初三數學上冊第一次月考試題(2)
初三數學上冊第一次月考試題
17.一塊矩形菜地的面積是120平方米，如果它的長減少2米，那么菜地就變成了正方形，則原矩形的長是 12 米.
考點： 一元二次方程的應用.
專題： 幾何圖形問題.
分析： 根據“如果它的長減少2m，那么菜地就變成正方形”可以得到長方形的長比寬多2米，利用矩形的面積公式列出方程即可.
解答： 解：∵長減少2m，菜地就變成正方形，
∴設原菜地的長為x米，則寬為(x﹣2)米，
根據題意得：x(x﹣2)=120，
解得：x=12或x=﹣10(舍去)，
故答案為：12.
點評： 本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是弄清題意，并找到等量關系.
18.某企業為節約用水，自建污水凈化站，7月份凈化污水3000噸，9月份增加到3630噸，設這兩個月凈化污水量的平均每月增長的百分率為x，根據題意可列方程為 3000(1+x)2=3630 .
考點： 由實際問題抽象出一元二次方程.
專題： 增長率問題.
分析： 等量關系為：9月份凈化污水噸數=7月份凈化污水噸數×(1+平均每月增長的百分率)2，把相關數值代入即可求解.
解答： 解：∵7月份凈化污水3000噸，平均每月增長的百分率為x，
∴8月份凈化污水3000×(1+x)，
∴9月份凈化污水3000×(1+x)×(1+x)=3000×(1+x)2，
∴可列方程為：3000(1+x)2=3630，
故答案為：3000(1+x)2=3630.
點評： 本題考查求平均變化率的方法.若設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經過兩次變化后的數量關系為a(1±x)2=b.得到9月份凈化污水噸數的等量關系是解決本題的關鍵.
三、解方程：(每小題15分，共15分)
19.(15分)(2015秋•許昌縣校級月考)解方程：
(1)x2﹣2x﹣8=0(用配方法解方程)
(2)3x(x﹣2)=2(2﹣x)
(3)(x﹣6)2=(2x﹣6)2.
考點： 解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法.
分析： (1)先把常數項移到等號的右邊，然后進行配方，進而得到方程的根;
(2)方程提取公因式(x﹣2)，進而得到(x﹣2)(3x﹣2)=0，解兩個一元一次方程即可;
(3)利用平方差公式得到[(x﹣6)+(2x﹣6)][(x﹣6)﹣(2x﹣6)]=0，整理后得到x(x﹣4)=0，解方程即可求解.
解答： 解：(1)∵x2﹣2x﹣8=0，
∴x2﹣2x=8，
∴x2﹣2x+1=8+1，
∴(x﹣1)2=9，
∴x﹣1=±3，
∴x1=4，x2=﹣2;
(2)∵3x(x﹣2)=2(2﹣x)
∴3x(x﹣2)+2(x﹣2)=0，
∴(x﹣2)(3x﹣2)=0，
∴x﹣2=0或3x﹣2=0，
∴x1=2，x2= ;
(3)∵(x﹣6)2=(2x﹣6)2，
∴[(x﹣6)+(2x﹣6)][(x﹣6)﹣(2x﹣6)]=0，
∴﹣x(3x﹣12)=0，
∴x(x﹣4)=0，
∴x1=0，x2=4.
點評： 本題考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據方程的特點靈活選用合適的方法.
四、解答題：(5小題，共51分)
20.已知：實數x滿足(x2+x)2﹣(x2+x)﹣6=0，求：代數式x2+x+5的值.
考點： 換元法解一元二次方程.
分析： 設x2+x=t，則由原方程得到關于t的一元二次方程，通過解該方程得到x2+x的值;然后將其代入所求的代數式進行求值.
解答： 解：設x2+x=t，則
t2﹣t﹣6=0，
整理，得
(t﹣3)(t+2)=0，
解得t=3或t=﹣2(舍去)，
即x2+x=3，
所以x2+x+5=3+5=8，即x2+x+5的值為8.
點評： 本題主要考查了換元法，即把某個式子看作一個整體，用一個字母去代替它，實行等量替換.
21.(10分)(2015秋•許昌縣校級月考)已知關于x的一元二次方程x2+kx﹣3=0
(1)求證：不論k為何實數，方程總有兩個不相等的實數根;
(2)當k=2時，用配方法解此一元二次方程.
考點： 根的判別式;解一元二次方程-配方法.
分析： (1)先進行判別式得到△=k2+12，再根據非負數的性質得到△>0，然后根據判別式的意義即可得到結論;
(2)代入k的值得出一元二次方程，用配方法解方程即可.
解答： (1)證明：△=k2+12，
∵k2≥0，
∴k2+12>0，
∴不論k為何實數，方程總會有兩個不相等的實數根;
(2)當k=2時，方程為x2+2x﹣3=0，
x2+2x+1=1+3
(x+1)2=4
x+1=±2
x1=1，x2=﹣3.
點評： 本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2﹣4ac：當△>0，方程有兩個不相等的實數根;當△=0，方程有兩個相等的實數根;當△<0，方程沒有實數根.以及利用配方法解一元二次方程.
22.(10分)(2015秋•許昌縣校級月考)一間會議室，它的地面是長方形的，長為40米，寬為30米，現在準備在會議室地面的中間鋪一塊地毯，要求四周未鋪地毯的部分寬度相等，而且地毯的面積是會議室地面面積的一半，則地面上未鋪地毯的部分寬度是多少米?
考點： 一元二次方程的應用.
專題： 幾何圖形問題.
分析： 等量關系為：地毯的長×地毯的寬=會議室面積的一半，把相關數值代入求得合適的解即可.
解答： 解：設地面上未鋪地毯的部分寬度是x米.
(40﹣2x)(35﹣2x)= ×40×30，
解得x1=30(不合題意，舍去)，x2=5.
∴x=5.
答：地面上未鋪地毯的部分寬度是5米.
點評： 考查一元二次方程的應用;得到地毯的邊長是解決本題的易錯點;得到地毯面積的等量關系是解決本題的關鍵.
23.(10分)(2015秋•許昌縣校級月考)如圖，某小區規劃在一個長30m、寬20m的長方形ABCD上修建三條同樣寬的通道，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種花草.要使每一塊花草的面積都為78m2，那么通道的寬應設計成多少m?
考點： 一元二次方程的應用.
專題： 幾何圖形問題.
分析： 設道路的寬為xm，將6塊草地平移為一個長方形，長為(30﹣2x)m，寬為(20﹣x)m.根據長方形面積公式即可列方程(30﹣2x)(20﹣x)=6×78.
解答： 解：設道路的寬為xm，由題意得：
(30﹣2x)(20﹣x)=6×78，
解得x=2或x=﹣16(舍去)，
答：通道應設計成2米.
點評： 此題主要考查了一元二次方程的應用，掌握長方形的面積公式，求得6塊草地平移為一個長方形的長和寬是解決本題的關鍵.
24.(12分)(2015秋•許昌縣校級月考)某水果商以2元/千克的價格，購進一批蘋果，以3元/千克的價格出售，每天可售出200千克.為了盡快減少庫存，商戶決定降價銷售，經調查：每降價0.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天要上交管理費24元，若水果商每天欲得盈利200元，則應將蘋果每千克售價降低多少元?
考點： 一元二次方程的應用.
專題： 銷售問題.
分析： 設應將水果售價降低x元.那么每千克的利潤為：(3﹣2﹣x)，由于這種水果每降價O.1元/千克，每天可多售出40千克.所以降價x元，則每天售出數量為：200+ 千克.本題的等量關系為：每千克的利潤×每天售出數量﹣固定成本=200.
解答： 解：設應將水果售價降低x元.
根據題意，得[(3﹣2)﹣x](200+ )﹣24=200.
原式可化為：50x2﹣25x+3=0，
解這個方程，得x1=0.2，x2=0.3.
因為購買成本不超過600元，x=0.3不符合題意，舍去，
故x=0.2.
答：應將水果售價降低0.2元.
點評： 本題考查理解題意的能力，關鍵是求出每千克的利潤，求出總銷售量，從而得到利潤.根據售價和銷售量的關系，以利潤做為等量關系列方程求解.
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