九年級數學上冊第一次月考試題(2)
九年級數學上冊第一次月考試題
20.(10分)(2015秋•江陰市校級月考)(1)計算：﹣24﹣ +|1﹣4sin60°|+(π﹣1)0;
(2)已知x2﹣4x+l=0，求 ﹣ 的值.
考點： 實數的運算;分式的化簡求值;零指數冪;特殊角的三角函數值.
分析： (1)分別進行乘方、絕對值的化簡、二次根式的化簡、零指數冪等運算，然后合并;
(2)先根據題意求出x2﹣4x=﹣l，然后進行分式的化簡，帶入求解.
解答： 解：(1)原式=﹣16﹣2 +2 ﹣1+1
=﹣16;
(2)∵x2﹣4x+l=0，
∴x2﹣4x=﹣l，
∴ ﹣ =
=
=
=﹣23.
點評： 本題考查了實數的運算，涉及了乘方、絕對值的化簡、二次根式的化簡、零指數冪等知識，掌握運算法則是解答本題的關鍵.
21.已知方程x2﹣2mx+3m=0的兩根x1、x2滿足(x1+2)(x2+2)=22﹣m2，求m的值.
考點： 根與系數的關系.
專題： 計算題.
分析： 先根據根與系數的關系得到x1+x2=2m，x1x2=3m，再把已知條件變形可得3m+4m+4=22﹣m2，解得m1=﹣9，m2=2，然后利用根的判別式確定滿足條件的m的值.
解答： 解：根據題意得x1+x2=2m，x1x2=3m，
∵(x1+2)(x2+2)=22﹣m2，
∴x1x2+2(x1+x2)+4=22﹣m2，
∴3m+4m+4=22﹣m2，
整理得m2+7m﹣18=0，解得m1=﹣9，m2=2，
當m=﹣9時，原方程變形為x2+18x﹣27=0，△>0，方程有兩個不相等的實數解;
當m=2時，原方程變形為x2﹣4x+6=0，△<0，方程沒有實數解，
∴m的值為﹣9.
點評： 本題考查了根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時，x1+x2= ，x1x2= .
22.在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F為線段DE上一點，且∠AFE=∠B.
(1)求證：△ADF∽△DEC;
(2)若AB=8，AD=6 ，AF=4 ，求AE的長.
考點： 相似三角形的判定與性質;勾股定理;平行四邊形的性質.
專題： 壓軸題.
分析： (1)利用對應兩角相等，證明兩個三角形相似△ADF∽△DEC;
(2)利用△ADF∽△DEC，可以求出線段DE的長度;然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出線段AE的長度.
解答： (1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC.
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C.
在△ADF與△DEC中，
∴△ADF∽△DEC.
(2)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB=8.
由(1)知△ADF∽△DEC，
∴ ，∴DE= = =12.
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE= = =6.
點評： 本題主要考查了相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質和勾股定理三個知識點.題目難度不大，注意仔細分析題意，認真計算，避免出錯.
23.⊙O的弦AB=8，直徑CD⊥AB于M，OM：MD=3：2，E是劣弧CB上一點，連結CE并延長交CE的延長線于點F.求：
(1)⊙O的半徑;
(2)求CE•CF的值.
考點： 垂徑定理;勾股定理;相似三角形的判定與性質.
專題： 計算題.
分析： (1)連結OB，設OM=3k，則MD=2k，OD=5k，根據垂徑定理由直徑CD⊥AB得到BM=AM= AB=4，在Rt△OBM中，OB=5k，OM=3k，根據勾股定理得BM=4k，
則4k=4，解得k=1，于是得到圓O的半徑為5;
(2)連結AE，在Rt△ACM中，CM=OC+OM=8，AM=4，由勾股定理計算出AC2=AM2+CM2=80，根據垂徑定理由直徑CD⊥AB得到弧AC=弧BC，在根據圓周角定理得∠AEC=∠CAF，易證得△CAE∽△CFA，得到相似比AC：CF=CE：AC，然后根據比例性質得CE•CF=AC2=80.
解答： 解：(1)連結OB，設OM=3k，則MD=2k，OD=5k，
∵直徑CD⊥AB，
∴BM=AM= AB=4，
在Rt△OBM中，OB=5k，OM=3k，
∴BM= =4k，
∴4k=4，解得k=1，
∴圓O的半徑為5;
(2)連結AE，
在Rt△ACM中，CM=OC+OM=5+3=8，AM=4，
∴AC2=AM2+CM2=16+64=80，
∵直徑CD⊥AB，
∴弧AC=弧BC，
∴∠AEC=∠CAF，
又∵∠ACF=∠FCA，
∴△CAE∽△CFA，
∴AC：CF=CE：AC，
∴CE•CF=AC2=80.
點評： 本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.也考查了勾股定理和相似三角形的判定與性質.
24.某數學活動小組選定測量小河對岸大樹BC的高度，他們在斜坡上D處測得大樹頂端B的仰角是30°，朝大樹方向下坡走6米到達坡底A處，在A處測得大樹頂端B的仰角是48°，若坡角∠FAE=30°，求大樹的高度(結果保留整數，參考數據：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11， ≈1.73)
考點： 解直角三角形的應用-仰角俯角問題;解直角三角形的應用-坡度坡角問題.
分析： 根據矩形性質得出DG=CH，CG=DH，再利用銳角三角函數的性質求出問題即可.
解答： 解：過點D作DG⊥BC于GDH⊥CE于H，
則四邊形DHCG為矩形.
故DG=CH，CG=DH，
在直角三角形AHD中，
∵∠DAH=30°，AD=6，
∴DH=3，AH=3 ，
∴CG=3，
設BC為x，
在直角三角形ABC中，AC= = ，
∴DG=3 + ，BG=x﹣3，
在直角三角形BDG中，∵BG=DG•tan30°，
∴x﹣3=(3 + )
解得：x≈13，
∴大樹的高度為：13米.
點評： 本題考查了仰角、坡角的定義，解直角三角形的應用，能借助仰角構造直角三角形，并結合形利用三角函數解直角三角形是解題的關鍵.
25.隨著人們經濟收入的不斷提高及汽車產業的快速發展，汽車已越來越多地進入普通家庭，成為居民消費新的增長點.據某市交通部門統計，2008年底全市汽車擁有量為15萬輛，而截止到2010年底，全市的汽車擁有量已達21.6萬輛.
(1)求2008年底至2010年底該市汽車擁有量的年平均增長率;
(2)為保護城市環境，緩解汽車擁堵狀況，從2011年初起，該市交通部門擬控制汽車總量，要求到2012年底全市汽車擁有量不超過23.196萬輛;另據估計，該市從2011年起每年報廢的汽車數量是上年底汽車擁有量的10%.假定在這種情況下每年新增汽車數量相同，請你計算出該市每年新增汽車數多不能超過多少萬輛.
考點： 一元二次方程的應用;一元一次不等式的應用.
分析： (1)設該市汽車擁有量的年平均增長率為x，根據題意列出方程，不合題意的解，舍去即可;
(2)設全市每年新增汽車數量為y萬輛，則得出2011年底和2012年底全市的汽車擁有量，從而列出不等式求解即可.
解答： 解：(1)設該市汽車擁有量的年平均增長率為x，
根據題意得，15(1+x)2=21.6，
解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合題意，舍去).
答：該市汽車擁有量的年平均增長率為20%;
(2)設全市每年新增汽車數量為y萬輛，
則2011年底全市的汽車擁有量為[21.6×(1﹣10%)+y]萬輛，
2012年底全市的汽車擁有量為[21.6×(1﹣10%)+y]×(1﹣10%)+y萬輛.
根據題意得：[21.6×(1﹣10%)+y]×(1﹣10%)+y≤23.196，
解得y≤3.
答：該市每年新增汽車數量最多不能超過3萬輛.
點評： 本題考查了一元二次方程和不等式的應用，判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解.找到關鍵描述語，找到等量關系準確的列出方程是解決問題的關鍵.
26.(10分)(2015•寧夏)是一副學生用的三角板，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，∠B=30°;在△A1B1C1中，∠C1=90°，∠A1=45°，∠B1=45°，且A1B1=CB.若將邊A1C1與邊CA重合，其中點A1與點C重合.將三角板A1B1C1繞點C(A1)按逆時針方向旋轉，旋轉過的角為α，旋轉過程中邊A1C1與邊AB的交點為M，設AC=a.
(1)計算A1C1的長;
(2)當α=30°時，證明：B1C1∥AB;
(3)若a= ，當α=45°時，計算兩個三角板重疊部分形的面積;
(4)當α=60°時，用含a的代數式表示兩個三角板重疊部分形的面積.
(參考數據：sin15°= ，cos15°= ，tan15°=2﹣ ，sin75°= ，cos75°= ，tan75°=2+ )
考點： 幾何變換綜合題.
專題： 壓軸題;創新題型.
分析： (1)在Rt△ABC中，由特殊銳角三角函數值，先求得BC的長，然后在Rt△A1B1C1中利用特殊銳角三角函數即可求得A1C1的長;
(2)利用三角形的外角的性質求得∠BMC=90°，然后利用同位角相等，兩直線平行進行判定即可;
(3)兩個三角板重疊部分形的面積=△A1B1C1的面積﹣△BC1M的面積;
(4)兩個三角板重疊部分形的面積=△CC1B1的面積﹣三角形FB1C的面積﹣三角形DC1M的面積.
解答： 解：(1)在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=a，
由特殊銳角三角函數可知： ，
∴BC= .
∴B1C=
在Rt△A1B1C1，∠B1=∠45°，
∴ .
∴A1C1= = .
(2)∵∠ACM=30°，∠A=60°，
∴∠BMC=90°.
∴∠C1=∠BMC.
∴B1C1∥AB.
(3)如下：
由(1)可知：A1C1= = =3+
∴△A1B1C1的面積= =
∵∠A1B1C1=45°，∠ABC=30°
∴∠MBC1=15°
在Rt△BC1M中，C1M=BCtan15°=(3+ )(2﹣ )=3﹣ ，
∴Rt△BC1M的面積= = =3.
∴兩個三角板重疊部分形的面積=△A1B1C1的面積﹣△BC1M的面積=3 +3.
(4)由(1)可知：BC= ，A1C1= ，
∴C1F=A1C1•tan30°= a，
∴ = = × a× a= a2，
∵∠MCA=60°，∠A=60°，
∴∠AMC=60°
∴MC=AC=MA=a.
∴C1M=C1A1﹣MC= .
∵∠MCA=60°，
∴∠C1A1B=30°，
∴∠C1MD=∠B+∠C1A1B=60°
在Rt△DC1M中，由特殊銳角三角函數可知：C1D=C1M•tan60°= a，
∴ = C1M•C1D= a2，
兩個三角板重疊部分形的面積= ﹣ = C1M= a2﹣ a2= a2.
點評： 本題主要考查的是銳角三角函數和三角形的綜合應用，難度較大，解答本題的關鍵是靈活應用銳角函數求得相關線段的長度.
27.(12分)(2012•北京)在平面直角坐標系xOy中，對于任意兩點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)的“非常距離”，給出如下定義：
若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，則點P1與點P2的“非常距離”為|x1﹣x2|;
若|x1﹣x2|<|y1﹣y2|，則點P1與點P2的“非常距離”為|y1﹣y2|.
例如：點P1(1，2)，點P2(3，5)，因為|1﹣3|<|2﹣5|，所以點P1與點P2的“非常距離”為|2﹣5|=3，也就是1中線段P1Q與線段P2Q長度的較大值(點Q為垂直于y軸的直線P1Q與垂直于x軸的直線P2Q交點).
(1)已知點A(﹣ ，0)，B為y軸上的一個動點，
①若點A與點B的“非常距離”為2，寫出一個滿足條件的點B的坐標;
②直接寫出點A與點B的“非常距離”的最小值;
(2)已知C是直線y= x+3上的一個動點，
①2，點D的坐標是(0，1)，求點C與點D的“非常距離”的最小值及相應的點C的坐標;
②3，E是以原點O為圓心，1為半徑的圓上的一個動點，求點C與點E的“非常距離”的最小值及相應的點E與點C的坐標.
考點： 一次函數綜合題.
專題： 壓軸題.
分析： (1)①根據點B位于y軸上，可以設點B的坐標為(0，y).由“非常距離”的定義可以確定|0﹣y|=2，據此可以求得y的值;
②設點B的坐標為(0，y).因為|﹣ ﹣0|≥|0﹣y|，所以點A與點B的“非常距離”最小值為|﹣ ﹣0|= ;
(2)①設點C的坐標為(x0， x0+3).根據材料“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，則點P1與點P2的“非常距離”為|x1﹣x2|”知，C、D兩點的“非常距離”的最小值為﹣x0= x0+2，據此可以求得點C的坐標;
②當點E在過原點且與直線y= x+3垂直的直線上時，點C與點E的“非常距離”最小，即E(﹣ ， ).解答思路同上.
解答： 解：(1)①∵B為y軸上的一個動點，
∴設點B的坐標為(0，y).
∵|﹣ ﹣0|= ≠2，
∴|0﹣y|=2，
解得，y=2或y=﹣2;
∴點B的坐標是(0，2)或(0，﹣2);
②點A與點B的“非常距離”的最小值為
(2)①2，取點C與點D的“非常距離”的最小值時，需要根據運算定義“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，則點P1與點P2的“非常距離”為|x1﹣x2|”解答，此時|x1﹣x2|=|y1﹣y2|.即AC=AD，
∵C是直線y= x+3上的一個動點，點D的坐標是(0，1)，
∴設點C的坐標為(x0， x0+3)，
∴﹣x0= x0+2，
此時，x0=﹣ ，
∴點C與點D的“非常距離”的最小值為：|x0|= ，
此時C(﹣ ， );
②當點E在過原點且與直線y= x+3垂直的直線上時，點C與點E的“非常距離”最小，設E(x，y)(點E位于第二象限).則
，
解得， ，
故E(﹣ ， ).
﹣ ﹣x0= x0+3﹣ ，
解得，x0=﹣ ，
則點C的坐標為(﹣ ， )，
最小值為1.
點評： 本題考查了一次函數綜合題.對于信息給予題，一定要弄清楚題干中的已知條件.本題中的“非常距離”的定義是正確解題的關鍵.
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