高一上冊數學單調性與最大小值教案
數學教師要上好課并取得良好的效果,最關鍵的步驟就是備好課,其中備好課就是做好教案!為此，下面學習啦小編整理了人教版高一上冊數學單調性與最大小值教案案以供大家閱讀。
人教版高一上冊數學單調性與最大小值教案
教學目標
1.使學生從形與數兩方面理解函數單調性的概念，初步掌握利用函數圖象和單調性定義判斷、證明函數單調性的方法.
2.通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合的思想方法，培養學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力;通過對函數單調性的證明，提高學生的推理論證能力.
3.通過知識的探究過程培養學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生經歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程.
重點難點
教學重點：函數單調性的概念、判斷及證明.
教學難點：歸納抽象函數單調性的定義以及根據定義證明函數的單調性.
教學方法
教師啟發講授，學生 探究學習.
教學手段
計算機、投影儀.
教學過程
創設情境，引入課題
課前布置任務：
(1)由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.
(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.
課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數等均開始下降，比較適宜舉辦大型國際體育賽事.
下圖是北京市某年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖.
圖1
引導學生識圖，捕捉信息，啟發學生思考.
問題：觀察圖形，能得到什么信息?
預案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到;
(2)在某時刻的溫度;
(3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.
在生活中，我們關心很多數據的變化規律，了解這些數據的變化規律，對我們的生活是很有幫助的.
問題：還能舉出生活中其他的數據變化情況嗎?
預案：水位高低、燃油價格、股票價格等.
歸納：用函數觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數值是變大還是變小.
【設計意圖】由生活情境引入新課，激發興趣.
歸納探索，形成概念
對于自變量變化時，函數值是變大還是變小，初中時同學們就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務首先就是建立函數單調性的嚴格定義.
1.借助圖象，直觀感知
問題1：分別作出函數y=x+2，y=-x+2，y=x2，y=1x的圖象，并且觀察自變量變化時，函數值有什么變化規律?
圖2
預案 ：(1)函數y=x+2在整個定義域內y隨x的增大而增大;函數y=-x+2在整個定義域內y隨x的增大而減小.
(2 )函數y=x2在[0，+∞)上y隨x的增大而增大，在(-∞，0)上y隨x的增大而減小.
(3)函數y=1x在(0，+∞)上y隨x的增大而減小，在(-∞，0)上y隨x的增大而減小.
引導學生進行分類描述(增函數、減函數)，同時明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的，是函數的局部性質.
問題2：能不能根據自己的理解說說什么是增函數、減函數?
預案：如果函數f(x)在某個區間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數f(x)在該區間上為增函數;如果函數f(x)在某個區間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們說函數f(x)在該區間上為減函數.
教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數單調性的直觀認識.
【設計意圖】從圖象直觀感知函數單調性，完成對函數單調性的第一次認識.
2.探究規律，理性認識
問題1：下圖是函數y=x+2x(x>0)的圖象，能說出這個函數分別在哪個區間為增函數和減函數嗎?
圖3
學生的困難是難以確定分界點的確切位置.
通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究.
【設計意圖】使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性.
問題2：如何從解析式的角度說明f(x)=x2在[0，+∞)為增函數?
預案：(1)在給定區間內取兩個數，例如1和2，因為12<22，所以f(x)=x2在[0，+∞)為增函數.
(2)仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以f(x)=x2在[0，+∞)為增函數.
(3)任取x1，x2∈[0，+∞)，且x1
所以f(x)=x2在[0，+∞)為增函數.
對于學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析，使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區間內任意取兩個自變量x1，x2.
【設計意圖】把對單調性的認識由感性上升到理性的高度，完成對概念的第二次認識.事實上也給出了證明單調性的方法，為證明單調性做好了鋪墊.
3.抽象思維，形成概念
問題：你能用準確的數學符號語言表述出增函數的定義嗎?
師生共同探究，得出增函數嚴格的定義，然后學生類比得出減函數的定義.
(1)板書定義
(2)鞏固概念
判斷題：
①已知f(x)=1x，因為f(-1)
②若函數f(x)滿足f(2)
③若函數f(x)在區間(1,2]和(2,3)上均為增函數，則函數f(x)在區間(1,3)上為增函數.
④因為函數f(x)=1x在區間(-∞，0)和(0，+∞)上都是減函數，所以f(x)=1x在(-∞，0)∪(0，+∞)上是減函數.
通過判斷題，強調三點：
①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性.
②對于某個具體函數的單調區間，可以是整個定義域(如一次函數)，可以是定義域內某個區間(如二次函數)，也可以根本不單調(如常函數).
③函數在定義域 內的兩個區間A，B上都是增(或減)函數，一般不能認為函數在A∪B上是增(或減)函數.
思考：如何說明一個函數在某個區間上不是單調函數?
【設計意圖】讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識.
掌握證法，適當延展
【例】證明函數f(x)=x+2x在(2，+∞)上是增函數.
1.分析解決問題
針對學生可能出現的問題，組織學生討論、交流.
證明：任取x1，x2∈(2，+∞)，且x1
f(x1)-f(x2)=x1+2x1-x2+2x2求差
=(x1-x2)+2x1-2x2
=(x1-x2)+2(x2-x1)x1x2=(x1-x2)1-2x1x2=(x1-x2)x1x2-2x1x2，變形
∵2
∴x1-x2<0，x1x2>2，∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)
∴函數f(x)=x+2x在(2，+∞)上是增函數.定論
2.歸納解題步驟
引導學生歸納證明函數單調性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論.
練習：證明函數f(x)=x在[0，+∞)上是增函數.
問題：要證明函數f(x)在區間(a，b)上是增函數，除了用定義來證，如果可以證得對任意的x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2有f(x2)-f(x1)x2-x1>0可以嗎?
引導學生分析這種敘述與定義的等價性，讓學生嘗試用這種等價形式證明函數f(x)=x在[0，+∞)上是增函數.
【設計意圖】初步掌握根據定義證明函數單調性的方法和步驟.等價形式進一步發展可以得到導數法，為用導數方法研究函數單調性埋下伏筆.
歸納小結，提高認識
學生交流在本節課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結.
1.小結
(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性.
(2)證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論.
(3)數學思想方法和思維方法：數形結合，等價轉化，類比等.
2.作業
書面作業：課本習題1.3 A組第1,2,3題.
課后探究：
(1)證明：函數f(x)在區間(a，b)上是增函數當且僅當對任意的x，x+h∈(a，b)，且h≠0有f(x+h)-f(x)h>0.
(2)研究函數y=x+1x(x>0)的單調性，并結合描點法畫出函數的草圖.
看了高一上冊數學單調性與最大小值教案的人還看：