不等式的應用，屬于中檔題.
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