高二數學上學期期末聯考試題
高二數學上學期期末聯考試題
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高二數學上學期期末聯考試題
數學試題(理科)
本試卷分第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(填空題和解答題)兩部分。滿分150分; 考試時間120分鐘.考試結束后，監考教師將答題紙和答題卡一并收回。
第Ⅰ卷(共50分)
注意事項：
本試卷分第I卷和第Ⅱ卷兩部分，共4頁.滿分150分，考試用時120分鐘.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.
注意事項：
1.答題前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號、考生號、縣區和科類填寫在答題卡和試卷規定的位置上.
2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑;如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.答案寫在試卷上無效.
3.第Ⅱ卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應的位置，不能寫在試卷上;如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案;不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效.
4.填空題請直接填寫答案，解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
一、選擇題：本大題共10個小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.下列雙曲線中，漸近線方程為 的是( )
A. B. C. D.
2.設 ，則“ ”是“ ”的( )條件
A.充分而不必要 B. 必要而不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要
3.在 中，如果 ，則該三角形是
A.等腰三角形 B.直角三角 形 C.等腰或直角三角形 D.以上答案均不正確
4.已知數列 的前 項和 ，那么 的值為
A. B. C. D.
5.在平面直角坐標系中，不等式組 表示的平面區域的面積是( )
A. B. C. D.
6.若不等式 的解集為 空集，則實數 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
7.下列命題中，說法正確的是( )
A.命題“若 ，則 ”的否命題為“若 ，則 ”
B.“ ”是“ ”的必要不充分條件
C.命題“ ∈R，使得 ”的否定是：“ ∈R，均有 ”
D.命題“在 中，若 ，則 ”的逆否命題為真命題
8.等差數列 和 的前n項和分別為Sn和Tn，且 ，則
A. B. C. D.
9.在 中， 則 =( )
A. B. C. D.
10.已知橢圓 的右焦點為 .短軸的一個端點為 ，直線 交橢圓 于 兩點.若 ，點 到直線 的距離不小于 ，則橢圓 的離心率的取值范圍是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共100分)
二、填空題：本大題共5個小題，每小題5分，共25分，把答案填寫在答題紙中橫線上。
11.已知等比數列 中， ，那么 的值為 .
12.如果 ，那么 的最小值是 .
13.若拋物線 的準線經過雙曲線 的一個焦點，則 .
14. 設 的內角 ， ， 的對邊分別為 ， ， ，若 ， ， ，則 .
15. 已知 ， .若 或 ，則 的取值范圍是 .
三、解答題：本大題 共6小題，共75分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。
16.(本小題滿分12分)
如圖 中，已知點 在 邊上，且 ， ，
， .
(Ⅰ)求 的長;
(Ⅱ)求 .
(注： )
17.(本小題滿分12分)
已知命題 ：方程 表示焦點在 軸上的橢圓，命題 ：對任意實數 不等式 恒成立.
(Ⅰ)若“ ”是真命題，求實數 的取值范圍;
(Ⅱ)若“ ”為假命題，“ ”為真命題，求實數 的取值范圍.
18.(本小題滿分1 2分)
已知直線 經過拋物線 的焦點 ，且與拋物線相交于 ， 兩點.
(Ⅰ)當直線 的斜率為 時，求線段 的長;
(Ⅱ)記 ，試求t的值.
19.(本小題滿分12分)
某廠用鮮牛奶在某臺設備上生產 ， 兩種奶制品.生產1噸 產品需鮮牛奶2噸，使用設備1小時，獲利1000元;生產1噸 產品需鮮牛奶1.5噸，使用設備1.5小時，獲利1200元.要求每天 產品的產量不超過 產品產量的2倍，設備每天生產 ， 兩種產品時間之和不超過12小時. 假定每天至多可獲取鮮牛奶15噸，問該廠每天生產 ， 兩種奶制品各多少噸時，該廠獲利最大.
20.(本小題滿分13分)
數列 滿足 , .
(Ⅰ) 求 的值;
(Ⅱ) 求數列 前 項和 ;
(Ⅲ)設 ， ，求數列 的前 項和.
21.(本小題滿分14分)
如圖，橢圓 ： 的離心率是 ，過點 的動直線 與橢圓相交于 ， 兩點，當直線 平行與 軸時，直線 被橢圓 截得的線段長為 .
(Ⅰ)求橢圓 的方程;
(Ⅱ)在 軸上，是否存在與點 不同的定點 ，使得 恒成立?若存在，求出點 的坐標;若不存在，請說明理由.
數學試題答案
選擇題答案(文理)：AACDB CDBCB
11. .
12. .
13.【答案】
14. 1 .
15.則 的取值范圍是 .
16.(Ⅰ)由 知，
………………………2分
在△ABD中，由余弦定理知
即 ，…………………………4分
解得 或
顯然 ，故 .…………………………6分
(Ⅱ)由 得 ……………………8分
在△ABD中，由正弦定理知 ，
故 …………………………10分
.…………………………12分
17.解：(Ⅰ)因為對任意實數 不等式 恒成立，
所以 ，解得 ，.…………2分
又“ ”是真命題等價于“ ”是假命題，.…………3分
所以所求實數 的取值范圍是 .…………4分
17.解：(Ⅰ)因為對任意實數 不等式 恒成立，
所以 ，解得 ，.…………2分
又“ ”是真命題等價于“ ”是假命題，.…………3分
所以所求實數 的取值范圍是 .…………4分
(Ⅱ) ，……6分
，………7分
，無解…………9分
，…………11分
.…………12分
18.(本小題滿分12分)
已知直線 經過拋物線 的焦點 ，且與拋物線相交于 ， 兩點.
(Ⅰ)當直線 的斜率為 ，求線段 的長;
(Ⅱ)記 ，試求t的值.
解：(Ⅰ)由題意知，拋物線的焦點 ，準線方程為： .…………1分
設 ， ，由拋物線的定義知
， ，
于是 .………………3分
由 ，所以直線 的方程為 ，
解方程組 ，消去 得 .………………4分
由韋達定理得 ，
于是
所以，線段 的長是 .…………………………6分
(Ⅱ)設 ,直線 的方程為
聯立 得 ，
, …………………………8分
因為, , 異號,又
…………………………11分
所以 , 所求t的值為 . …… ……………………12分
方法二：設 ,
當直線 的斜率不存在時， ， ;………7分
當直線 的斜率不存在時，設直線 方程為
聯立 消去 得 ，
, …………………………9分
………………11分
所以 , 所求t的值為 . …………………………12分
19.(本小題滿分12分)
某廠用鮮牛奶在某臺設備上生產 ， 兩種奶制品.生產1噸 產品需鮮牛奶2噸，使用設備1小時，獲利1000元;生產1噸 產品需鮮牛奶1.5噸，使用設備1.5小時，獲利1200元. 要求每天 產品的產量不超過 產品產量的2倍，設備每天生產 ， 兩種產品時間之和不超過12小時. 假定每天可獲取的鮮牛奶數量15(單位：噸)，問該廠每天生產 ， 兩種奶制品各多少噸時，該廠獲利最大.
解：設每天 ， 兩種產品的生產數量分別為 ， ，相應的獲利為 ，則有
…………4分
目標函數為 . …………5分
上述不等式組表示的平面區域如圖,陰影部分(含邊界)即為可行域.…………7分
作直線 ，即直線 . 把直線 向右上方平移
到 的位置，直線 經過可行域上的點 ，此時 取得最大值.…………8分
由 解得點 的坐標為 .…………10分
∴當 時， (元).
答：該廠每天生產 奶制品 噸， 奶制品 噸，可獲利最大為 元.…12分
20.(本小題滿分13分)
數列 滿足 , .
(Ⅰ) 求 的值;
(Ⅱ) 求數列 前 項和 ;
(Ⅲ)(理科)設 ， ，求數列 的前 項和.
解：(Ⅰ)令 ，得 ，
令 ，有 ，得 ，
令 ，有 ，得 .…………3分
(Ⅱ)當 時， ， ①
， ②
②―①，得 ，…………………5分
所以 ，
又當 時， 也適合 ，
所以， ( )………………… 7分
(Ⅲ)(理科)
…………………9分
故 …………………10分
……12分
所以數列 的前 項和為 …………………13分
21.(本小題滿分14分)
如圖，橢圓E： 的離心率是 ，過點 的動直線 與橢圓相交于 ， 兩點，當直線 平行與 軸時，直線 被橢圓 截得的線段長為 .
(Ⅰ)求橢圓 的方程;
(Ⅱ)在 軸上，是否存在與點 不同的定點 ，使得 恒成立?若存在，求出點 的坐標;若不存在，請說明理由.
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