高三數學題_數列和不等式數學題
高考數學要提高分數就離不開做題，而做題的核心首先得選題，選題是提高成績的第一步，也是非常關鍵的一步，今天小編在這給大家整理了高三數學題，接下來隨著小編一起來看看吧!
高三數學題
基本不等式
1.若xy>0，則對xy+yx說法正確的是()
A.有值-2B.有最小值2
C.無值和最小值D.無法確定
答案：B
2.設x，y滿足x+y=40且x，y都是正整數，則xy的值是()
A.400B.100
C.40D.20
答案：A
3.已知x≥2，則當x=____時，x+4x有最小值____.
答案：24
4.已知f(x)=12x+4x.
(1)當x>0時，求f(x)的最小值;
(2)當x<0時，求f(x)的值.
解：(1)∵x>0，∴12x，4x>0.
∴12x+4x≥212x?4x=83.
當且僅當12x=4x，即x=3時取最小值83，
∴當x>0時，f(x)的最小值為83.
(2)∵x<0，∴-x>0.
則-f(x)=12-x+(-4x)≥212-x?(-4x)=83，
當且僅當12-x=-4x時，即x=-3時取等號.
∴當x<0時，f(x)的值為-83.
一、選擇題
1.下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()
A.x+12xB.x2-1+1x2-1
C.2x+2-xD.x(1-x)
答案：C
2.函數y=3x2+6x2+1的最小值是()
A.32-3B.-3
C.62D.62-3
解析：選D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)≥3(22-1)=62-3.
3.已知m、n∈R，mn=100，則m2+n2的最小值是()
A.200B.100
C.50D.20
解析：選A.m2+n2≥2mn=200，當且僅當m=n時等號成立.
4.給出下面四個推導過程：
①∵a，b∈(0，+∞)，∴ba+ab≥2ba?ab=2;
②∵x，y∈(0，+∞)，∴lgx+lgy≥2lgx?lgy;
③∵a∈R，a≠0，∴4a+a≥24a?a=4;
④∵x，y∈R，，xy<0，∴xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]≤-2(-xy)(-yx)=-2.
其中正確的推導過程為()
A.①②B.②③
C.③④D.①④
解析：選D.從基本不等式成立的條件考慮.
①∵a，b∈(0，+∞)，∴ba，ab∈(0，+∞)，符合基本不等式的條件，故①的推導過程正確;
②雖然x，y∈(0，+∞)，但當x∈(0,1)時，lgx是負數，y∈(0,1)時，lgy是負數，∴②的推導過程是錯誤的;
③∵a∈R，不符合基本不等式的條件，
∴4a+a≥24a?a=4是錯誤的;
④由xy<0得xy，yx均為負數，但在推導過程中將全體xy+yx提出負號后，(-xy)均變為正數，符合基本不等式的條件，故④正確.
5.已知a>0，b>0，則1a+1b+2ab的最小值是()
A.2B.22
C.4D.5
解析：選C.∵1a+1b+2ab≥2ab+2ab≥22×2=4.當且僅當a=bab=1時，等號成立，即a=b=1時，不等式取得最小值4.
6.已知x、y均為正數，xy=8x+2y，則xy有()
A.值64B.值164
C.最小值64D.最小值164
解析：選C.∵x、y均為正數，
∴xy=8x+2y≥28x?2y=8xy，
當且僅當8x=2y時等號成立.
∴xy≥64.
二、填空題
7.函數y=x+1x+1(x≥0)的最小值為________.
答案：1
8.若x>0，y>0，且x+4y=1，則xy有最________值，其值為________.
解析：1=x+4y≥2x?4y=4xy，∴xy≤116.
答案：大116
9.(2010年高考山東卷)已知x，y∈R+，且滿足x3+y4=1，則xy的值為________.
解析：∵x>0，y>0且1=x3+y4≥2xy12，∴xy≤3.
當且僅當x3=y4時取等號.
答案：3
三、解答題
10.(1)設x>-1，求函數y=x+4x+1+6的最小值;
(2)求函數y=x2+8x-1(x>1)的最值.
解：(1)∵x>-1，∴x+1>0.
∴y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5
≥2(x+1)?4x+1+5=9，
當且僅當x+1=4x+1，即x=1時，取等號.
∴x=1時，函數的最小值是9.
(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1
=(x-1)+9x-1+2.∵x>1，∴x-1>0.
∴(x-1)+9x-1+2≥2(x-1)?9x-1+2=8.
當且僅當x-1=9x-1，即x=4時等號成立，
∴y有最小值8.
11.已知a，b，c∈(0，+∞)，且a+b+c=1，求證：(1a-1)?(1b-1)?(1c-1)≥8.
證明：∵a，b，c∈(0，+∞)，a+b+c=1，
∴1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca≥2bca，
同理1b-1≥2acb，1c-1≥2abc，
以上三個不等式兩邊分別相乘得
(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8.
當且僅當a=b=c時取等號.
12.某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級污水處理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造單價為每米400元，中間一條隔壁建造單價為每米100元，池底建造單價每平方米60元(池壁忽略不計).
問：污水處理池的長設計為多少米時可使總價最低.
解：設污水處理池的長為x米，則寬為200x米.
總造價f(x)=400×(2x+2×200x)+100×200x+60×200
=800×(x+225x)+12000
≥1600x?225x+12000
=36000(元)
當且僅當x=225x(x>0)，
即x=15時等號成立.
數列
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.
1.在等差數列{an}中，若a1+a2+a12+a13=24，則a7為()
A.6B.7C.8D.9
解析：∵a1+a2+a12+a13=4a7=24，∴a7=6.
答案：A
2.若等差數列{an}的前n項和為Sn，且滿足S33-S22=1，則數列{an}的公差是()
A.12B.1C.2D.3
解析：由Sn=na1+n(n-1)2d，得S3=3a1+3d，S2=2a1+d，代入S33-S22=1，得d=2，故選C.
答案：C
3.已知數列a1=1，a2=5，an+2=an+1-an(n∈正整數集)，則a2011等于()
A.1B.-4C.4D.5
解析：由已知，得a1=1，a2=5，a3=4，a4=-1，a5=-5，a6=-4，a7=1，a8=5，…
故{an}是以6為周期的數列，
∴a2011=a6×335+1=a1=1.
答案：A
4.設{an}是等差數列，Sn是其前n項和，且S5
A.d<0B.a7=0
C.S9>S5D.S6與S7均為Sn的值
解析：∵S5
又S7>S8，∴a8<0.
假設S9>S5，則a6+a7+a8+a9>0，即2(a7+a8)>0.
∵a7=0，a8<0，∴a7+a8<0.假設不成立，故S9
答案：C
5.設數列{an}是等比數列，其前n項和為Sn，若S3=3a3，則公比q的值為()
A.-12B.12
C.1或-12D.-2或12[
解析：設首項為a1，公比為q，
則當q=1時，S3=3a1=3a3，適合題意.
當q≠1時，a1(1-q3)1-q=3?a1q2，
∴1-q3=3q2-3q3，即1+q+q2=3q2,2q2-q-1=0，
解得q=1(舍去)，或q=-12.
綜上，q=1，或q=-12.
答案：C
6.若數列{an}的通項公式an=5?252n-2-4?25n-1，數列{an}的項為第x項，最小項為第y項，則x+y等于()
A.3B.4C.5D.6
解析：an=5?252n-2-4?25n-1=5?25n-1-252-45，
∴n=2時，an最小;n=1時，an.
此時x=1，y=2，∴x+y=3.
答案：A
7.數列{an}中，a1=15,3an+1=3an-2(n∈正整數集)，則該數列中相鄰兩項的乘積是負數的是()
A.a21a22B.a22a23C.a23a24D.a24a25
解析：∵3an+1=3an-2，
∴an+1-an=-23，即公差d=-23.
∴an=a1+(n-1)?d=15-23(n-1).
令an>0，即15-23(n-1)>0，解得n<23.5.
又n∈正整數集，∴n≤23，∴a23>0，而a24<0，∴a23a24<0.
答案：C
8.某工廠去年產值為a，計劃今后5年內每年比上年產值增加10%，則從今年起到第5年，這個廠的總產值為()
A.1.14aB.1.15a
C.11×(1.15-1)aD.10×(1.16-1)a
解析：由已知，得每年產值構成等比數列a1=a，w
an=a(1+10%)n-1(1≤n≤6).
∴總產值為S6-a1=11×(1.15-1)a.
答案：C
9.已知正數組成的等差數列{an}的前20項的和為100，那么a7?a14的值為()
A.25B.50C.100D.不存在
解析：由S20=100，得a1+a20=10.∴a7+a14=10.
又a7>0，a14>0，∴a7?a14≤a7+a1422=25.
答案：A
10.設數列{an}是首項為m，公比為q(q≠0)的等比數列，Sn是它的前n項和，對任意的n∈正整數集，點an，S2nSn()
A.在直線mx+qy-q=0上
B.在直線qx-my+m=0上
C.在直線qx+my-q=0上
D.不一定在一條直線上
解析：an=mqn-1=x，①S2nSn=m(1-q2n)1-qm(1-qn)1-q=1+qn=y，②
由②得qn=y-1，代入①得x=mq(y-1)，即qx-my+m=0.
答案：B
11.將以2為首項的偶數數列，按下列方法分組：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，第n組有n個數，則第n組的首項為()
A.n2-nB.n2+n+2
C.n2+nD.n2-n+2
解析：因為前n-1組占用了數列2,4,6，…的前1+2+3+…+(n-1)=(n-1)n2項，所以第n組的首項為數列2,4,6，…的第(n-1)n2+1項，等于2+(n-1)n2+1-1?2=n2-n+2.
答案：D
12.設m∈正整數集，log2m的整數部分用F(m)表示，則F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是()
A.8204B.8192
C.9218D.以上都不對
解析：依題意，F(1)=0，
F(2)=F(3)=1，有2個
F(4)=F(5)=F(6)=F(7)=2，有22個.
F(8)=…=F(15)=3，有23個.
F(16)=…=F(31)=4，有24個.
…
F(512)=…=F(1023)=9，有29個.
F(1024)=10，有1個.
故F(1)+F(2)+…+F(1024)=0+1×2+2×22+3×23+…+9×29+10.
令T=1×2+2×22+3×23+…+9×29，①
則2T=1×22+2×23+…+8×29+9×210.②
①-②，得-T=2+22+23+…+29-9×210=
2(1-29)1-2-9×210=210-2-9×210=-8×210-2，
∴T=8×210+2=8194，m]
∴F(1)+F(2)+…+F(1024)=8194+10=8204.
答案：A
第Ⅱ卷(非選擇共90分)
二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.
13.若數列{an}滿足關系a1=2，an+1=3an+2，該數列的通項公式為__________.
解析：∵an+1=3an+2兩邊加上1得，an+1+1=3(an+1)，
∴{an+1}是以a1+1=3為首項，以3為公比的等比數列，
∴an+1=3?3n-1=3n，∴an=3n-1.
答案：an=3n-1
14.已知公差不為零的等差數列{an}中，M=anan+3，N=an+1an+2，則M與N的大小關系是__________.
解析：設{an}的公差為d，則d≠0.
M-N=an(an+3d)-[(an+d)(an+2d)]
=an2+3dan-an2-3dan-2d2=-2d2<0，∴M
答案：M
15.在數列{an}中，a1=6，且對任意大于1的正整數n，點(an，an-1)在直線x-y=6上，則數列{ann3(n+1)}的前n項和Sn=__________.
解析：∵點(an，an-1)在直線x-y=6上，
∴an-an-1=6，即數列{an}為等差數列.
∴an=a1+6(n-1)=6+6(n-1)=6n，
∴an=6n2.
∴ann3(n+1)=6n2n3(n+1)=6n(n+1)=61n-1n+1
∴Sn=61-12+12-13+…+1n-1n+1.=61-1n+1=6nn+1.
答案：6nn+1
16.觀察下表：
1
234
34567
45678910
…
則第__________行的各數之和等于20092.
解析：設第n行的各數之和等于20092，
則此行是一個首項a1=n，項數為2n-1，公差為1的等差數列.
故S=n×(2n-1)+(2n-1)(2n-2)2=20092，解得n=1005.
答案：1005
三、解答題：本大題共6小題，共70分.
17.(10分)已知數列{an}中，a1=12，an+1=12an+1(n∈正整數集)，令bn=an-2.
(1)求證：{bn}是等比數列，并求bn;
(2)求通項an并求{an}的前n項和Sn.
解析：(1)∵bn+1bn=an+1-2an-2=12an+1-2an-2=12an-1an-2=12，
∴{bn}是等比數列.
∵b1=a1-2=-32，
∴bn=b1qn-1=-32×12n-1=-32n.
(2)an=bn+2=-32n+2，
Sn=a1+a2+…+an
=-32+2+-322+2+-323+2+…+-32n+2
=-3×12+122+…+12n+2n=-3×12×1-12n1-12+2n=32n+2n-3.
18.(12分)若數列{an}的前n項和Sn=2n.
(1)求{an}的通項公式;
(2)若數列{bn}滿足b1=-1，bn+1=bn+(2n-1)，且cn=an?bnn，求數列{cn}的通項公式及其前n項和Tn.
解析：(1)由題意Sn=2n，
得Sn-1=2n-1(n≥2)，
兩式相減，得an=2n-2n-1=2n-1(n≥2).
當n=1時，21-1=1≠S1=a1=2.
∴an=2(n=1)，2n-1(n≥2).
(2)∵bn+1=bn+(2n-1)，
∴b2-b1=1，
b3-b2=3，
b4-b3=5，
…
bn-bn-1=2n-3.
以上各式相加，得
bn-b1=1+3+5+…+(2n-3)
=(n-1)(1+2n-3)2=(n-1)2.
∵b1=-1，∴bn=n2-2n，
∴cn=-2(n=1)，(n-2)×2n-1(n≥2)，
∴Tn=-2+0×21+1×22+2×23+…+(n-2)×2n-1，
∴2Tn=-4+0×22+1×23+2×24+…+(n-2)×2n.
∴-Tn=2+22+23+…+2n-1-(n-2)×2n
=2(1-2n-1)1-2-(n-2)×2n
=2n-2-(n-2)×2n
=-2-(n-3)×2n.
∴Tn=2+(n-3)×2n.
19.(12分)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比數列.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)若從數列{an}中依次取出第2項，第4項，第8項，…，第2n項，…，按原來順序組成一個新數列{bn}，記該數列的前n項和為Tn，求Tn的表達式.
解析：(1)依題意，得
3a1+3×22d+5a1+5×42d=50，(a1+3d)2=a1(a1+12d)，解得a1=3，d=2.
∴an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1，
即an=2n+1.
(2)由已知，得bn=a2n=2×2n+1=2n+1+1，
∴Tn=b1+b2+…+bn
=(22+1)+(23+1)+…+(2n+1+1)
=4(1-2n)1-2+n=2n+2-4+n.
20.(12分)設數列{an}的前n項和為Sn，且ban-2n=(b-1)Sn.
(1)證明：當b=2時，{an-n?2n-1}是等比數列;
(2)求通項an.新課標第一網
解析：由題意知，a1=2，且ban-2n=(b-1)Sn，
ban+1-2n+1=(b-1)Sn+1，
兩式相減，得b(an+1-an)-2n=(b-1)an+1，
即an+1=ban+2n.①
(1)當b=2時，由①知，an+1=2an+2n.
于是an+1-(n+1)?2n=2an+2n-(n+1)?2n
=2an-n?2n-1.
又a1-1?20=1≠0，
∴{an-n?2n-1}是首項為1，公比為2的等比數列.
(2)當b=2時，
由(1)知，an-n?2n-1=2n-1，即an=(n+1)?2n-1
當b≠2時，由①得
an+1-12-b?2n+1=ban+2n-12-b?2n+1=ban-b2-b?2n
=ban-12-b?2n，
因此an+1-12-b?2n+1=ban-12-b?2n=2(1-b)2-b?bn.
得an=2，n=1，12-b[2n+(2-2b)bn-1]，n≥2.
21.(12分)某地在抗洪搶險中接到預報，24小時后又一個超歷史水位的洪峰到達，為保證萬無一失，抗洪指揮部決定在24小時內另筑起一道堤作為第二道防線.經計算，如果有20輛大型翻斗車同時作業25小時，可以筑起第二道防線，但是除了現有的一輛車可以立即投入作業外，其余車輛需從各處緊急抽調，每隔20分鐘就有一輛車到達并投入工作.問指揮部至少還需組織多少輛車這樣陸續工作，才能保證24小時內完成第二道防線，請說明理由.
解析：設從現有這輛車投入工作算起，各車的工作時間依次組成數列{an}，則an-an-1=-13.
所以各車的工作時間構成首項為24，公差為-13的等差數列，由題知，24小時內最多可抽調72輛車.
設還需組織(n-1)輛車，則
a1+a2+…+an=24n+n(n-1)2×-13≥20×25.
所以n2-145n+3000≤0，
解得25≤n≤120，且n≤73.
所以nmin=25，n-1=24.
故至少還需組織24輛車陸續工作，才能保證在24小時內完成第二道防線.
22.(12分)已知點集L={(x，y)|y=m?n}，其中m=(2x-2b,1)，n=(1,1+2b)，點列Pn(an，bn)在點集L中，P1為L的軌跡與y軸的交點，已知數列{an}為等差數列，且公差為1，n∈正整數集.
(1)求數列{an}，{bn}的通項公式;
(3)設cn=5n?an?|PnPn+1|(n≥2)，求c2+c3+c4+…+cn的值.
解析：(1)由y=m?n，m=(2x-2b,1)，n=(1,1+2b)，
得y=2x+1，即L：y=2x+1.
∵P1為L的軌跡與y軸的交點，
∴P1(0,1)，則a1=0，b1=1.
∵數列{an}為等差數列，且公差為1，
∴an=n-1(n∈正整數集).
代入y=2x+1，得bn=2n-1(n∈正整數集).
(2)∵Pn(n-1,2n-1)，∴Pn+1(n,2n+1).
=5n2-n-1=5n-1102-2120.
∵n∈正整數集，
(3)當n≥2時，Pn(n-1,2n-1)，
∴c2+c3+…+cn
=1-12+12-13+…+1n-1-1n=1-1n.
高三怎么學數學
1、用好課本
1.對數學2113概念重新認識，5261深刻理解其內涵與外延4102，區分容易混淆的1653概念。如以“角”的概念為例，課本中出現了不少 種“角”，如直線的斜角，兩條異面直線所成的角，直線與平面所成的角，復數的輻角主值，夾角、倒角等，它們從各自的定義出法，都有一個確定的取值范圍。如兩條異面直線所成的角是銳角或直角，而不是鈍角，這樣保證了它的唯一性。對此理解、掌握了才不會出現概念性錯誤。
2.盡 一步加深對定理、公式的理解與掌握，注意每個定理、公式的運用條件和范圍。如用平均值不等式求最值，必須滿三個條件，缺一不可。有的同學之所以出錯誤，不是對平均值不等式的結構不熟悉，就是忽視其應滿足的條件。
3.掌握典型命題所體現的思想與方法。如對等式的證明方法，就給大家提供了求二項式展開式或多項式展開式系數和的普遍方法。因此，端正思想，認真看書，全面掌握，并結合其它資料和練習，加深對基礎知識的理解，從而為提高解題能力打下堅實的基礎。
2、上好課：課堂學習質量直接影響學習成績
1.會聽課。會聽課就是要積極思考。當老師提出問題后，就要搶在老師前面思考怎么辦?想一想解決這個問題的所有可能的途徑和方法，然后在和教師講的去比較，可能有的想法行有的不行，可能老師的方法更好，可能你的方法還簡明、還奇妙。而不要等老師一點一點告訴你，自己僅僅是聽懂了就認為學會了，這實際上是只得懷疑的。難怪不少同學說老師一講就會，自己一做就錯，原因是自己沒有真正去思考，也就不可能變成自己的東西。所以積極思考是上好課最為重要的環節，當然也學習的主要方法。
2.做筆記。上課老師講 含有重要概念，各種問題常規思想與方法，易錯的問題，以及一些很適用的規律和技能等，所以，上課做好筆記是必要的。
3.要及時復習。根據記憶規律，復習應及時，每天一復習，一周一復習，每單一總結為好。
3、多做題：高三學習數學要做一定量習題
1.難度適當。現在復習資料多，題多，復習時應按老師的要求。且不能一味做難題、綜合題，好高騖遠，不但會耗費大量時間，而且遇到不會做題多了就會降低你的自信心，養成容易忽略一些看似簡單的基礎問題和細節問題，在考試時丟了不丟的分，造成難以彌補的損失。因此，練習時應從自已的實際情況出發，循序漸進。應以基礎題、中檔題為主，適當做一些綜合性較強的題以提高能力和思維品質。
2.題貴在精。在可能的情況下多練習一些是好的，但貴在精。首先選題應結合《考試說明》的要求和近幾年高考題的考查的方向去選，重點體現“三基”，體現“通性、通法”。其次做題時的思考和總結非常重要，每做一道題都要回想一下自己的解題思路，看看能不能一題多解，舉一反三，并注意合理運算，優化解題過程。第三對重點問題要舍得劃費時間，多做一些題。第四在復習過程中也要不斷做一些應用題，來提高閱讀理解能力和解決實際問題的能力，這是高考改革的方向之一。
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