八年級數學上冊第12章全等三角形單元試題及答案
做八年級數學單元測試題時，首先要認真審題，看清題意;然后找出各條件之間的相互關系，理清解題思路，求出答案，一定要認真，馬虎一點就容易出錯。這是學習啦小編整理的八年級數學上冊第12章全等三角形單元試題，希望你能從中得到感悟!
八年級數學上冊第12章全等三角形單元試題
一、選擇題(共9小題)
1.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若連接AC、BD相交于點O，則圖中全等三角形共有( )
A.1對 B.2對 C.3對 D.4對
2.如圖所示，點E是矩形ABCD的邊AD延長線上的一點，且AD=DE，連結BE交CD于點O，連結AO，下列結論不正確的是( )
A.△AOB≌△BOC B.△BOC≌△EOD C.△AOD≌△EOD D.△AOD≌△BOC
3.使兩個直角三角形全等的條件是( )
A.一個銳角對應相等 B.兩個銳角對應相等
C.一條邊對應相等 D.兩條邊對應相等
4.如圖，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，還需添加兩個條件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一組條件是( )
A.BC=EC，∠B=∠E B.BC=EC，AC=DC C.BC=DC，∠A=∠D D.∠B=∠E，∠A=∠D
5.如圖，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ADF≌△CBE的是( )
A.∠A=∠C B.AD=CB C.BE=DF D.AD∥BC
6.如圖，AB=AC，D，E分別是AB，AC上的點，下列條件中不能證明△ABE≌△ACD的是
( )
A.AD=AE B.BD=CE C.BE=CD D.∠B=∠C
7.附圖為八個全等的正六邊形緊密排列在同一平面上的情形.根據圖中標示的各點位置，判斷△ACD與下列哪一個三角形全等?( )
A.△ACF B.△ADE C.△ABC D.△BCF
8.如圖，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列條件中不能判斷△ABC≌△DEF的是( )
A.AB=DE B.∠B=∠E C.EF=BC D.EF∥BC
9.已知△A1B1C1，△A2B2C2的周長相等，現有兩個判斷：
①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，則△A1B1C1≌△A2B2C2;
②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，則△A1B1C1≌△A2B2C2，
對于上述的兩個判斷，下列說法正確的是( )
A.①正確，②錯誤 B.①錯誤，②正確 C.①，②都錯誤 D.①，②都正確
二、填空題(共10小題)
10.如圖，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，則應添加的一個條件為 .(答案不唯一，只需填一個)
11.如圖，在△ABC和△DEF中，點B、F、C、E在同一直線上，BF=CE，AC∥DF，請添加一個條件，使△ABC≌△DEF，這個添加的條件可以是 .(只需寫一個，不添加輔助線)
12.如圖，點D、E分別在線段AB，AC上，AE=AD，不添加新的線段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一個條件是 (只寫一個條件即可).
13.如圖，已知∠B=∠C，添加一個條件使△ABD≌△ACE(不標注新的字母，不添加新的線段)，你添加的條件是 .
14.如圖，已知點B、C、F、E在同一直線上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，還需添加一個條件，這個條件可以是 .(只需寫出一個)
15.如圖，已知∠1=∠2，AC=AD，請增加一個條件，使△ABC≌△AED，你添加的條件是 .
16.如圖，BC=EC，∠1=∠2，添加一個適當的條件使△ABC≌△DEC，則需添加的條件是 (不添加任何輔助線).
17.如圖，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，應添加的條件是 (添加一個條件即可).
18.如圖，A，B，C三點在同一條直線上，∠A=∠C=90°，AB=CD，請添加一個適當的條件 ，使得△EAB≌△BCD.
19.如圖，AF=DC，BC∥EF，只需補充一個條件 ，就得△ABC≌△DEF.
三、解答題(共11小題)
20.如圖，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD.求證：BC=DE.
21.如圖，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四邊形BCDE是平行四邊形，E為AC中點，BD平分∠ABC，點F在AB上，且BF=BC.求證：
(1)DF=AE;
(2)DF⊥AC.
22.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，AE∥BC，CE⊥AE，垂足為E.
(1)求證：△ABD≌△CAE;
(2)連接DE，線段DE與AB之間有怎樣的位置和數量關系?請證明你的結論.
23.如圖，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D.
求證：△ABC≌△AED.
八年級數學上冊第12章全等三角形單元試題參考答案
一、選擇題(共9小題)
1.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若連接AC、BD相交于點O，則圖中全等三角形共有( )
A.1對 B.2對 C.3對 D.4對
【考點】全等三角形的判定.
【分析】首先證明△ABC≌△ADC，根據全等三角形的性質可得∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，再證明△ABO≌△ADO，△BOC≌△DOC.
【解答】解：∵在△ABC和△ADC中 ，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，
∵在△ABO和△ADO中 ，
∴△ABO≌△ADO(SAS)，
∵在△BOC和△DOC中 ，
∴△BOC≌△DOC(SAS)，
故選：C.
【點評】考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.
2.如圖所示，點E是矩形ABCD的邊AD延長線上的一點，且AD=DE，連結BE交CD于點O，連結AO，下列結論不正確的是( )
A.△AOB≌△BOC B.△BOC≌△EOD C.△AOD≌△EOD D.△AOD≌△BOC
【考點】全等三角形的判定;矩形的性質.
【專題】壓軸題.
【分析】根據AD=DE，OD=OD，∠ADO=∠EDO=90°，可證明△AOD≌△EOD，OD為△ABE的中位線，OD=OC，然后根據矩形的性質和全等三角形的性質找出全等三角形即可.
【解答】解：∵AD=DE，DO∥AB，
∴OD為△ABE的中位線，
∴OD=OC，
∵在△AOD和△EOD中，
，
∴△AOD≌△EOD(SAS);
∵在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC(SAS);
∵△AOD≌△EOD，
∴△BOC≌△EOD;
故B、C、D均正確.
故選A.
【點評】本題考查了全等三角形的判定，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.
3.使兩個直角三角形全等的條件是( )
A.一個銳角對應相等 B.兩個銳角對應相等
C.一條邊對應相等 D.兩條邊對應相等
【考點】直角三角形全等的判定.
【專題】壓軸題.
【分析】利用全等三角形的判定來確定.做題時，要結合已知條件與三角形全等的判定方法逐個驗證.
【解答】解：A、一個銳角對應相等，利用已知的直角相等，可得出另一組銳角相等，但不能證明兩三角形全等，故A選項錯誤;
B、兩個銳角相等，那么也就是三個對應角相等，但不能證明兩三角形全等，故B選項錯誤;
C、一條邊對應相等，再加一組直角相等，不能得出兩三角形全等，故C選項錯誤;
D、兩條邊對應相等，若是兩條直角邊相等，可利用SAS證全等;若一直角邊對應相等，一斜邊對應相等，也可證全等，故D選項正確.
故選：D.
【點評】本題考查了直角三角形全等的判定方法;三角形全等的判定有ASA、SAS、AAS、SSS、HL，可以發現至少得有一組對應邊相等，才有可能全等.
4.如圖，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，還需添加兩個條件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一組條件是( )
A.BC=EC，∠B=∠E B.BC=EC，AC=DC C.BC=DC，∠A=∠D D.∠B=∠E，∠A=∠D
【考點】全等三角形的判定.
【分析】根據全等三角形的判定方法分別進行判定即可.
【解答】解：A、已知AB=DE，再加上條件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS證明△ABC≌△DEC，故此選項不合題意;
B、已知AB=DE，再加上條件BC=EC，AC=DC可利用SSS證明△ABC≌△DEC，故此選項不合題意;
C、已知AB=DE，再加上條件BC=DC，∠A=∠D不能證明△ABC≌△DEC，故此選項符合題意;
D、已知AB=DE，再加上條件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA證明△ABC≌△DEC，故此選項不合題意;
故選：C.
【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.
5.如圖，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ADF≌△CBE的是( )
A.∠A=∠C B.AD=CB C.BE=DF D.AD∥BC
【考點】全等三角形的判定.
【分析】求出AF=CE，再根據全等三角形的判定定理判斷即可.
【解答】解：∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
A、∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE(ASA)，正確，故本選項錯誤;
B、根據AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，錯誤，故本選項正確;
C、∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE(SAS)，正確，故本選項錯誤;
D、∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE(ASA)，正確，故本選項錯誤;
故選B.
【點評】本題考查了平行線性質，全等三角形的判定的應用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS.
6.如圖，AB=AC，D，E分別是AB，AC上的點，下列條件中不能證明△ABE≌△ACD的是
( )
A.AD=AE B.BD=CE C.BE=CD D.∠B=∠C
【考點】全等三角形的判定.
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根據全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加條件，逐一證明即可.
【解答】解：∵AB=AC，∠A為公共角，
A、如添加AE=AD，利用SAS即可證明△ABE≌△ACD;
B、如添BD=CE，可證明AD=AE，利用SAS即可證明△ABE≌△ACD;
C、如添BE=CD，因為SSA，不能證明△ABE≌△ACD，所以此選項不能作為添加的條件;
D、如添∠B=∠C，利用ASA即可證明△ABE≌△ACD;
故選C.
【點評】此題主要考查學生對全等三角形判定定理的理解和掌握，此類添加條件題，要求學生應熟練掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.
7.附圖為八個全等的正六邊形緊密排列在同一平面上的情形.根據圖中標示的各點位置，判斷△ACD與下列哪一個三角形全等?( )
A.△ACF B.△ADE C.△ABC D.△BCF
【考點】全等三角形的判定.
【分析】根據全等三角形的判定定理(SAS，ASA，AAS，SSS)結合圖形進行判斷即可.
【解答】解：根據圖象可知△ACD和△ADE全等，
理由是：∵根據圖形可知AD=AD，AE=AC，DE=DC，
∴△ACD≌△AED，
即△ACD和△ADE全等，
故選B.
【點評】本題考查了全等三角形的判定的應用，主要考查學生的觀察圖形的能力和推理能力，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS.
8.如圖，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列條件中不能判斷△ABC≌△DEF的是( )
A.AB=DE B.∠B=∠E C.EF=BC D.EF∥BC
【考點】全等三角形的判定.
【分析】本題可以假設A、B、C、D選項成立，分別證明△ABC≌△DEF，即可解題.
【解答】解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠A=∠D，
(1)AB=DE，則△ABC和△DEF中， ，∴△ABC≌△DEF，故A選項錯誤;
(2)∠B=∠E，則△ABC和△DEF中， ，∴△ABC≌△DEF，故B選項錯誤;
(3)EF=BC，無法證明△ABC≌△DEF(ASS);故C選項正確;
(4)∵EF∥BC，AB∥DE，∴∠B=∠E，則△ABC和△DEF中， ，∴△ABC≌△DEF，故D選項錯誤;
故選：C.
【點評】本題考查了全等三角形的不同方法的判定，注意題干中“不能”是解題的關鍵.
9.已知△A1B1C1，△A2B2C2的周長相等，現有兩個判斷：
①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，則△A1B1C1≌△A2B2C2;
②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，則△A1B1C1≌△A2B2C2，
對于上述的兩個判斷，下列說法正確的是( )
A.①正確，②錯誤 B.①錯誤，②正確 C.①，②都錯誤 D.①，②都正確
【考點】全等三角形的判定.
【專題】壓軸題.
【分析】根據SSS即可推出△A1B1C1≌△A2B2C2，判斷①正確;根據“兩角法”推知兩個三角形相似，然后結合兩個三角形的周長相等推出兩三角形全等，即可判斷②.
【解答】解：∵△A1B1C1，△A2B2C2的周長相等，A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，
∴B1C1=B2C2，
∴△A1B1C1≌△A2B2C2(SSS)，∴①正確;
∵∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，
∴△A1B1C1∽△A2B2C2
∵△A1B1C1，△A2B2C2的周長相等，
∴△A1B1C1≌△A2B2C2
∴②正確;
故選：D.
【點評】本題考查了全等三角形的判定的應用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，而AAA和SSA不能判斷兩三角形全等.
二、填空題
10.如圖，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，則應添加的一個條件為 AC=CD .(答案不唯一，只需填一個)
【考點】全等三角形的判定.
【專題】開放型.
【分析】可以添加條件AC=CD，再由條件∠BCE=∠ACD，可得∠ACB=∠DCE，再加上條件CB=EC，可根據SAS定理證明△ABC≌△DEC.
【解答】解：添加條件：AC=CD，
∵∠BCE=∠ACD，
∴∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中 ，
∴△ABC≌△DEC(SAS)，
故答案為：AC=CD(答案不唯一).
【點評】此題主要考查了考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.
11.如圖，在△ABC和△DEF中，點B、F、C、E在同一直線上，BF=CE，AC∥DF，請添加一個條件，使△ABC≌△DEF，這個添加的條件可以是 AC=DF .(只需寫一個，不添加輔助線)
【考點】全等三角形的判定.
【專題】開放型.
【分析】求出BC=EF，∠ACB=∠DFE，根據SAS推出兩三角形全等即可.
【解答】解：AC=DF，
理由是：∵BF=CE，
∴BF+FC=CE+FC，
∴BC=EF，
∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
故答案為：AC=DF.
【點評】本題考查了全等三角形的判定的應用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，答案不唯一.
12.如圖，點D、E分別在線段AB，AC上，AE=AD，不添加新的線段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一個條件是 ∠B=∠C(答案不唯一) (只寫一個條件即可).
【考點】全等三角形的判定.
【專題】開放型.
【分析】由題意得，AE=AD，∠A=∠A(公共角)，可選擇利用AAS、SAS進行全等的判定，答案不唯一.
【解答】解：添加∠B=∠C.
在△ABE和△ACD中，∵ ，
∴△ABE≌△ACD(AAS).
故答案可為：∠B=∠C.
【點評】本題考查了全等三角形的判定，屬于開放型題目，解答本題需要同學們熟練掌握三角形全等的幾種判定定理.
13.如圖，已知∠B=∠C，添加一個條件使△ABD≌△ACE(不標注新的字母，不添加新的線段)，你添加的條件是 AC=AB .
【考點】全等三角形的判定.
【專題】開放型.
【分析】添加條件：AB=AC，再加上∠A=∠A，∠B=∠C可利用ASA證明△ABD≌△ACE.
【解答】解：添加條件：AB=AC，
∵在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE(ASA)，
故答案為：AB=AC.
【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.
14.如圖，已知點B、C、F、E在同一直線上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，還需添加一個條件，這個條件可以是 CA=FD .(只需寫出一個)
【考點】全等三角形的判定.
【專題】開放型.
【分析】可選擇添加條件后，能用SAS進行全等的判定，也可以選擇AAS進行添加.
【解答】解：添加CA=FD，可利用SAS判斷△ABC≌△DEF.
故答案可為CA=FD.
【點評】本題考查了全等三角形的判定，解答本題關鍵是掌握全等三角形的判定定理，本題答案不唯一.
15.如圖，已知∠1=∠2，AC=AD，請增加一個條件，使△ABC≌△AED，你添加的條件是 AE=AB .
【考點】全等三角形的判定.
【專題】開放型.
【分析】添加條件AE=AB，根據等式的性質可得∠BAC=∠EAD，然后再用SAS證明△BAC≌△EAD.
【解答】解：添加條件AE=AB，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB，
∴∠BAC=∠EAD，
在△BCA和△EDA中，
，
∴△BAC≌△EAD(SAS).
故答案為：AE=AB.
【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.
16.如圖，BC=EC，∠1=∠2，添加一個適當的條件使△ABC≌△DEC，則需添加的條件是 ∠A=∠D (不添加任何輔助線).
【考點】全等三角形的判定.
【專題】開放型.
【分析】先求出∠ACB=∠DCE，再添加∠A=∠D，由已知條件BC=EC，即可證明△ABC≌△DEC.
【解答】解：添加條件：∠A=∠D;
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA，
即∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC(AAS).
【點評】本題考查了全等三角形的判定;熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵.
17.如圖，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，應添加的條件是 ∠B=∠C或AE=AD (添加一個條件即可).
【考點】全等三角形的判定.
【專題】開放型.
【分析】要使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，∠A=∠A，則可以添加一個邊從而利用SAS來判定其全等，或添加一個角從而利用AAS來判定其全等.
【解答】解：添加∠B=∠C或AE=AD后可分別根據ASA、SAS判定△ABE≌△ACD.
故答案為：∠B=∠C或AE=AD.
【點評】本題考查三角形全等的判定方法;判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加時注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，不能添加，根據已知結合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關鍵.
18.(2013•綏化)如圖，A，B，C三點在同一條直線上，∠A=∠C=90°，AB=CD，請添加一個適當的條件 AE=CB ，使得△EAB≌△BCD.
【考點】全等三角形的判定.
【專題】開放型.
【分析】可以根據全等三角形的不同的判定方法添加不同的條件.
【解答】解：∵∠A=∠C=90°，AB=CD，
∴若利用“SAS”，可添加AE=CB，
若利用“HL”，可添加EB=BD，
若利用“ASA”或“AAS”，可添加∠EBD=90°，
若添加∠E=∠DBC，可利用“AAS”證明.
綜上所述，可添加的條件為AE=CB(或EB=BD或∠EBD=90°或∠E=∠DBC等).
故答案為：AE=CB.
【點評】本題主要考查了全等三角形的判定，開放型題目，根據不同的三角形全等的判定方法可以選擇添加的條件也不相同.
19.如圖，AF=DC，BC∥EF，只需補充一個條件 BC=EF ，就得△ABC≌△DEF.
【考點】全等三角形的判定.
【專題】開放型.
【分析】補充條件BC=EF，首先根據AF=DC可得AC=DF，再根據BC∥EF可得∠EFC=∠BCF，然后再加上條件CB=EF可利用SAS定理證明△ABC≌△DEF.
【解答】解：補充條件BC=EF，
∵AF=DC，
∴AF+FC=CD+FC，
即AC=DF，
∵BC∥EF，
∴∠EFC=∠BCF，
∵在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF(SAS).
故答案為：BC=EF.
【點評】此題主要考查了全等三角形的判定，關鍵是掌握判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.
三、解答題
20.如圖，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD.求證：BC=DE.
【考點】全等三角形的判定與性質.
【專題】證明題.
【分析】先證出∠CAB=∠DAE，再由SAS證明△BAC≌△DAE，得出對應邊相等即可.
【解答】證明：∵∠1=∠2，
∴∠CAB=∠DAE，
在△BAC和△DAE中， ，
∴△BAC≌△DAE(SAS)，
∴BC=DE.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質;熟練掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等是解決問題的關鍵.
21.如圖，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四邊形BCDE是平行四邊形，E為AC中點，BD平分∠ABC，點F在AB上，且BF=BC.求證：
(1)DF=AE;
(2)DF⊥AC.
【考點】全等三角形的判定與性質;平行四邊形的性質.
【專題】證明題.
【分析】(1)延長DE交AB于點G，連接AD.構建全等三角形△AED≌△DFB(SAS)，則由該全等三角形的對應邊相等證得結論;
(2)設AC與FD交于點O.利用(1)中全等三角形的對應角相等，等角的補角相等以及三角形內角和定理得到∠EOD=90°，即DF⊥AC.
【解答】證明：(1)延長DE交AB于點G，連接AD.
∵四邊形BCDE是平行四邊形，
∴ED∥BC，ED=BC.
∵點E是AC的中點，∠ABC=90°，
∴AG=BG，DG⊥AB.
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°.
又BF=BC，
∴BF=DE.
∴在△AED與△DFB中， ，
∴△AED≌△DFB(SAS)，
∴AE=DF，即DF=AE;
(2)設AC與FD交于點O.
∵由(1)知，△AED≌△DFB，
∴∠AED=∠DFB，
∴∠DEO=∠DFG.
∵∠DFG+∠FDG=90°，
∴∠DEO+∠EDO=90°，
∴∠EOD=90°，即DF⊥AC.
【點評】本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質.全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件.
22.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，AE∥BC，CE⊥AE，垂足為E.
(1)求證：△ABD≌△CAE;
(2)連接DE，線段DE與AB之間有怎樣的位置和數量關系?請證明你的結論.
【考點】全等三角形的判定與性質;等腰三角形的性質;平行四邊形的判定與性質.
【專題】證明題.
【分析】(1)運用AAS證明△ABD≌△CAE;
(2)易證四邊形ADCE是矩形，所以AC=DE=AB，也可證四邊形ABDE是平行四邊形得到AB=DE.
【解答】證明：(1)∵AB=AC，
∴∠B=∠ACD，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠ACD，
∴∠B=∠EAC，
∵AD是BC邊上的中線，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AE，
∴∠ADC=∠CEA=90°
在△ABD和△CAE中
∴△ABD≌△CAE(AAS);
(2)AB=DE，AB∥DE，如右圖所示，
∵AD⊥BC，AE∥BC，
∴AD⊥AE，
又∵CE⊥AE，
∴四邊形ADCE是矩形，
∴AC=DE，
∵AB=AC，
∴AB=DE.
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∵四邊形ADCE是矩形，
∴AE∥CD，AE=DC，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AB∥DE且AB=DE.
【點評】本題主要考查了三角形全等的判定與性質，矩形的判定與性質以及平行四邊形的判定與性質，難度不大，比較靈活.
23.如圖，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D.
求證：△ABC≌△AED.
【考點】全等三角形的判定.
【專題】證明題.
【分析】首先根據∠1=∠2可得∠BAC=∠EAD，再加上條件AB=AE，∠C=∠D可證明△ABC≌△AED.
【解答】證明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，
即∠BAC=∠EAD，
∵在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED(AAS).
【點評】此題主要考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.
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