北師大版八年級數學教案下冊第一章(2)

　　北師大版八年級數學教案下冊第一章：等腰三角形(三)

　　教學目標

　　1.探索等腰三角形判定定理.

　　2.理解等腰三角形的判定定理，并會運用其進行簡單的證明.

　　3.了解反證法的基本證明思路，并能簡單應用。

　　4.培養學生的逆向思維能力。

　　教學重點 經歷“探索——發現一一猜想——證明”的過程，能夠用綜合法證明有關三角形和等腰三角形的一些結論.

　　教學難點 反證法的理解與運用.

　　教學過程

　　1、創設情境，引入新課

　　通過問題串回顧等腰三角形的性質定理以及證明的思路，要求學生獨立思考后再進交流。

　　問題1.等腰三角形性質定理的內容是什么?這個命題的題設和結論分別是什么?

　　問題2.我們是如何證明上述定理的?

　　問題3.我們把性質定理的條件和結論反過來還成立么?如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等?

　　2、講述新課

　　教師：上面，我們改變問題條件，得出了很多類似的結論，這是研究問題的一種常用方法，除此之外，我們還可以“反過來”思考問題，這也是獲得數學結論的一條途徑.例如“等邊對等角”，反過來成立嗎?也就是：有兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎?

　　[生]如圖，在△ABC中，∠B=∠C，要想證明AB=AC，只要構造兩個全等的三角A形，使AB與AC成為對應邊就可以了.

　　[師]你是如何想到的?

　　[生]由前面定理的證明獲得啟發，比如作BC的中線，或作A的平分線，或作BC上的高，都可以把△ABC分成兩個全等的三角形.

　　[師]很好.同學們可在練習本上嘗試一下是否如此，然后分組討論. B[生]我們組發現，如果作BC的中線，雖然把△ABC分成了兩個三角形，但無法用公理和已證明的定理證明它們全等.因為我們得到的條件是兩個三角形對應兩邊及其一邊的對角分別相等，是不能夠判斷兩個三角形全等的.后兩種方法是可行的.

　　[師]那么就請同學們任選一種方法按要求將推理證明過程書寫出來.(教師可讓兩個同學在黑板上演示，并對推理證明過程講評)

　　[師]我們用“反過來”思考問題，獲得并證明了一個非常重要的定理——等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形.這一定理可以簡單敘述為：等角對等邊.我們不僅發現了幾何圖形的對稱美，也發現了數學語言的對稱美.

　　3、鞏固練習 D已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2. 求證：AB=AC.

　　證明：∵AD∥BC，

　　∴∠1=∠B(兩直線平行，同位角相等)，

　　∠2=∠C(兩直線平行，內錯角相等).

　　又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C. ∴AB=AC(等角對等邊).

　　4、適時提問 導出反證法

　　我們類比歸納獲得一個數學結論，“反過來”思考問題也獲得了一個數學結論.如果否定命題的條件，是否也可獲得一個數學結論嗎?我們一起來“想一想”：

　　小明說，在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等.你認為這個結論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎?

　　有學生提出：“我認為這個結論是成立的.因為我畫了幾個三角形，觀察并測量發現，如果兩個角不相等，它們所對的邊也不相等.但要像證明“等角對等邊”那樣卻很難證明，因為它的條件和結論都是否定的.”的確如此.像這種從正面人手很難證明的結論，我們有沒有別的證明思路和方法呢?

　　我們來看一位同學的想法：

　　如圖，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此時AB與Ac要么相等，要么不相等.

　　假設AB=AC，那么根據“等邊對等角”定理可得∠C=∠B，但已

　　知條件是∠B≠∠C.“∠C=∠B”與已知條件“∠B≠∠C”相矛盾，

　　因此AB≠AC

　　你能理解他的推理過程嗎?

　　再例如，我們要證明△ABC中不可能有兩個直角，也可以采用這位同學的證法，假設有兩個角是直角，不妨設∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但△AB∠A+∠B+∠C=180°, “∠A+∠B=180°”與“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC中不可能有兩個直角.

　　引導學生思考：上一道面的證法有什么共同的特點呢?引出反證法。

　　都是先假設命題的結論不成立，然后由此推導出了與已知或公理或已證明過的定理相矛盾，從而證明命題的結論一定成立.這也是證明命題的一種方法，我們把它叫做反證法.

　　接著用“反過來”思考問題的方法獲得并證明了等腰三角形的判定定理“等角對等邊”，最后結合實例了解了反證法的含義.

　　5、拓展延伸

　　在一節課結束之際，為培養學生思維的綜合性、靈活性特安排了2個練習。一個是通過平行線、角平分線判定三角形的形狀，再通過線段的轉換求圖形的周長。另一個是一個開放性的問題，考察學生多角度多維度思考問題的能力。學生在獨立思考的基礎上再小組交流。

　　1.如圖，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，設AB=12，AC=18，求△AMN的周長.

　　2.現有等腰三角形紙片,如果能從一個角的頂點出發,將原紙片一次剪開成兩塊等腰三角形紙片,問此時的等腰三角形的頂角的度數?

　　6、課堂小結

　　(1)本節課學習了哪些內容?(2)等腰三角形的判定方法有哪幾種?(3)結合本節課的學習，談談等腰三角形性質和判定的區別和聯系.(4)舉例談談用反證法說理的基本思路

　　7、課后作業 教學反思