高考數學易錯題要點分析

　　高中數學中有許多題目，求解的思路不難，但解題時，對某些特殊情形的討論，卻很容易被忽略。也就是在轉化過程中，沒有注意轉化的等價性，會經常出現錯誤。本文通過幾個例子，剖析致錯原因，希望能對同學們的學習有所幫助。加強思維的嚴密性訓練。快和小編一起來看看高考數學易錯題的最新解讀吧!

　　要點1：利用導數研究曲線的切線

　　1.導數的幾何意義：函數在處的導數的幾何意義是：曲線在點處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數對時間的導數)。

　　2.求曲線切線方程的步驟：(1)求出函數在點的導數，即曲線在點處切線的斜率;(2)在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為。注：①當曲線在點處的切線平行于軸(此時導數不存在)時，由切線定義可知，切線方程為;②當切點坐標未知時，應首先設出切點坐標，再求解。

　　要點2：利用導數研究導數的單調性 利用導數研究函數單調性的一般步驟。

　　(1)確定函數的定義域;(2)求導數;(3)①若求單調區間(或證明單調性)，只需在函數的定義域內解(或證明)不等式>0或<0。②若已知的單調性，則轉化為不等式≥0或≤0在單調區間上恒成立問題求解。

　　要點3：利用導數研究函數的極值與最值

　　1.在求可導函數的極值時，應注意：(以下將導函數取值為0的點稱為函數的駐點可導函數的極值點一定是它的駐點，注意一定要是可導函數。例如函數在點處有極小值=0，可是這里的根本不存在，所以點不是的駐點.

　　(1)可導函數的駐點可能是它的極值點，也可能不是極值點。例如函數的導數，在點處有，即點是的駐點，但從在上為增函數可知，點不是的極值點.

　　(2) 求一個可導函數的極值時，常常把駐點附近的函數值的討論情況列成表格，這樣可使函數在各單調區間的增減情況一目了然.

　　(3) 在求實際問題中的最大值和最小值時，一般是先找出自變量、因變量，建立函數關系式，并確定其定義域.如果定義域是一個開區間，函數在定義域內可導(其實只要是初等函數，它在自己的定義域內必然可導)，并且按常理分析，此函數在這一開區間內應該有最大(小)值(如果定義域是閉區間，那么只要函數在此閉區間上連續，它就一定有最大(小).記住這個定理很有好處)，然后通過對函數求導，發現定義域內只有一個駐點，那么立即可以斷定在這個駐點處的函數值就是最大(小)值。知道這一點是非常重要的，因為它在應用一般情況下選那個不帶常數的。

　　3.利用定積分來求面積時，特別是位于軸兩側的圖形的面積的計算，分兩部分進行計算，然后求兩部分的代數和.

　　命題角度 1導數的概念與運算

　　1.設，,…, ,n∈N,則 ( )

　　A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx

　　[考場錯解] 選C

　　[專家把脈] 由=,,f3(x) =(-sinx)’=-cosx, ，，故周期為4。

　　[對癥下藥] 選A

　　2.已知函數在x=1處的導數為3，的解析式可能為 ( )

　　A.=(x-1)3+32(x-1) B.=2x+1 C.=2(x-1)2 D.=-x+3

　　[考場錯解] 選B ∵f(x)=2x+1,∴f’(x)=(2x+1)’=2x+1|x=1=3.

　　[專家把脈] 上面解答錯誤原因是導數公式不熟悉，認為(2x+1)’=2x+1.正確的是(2x+1)’=2,所以x=1時的導數是2，不是3。

　　=2e-xcosx令f’(x)=0,x=nπ+(n=1，2，3，…)從而xn=nπ+。f(xn)=e-( nπ+)(-1)n·=-e.

　　∴數列{f(xn)}是公比為q=-e-π的等比數列。

　　[專家把脈] 上面解答求導過程中出現了錯誤，即(e-x)’=e-x是錯誤的，由復合函數的求導法則知(e-x)’=e-x(-x)’=-e-x才是正確的。

　　[對診下藥](1)證明：f’(x)=(e-x)’(cos+sinx)+e-x(cosx+sinx)’ =-e-x(cosx+sinx) +e-x(-sinx+cos)

　　=-2e-xsinx. 令f’(x)=0得-2e-xsinx=0，解出x=nπ,(n為整數，從而xn=nπ(n=1,2,3,…)，

　　f(xn)=(-1)ne-nπ,所以數列|f(xn)|是公比q=-e-π的等比數列，且首項f(x1)=-e-π

　　(2)Sn=x1f(x1)+x2f(x2)+…+xnf(xn)=nq(1+2q+…+nqn-1)

　　aSn=πq(q+2q2+…+nqn)=πq(-nqn)從而Sn=(-nqn)

　　∵|q|=e-π<1 ∴qn=0,∴

　　專家會診1.理解導數的概念時應注意導數定義的另一種形式：設函數f(x)在x=a處可導，則的運用。2.復合函數的求導，關鍵是搞清復合關系，求導應從外層到內層進行，注意不要遺漏3.求導數時，先化簡再求導是運算的基本方法，一般地，分式函數求導，先看是否化為整式函數或較簡單的分式函數;對數函數求導先化為和或差形式;多項式的積的求導，先展開再求導等等。

　　命題角度 2導數幾何意義的運用

　　1.曲線y=x3在點(1,1)的切線與x軸、直線x=2所圍成的三角形面積為_________.

　　[考場錯解] 填2 由曲線y=x3在點(1，1)的切線斜率為1，∴切線方程為y-1==x-1,y=x.所以三條直線y=x,x=0,x=2所圍成的三角形面積為S=×2×2=2。

　　[專家把脈] 根據導數的幾何意義，曲線在某點處的切線斜率等于函數在這點處的導數，上面的解答顯然是不知道這點，無故得出切線的斜率為1顯然是錯誤的。

　　[對癥下藥] 填。∵=3x2 當x=1時f’(1)=3.由導數的幾何意義知，曲線在點(1，1)處的斜率為3。即切線方程為y-1=3(x-1) 得y=3x-2.聯立得交點(2，4)。又y=3x-2與x軸交于(，0)。∴三條直線所圍成的面積為S=×4×(2-)=。

　　2.設t≠0,點P(t,0)是函數=x3+ax與g(x)=bx3+c的圖像的一個公共點，兩函數的圖像在P點處有相同的切線。(1)用t表示a、b、c;(2)若函數y=f(x)-g(x)在(-1，3)上單調遞減，求t的取值范圍。

　　[考場錯解] (1)∵函數=x3+ax與g(x)=bx2+c的圖像的一個公共點P(t,0).∴f(t)=g(t)t3+at=bt2+c. ①又兩函數的圖像在點P處有相同的切線，∴f’(t)=g’(t) 3t3+a=2bt. ②由①得b=t,代入②得a=-t2.∴c=-t3.

　　[專家把脈] 上面解答中得b=t理由不充足，事實上只由①、②兩式是不可用t表示a、b、c，其實錯解在使用兩函數有公共點P，只是利用f(t)=g(t)是不準確的，準確的結論應是f(t)=0，即t3+at=0，因為t≠0,所以a=-t2.g(t)=0即bt2+c=0,所以c=ab又因為f(x)、g(x)在(t,0)處有相同的切線，

　　所以f’(t)=g;(t).即3t2+a=2bt, ∵a=-t2, ∴b=t.因此c=ab=-t2·t=-t3.故a=-t2,b=t,c=-t3

　　(2)解法1 y=-g(x)=x3-t2x-tx2+t3 y’=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t).

　　當y’=(3x+t)(x-t)<0時,函數y=f(d)-g(x)單調遞減。 由y’<0,若t<0,則t

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