2017年高考山東卷理數試題和答案(2)
2017年高考山東卷理數試題解析版
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
(1)設函數的定義域，函數的定義域為,則
(A)(1,2) (B) (C)(-2,1) (D)[-2,1)
【答案】D
【考點】 1.集合的運算2.函數的定義域3.簡單不等式的解法.
【名師點睛】集合的交、并、補運算問題，應先把集合化簡再計算，常常借助數軸或韋恩圖進行處理.
(2)已知,i是虛數單位，若，則a=
(A)1或-1 (B) (C)- (D)
【答案】A 【解析】試題分析：由得，所以，故選A.
【考點】 1.復數的概念.2.復數的運算.
【名師點睛】復數的共軛復數是，據此結合已知條件，求得的方程即可.
(3)已知命題p:;命題q：若a>b，則，下列命題為真命題的是
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】試題分析：由時有意義，知p是真命題，由可知q是假命題，即均是真命題，故選B.
【考點】1.簡易邏輯聯結詞.2.全稱命題.
【名師點睛】解答簡易邏輯聯結詞相關問題，關鍵是要首先明確各命題的真假，利用或、且、非真值表，進一步作出判斷.
(4)已知x,y滿足，則z=x+2y的最大值是
(A)0 (B) 2 (C) 5 (D)6
【答案】C
【考點】 簡單的線性規劃
【名師點睛】利用線性規劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是：
(1)在平面直角坐標系內作出可行域;
(2)考慮目標函數的幾何意義，將目標函數進行變形;
(3)確定最優解：在可行域內平行移動目標函數變形后的直線，從而確定最優解;
(4)求最值：將最優解代入目標函數即可求出最大值或最小值.
(5)為了研究某班學生的腳長(單位：厘米)和身高(單位：厘米)的關系，從該班隨機抽取10名學生，根據測量數據的散點圖可以看出與之間有線性相關關系，設其回歸直線方程為.已知，，.該班某學生的腳長為24，據此估計其身高為
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】試題分析：由已知 ,選C.
【考點】線性相關與線性回歸方程的求法與應用.
【名師點睛】(1)判斷兩個變量是否線性相關及相關程度通常有兩種方法：(1)利用散點圖直觀判斷;(2)將相關數據代入相關系數公式求出，然后根據的大小進行判斷.求線性回歸方程時在嚴格按照公式求解時，一定要注意計算的準確性.
(6)執行兩次右圖所示的程序框圖，若第一次輸入的的值為，第二次輸入的的值為，則第一次、第二次輸出的的值分別為
(A)0，0 (B)1，1 (C)0，1 (D)1，0
【答案】D
【考點】程序框圖，直到型循環結構
【名師點睛】識別算法框圖和完善算法框圖是高考的重點和熱點.解決這類問題：首先，要明確算法框圖中的順序結構、條件結構和循環結構;第二，要識別運行算法框圖，理解框圖解決的實際問題;第三，按照題目的要求完成解答.對框圖的考查常與函數和數列等相結合，進一步強化框圖問題的實際背景.
(7)若，且，則下列不等式成立的是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B
【解析】試題分析：，且
，所以選B.
【考點】1.指數函數與對數函數的性質.2.基本不等式.
【名師點睛】比較冪或對數值的大小,若冪的底數相同或對數的底數相同,通常利用指數函數或對數函數單調性進行比較,若底數不同,可考慮利用中間量進行比較.本題雖小，但考查的知識點較多，需靈活利用指數函數、對數函數的性質及基本不等式作出判斷.
(8)從分別標有，，，的張卡片中不放回地隨機抽取2次，每次抽取1張.則抽到的2張卡片上的數奇偶性不同的概率是
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【考點】古典概型
【名師點睛】概率問題的考查，側重于對古典概型和對立事件的概率考查，屬于簡單題.江蘇對古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化計數方法.因此先明確所求事件本身的含義，然后一般利用枚舉法、樹形圖解決計數問題，而當正面問題比較復雜時，往往采取計數其對立事件.
(9)在中，角，，的對邊分別為，，.若為銳角三角形，且滿足
，則下列等式成立的是
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】試題分析：
所以，選A.
【考點】1.三角函數的和差角公式2.正弦定理.
【名師點睛】本題較為容易，關鍵是要利用兩角和差的三角函數公式進行恒等變形. 首先用兩角和的正弦公式轉化為含有，，的式子，用正弦定理將角轉化為邊，得到.解答三角形中的問題時，三角形內角和定理是經常用到的一個隱含條件，不容忽視.
(10)已知當時，函數的圖象與的圖象有且只有一個交點，則正實數的取值范圍是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B
【考點】函數的圖象、函數與方程及函數性質的綜合應用.
【名師點睛】已知函數有零點求參數取值范圍常用的方法和思路
(1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍;
(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決;
(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解.
第II卷
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分
(11)已知的展開式中含有項的系數是，則 .
【答案】
【解析】試題分析：由二項式定理的通項公式，令得：，解得.
【考點】二項式定理
【名師點睛】根據二項式展開式的通項，確定二項式系數或確定二項展開式中的指定項，是二項式定理問題中的基本問題，往往要綜合運用二項展開式的系數的性質、二項式展開式的通項求解. 本題能較好地考查考生的思維能力、基本計算能力等.
(12)已知是互相垂直的單位向量，若與的夾角為，則實數的值是 .
【答案】
【解析】試題分析：，
，
，
，解得：.
【考點】1.平面向量的數量積.2.平行向量的夾角.3.單位向量.
【名師點睛】
1.平面向量與的數量積為，其中是與的夾角，要注意夾角的定義和它的取值范圍：.
2.由向量的數量積的性質有，，，因此，利用平面向量的數量積可以解決與長度、角度、垂直等有關的問題.
3.本題主要利用向量的模與向量運算的靈活轉換，應用平面向量的夾角公式，建立的方程.
(13)由一個長方體和兩個圓柱體構成的幾何體的三視圖如右圖，則該幾何體的體積為 .
【答案】
【解析】試題分析：該幾何體的體積為.
【考點】1.三視圖.2.幾何體的體積.
【名師點睛】1.解答此類題目的關鍵是由多面體的三視圖想象出空間幾何體的形狀并畫出其直觀圖
2.三視圖中“正側一樣高、正俯一樣長、俯側一樣寬”，因此，可以根據三視圖的形狀及相關數據推斷出原幾何圖形中的點、線、面之間的位置關系及相關數據.3.利用面積或體積公式計算.
(14)在平面直角坐標系中，雙曲線的右支與焦點為的拋物線交于兩點，若，則該雙曲線的漸近線方程為 .
【答案】
【考點】1.雙曲線的幾何性質.2.拋物線的定義及其幾何性質.
【名師點睛】1.在雙曲線的幾何性質中，漸近線是其獨特的一種性質，也是考查的重點內容.對漸近線：(1)掌握方程;(2)掌握其傾斜角、斜率的求法;(3)會利用漸近線方程求雙曲線方程的待定系數.
求雙曲線方程的方法以及雙曲線定義和雙曲線標準方程的應用都和與橢圓有關的問題相類似.因此，雙曲線與橢圓的標準方程可統一為的形式，當，，時為橢圓，當時為雙曲線.
2.凡涉及拋物線上的點到焦點距離時，一般運用定義轉化為到準線距離處理.
(15)若函數(是自然對數的底數)在的定義域上單調遞增，則稱函數具有性質.下列函數中所有具有性質的函數的序號為 .
② ③ ④
【答案】①④
【解析】試題分析：①在上單調遞增，故具有性質;
②在上單調遞減，故不具有性質;
③，令，則，當時，，當時，，在上單調遞減，在上單調遞增，故不具有性質;
④，令，則，在上單調遞增，故具有性質.
【考點】1.新定義問題.2利用導數研究函數的單調性.
【名師點睛】
1.本題考查新定義問題，屬于創新題，符合新高考的走向.它考查學生的閱讀理解能力，接受新思維的能力，考查學生分析問題與解決問題的能力，新定義的概念實質上只是一個載體，解決新問題時，只要通過這個載體把問題轉化為我們已經熟悉的知識即可.
2.求可導函數單調區間的一般步驟
(1)確定函數f(x)的定義域(定義域優先);
(2)求導函數f′(x);
(3)在函數f(x)的定義域內求不等式f′(x)>0或f′(x)<0的解集.
(4)由f′(x)>0(f′(x)<0)的解集確定函數f(x)的單調增(減)區間.若遇不等式中帶有參數時，可分類討論求得單調區間.
3.由函數f(x)在(a，b)上的單調性，求參數范圍問題，可轉化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，要注意“=”是否可以取到.
三、解答題：本大題共6小題，共75分。
16.設函數，其中.已知.
()求;
()將函數的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，再將得到的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，求在上的最小值.
【答案】().()得最小值.
從而.
根據得到，進一步求最小值.
試題解析：()因為，
所以
即時，取得最小值.
【考點】1.兩角和與差的三角函數.2.三角函數圖象的變換與性質.
【名師點睛】此類題目是三角函數問題中的典型題目，可謂相當經典.解答本題，關鍵在于能利用三角公式化簡函數、進一步討論函數的性質，本題易錯點在于一是圖象的變換與解析式的對應，二是忽視設定角的范圍.難度不大，能較好的考查考生的基本運算求解能力及復雜式子的變形能力等.
17.如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形(及其內部)以邊所在直線為旋轉軸旋轉得到的，是的中點.
()設是上的一點，且，求的大小;
()當，，求二面角的大小.
【答案】().().
據相關數據即得所求的角.
思路二：
以為坐標原點，分別以，，所在的直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.
寫出相關點的坐標，求平面的一個法向量，平面的一個法向量
計算即得.
取的中點，連接，，.
因為，
所以四邊形為菱形，
所以.
取中點，連接，，.
則，，
所以為所求二面角的平面角.
又，所以.
在中，由于，
由余弦定理得，
所以，因此為等邊三角形，
故所求的角為.
解法二：
設是平面的一個法向量.
由可得
取，可得平面的一個法向量.
所以.
因此所求的角為.
【考點】1.垂直關系.2. 空間角的計算.
【名師點睛】此類題目是立體幾何中的常見問題.解答本題，關鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的相互轉化，通過嚴密推理，明確角的構成.立體幾何中角的計算問題，往往可以利用幾何法、空間向量方法求解，應根據題目條件，靈活選擇方法.本題能較好的考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力\轉化與化歸思想及基本運算能力等.
(18)(本小題滿分12分)在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用，現有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.
(I)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率。
(II)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數，求X的分布列與數學期望EX.
【答案】(I)(II)X的分布列為
X 0 1 2 3 4 P X的數學期望是.
得X的分布列為
X 0 1 2 3 4 P 進一步計算X的數學期望.
試題解析：(I)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，則
(II)由題意知X可取的值為：.則
因此X的分布列為
X 0 1 2 3 4 P
X的數學期望是
=
【考點】1.古典概型.2.隨機變量的分布列與數學期望.3.超幾何分布.
【名師點睛】本題主要考查古典概型的概率公式和超幾何分布概率計算公式、隨機變量的分布列和數學期望.解答本題，首先要準確確定所研究對象的基本事件空間、基本事件個數，利用超幾何分布的概率公式.本題屬中等難度的題目，計算量不是很大，能很好的考查考生數學應用意識、基本運算求解能力等.
(19)(本小題滿分12分)
已知{xn}是各項均為正數的等比數列，且x1+x2=3，x3-x2=2
()求數列{xn}的通項公式;
()如圖，在平面直角坐標系xOy中，依次連接點P1(x1, 1)，P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折線P1 P2…Pn+1，求由該折線與直線y=0，所圍成的區域的面積.
【答案】(I)(II)
因為,所以，
因此數列的通項公式為
(II)過……向軸作垂線，垂足分別為……,
由(I)得
記梯形的面積為.
由題意，
所以
……+
=……+ ①
又……+ ②
【考點】1.等比數列的通項公式;2.等比數列的求和;3.“錯位相減法”.
【名師點睛】本題主要考查等比數列的通項公式及求和公式、數列求和的“錯位相減法”.此類題目是數列問題中的常見題型.本題覆蓋面廣，對考生計算能力要求較高.解答本題，布列方程組，確定通項公式是基礎，準確計算求和是關鍵，易錯點是在“錯位”之后求和時，弄錯等比數列的項數.本題將數列與解析幾何結合起來，適當增大了難度，能較好的考查考生的數形結合思想、邏輯思維能力及基本計算能力等.
(20)(本小題滿分13分)
已知函數，，其中是自然對數的底數.
()求曲線在點處的切線方程;
()令，討論的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值.
【答案】().
()綜上所述：
當時，在上單調遞減，在上單調遞增，
函數有極小值，極小值是;
當時，函數在和和上單調遞增，在上單調遞減，函數有極大值，也有極小值，
極大值是
極小值是;
當時，函數在上單調遞增，無極值;
當時，函數在和上單調遞增，
在上單調遞減，函數有極大值，也有極小值，
極大值是;
極小值是.
【解析】試題分析：()求導數得斜率，由點斜式寫出直線方程.
，
即 .
()由題意得 ，
因為
，
令
則
所以在上單調遞增.
因為
所以 當時，
當時，
(1)當時，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
所以 當時取得極小值，極小值是 ;
極大值為，
當時取到極小值，極小值是 ;
當時，，
所以 當時，，函數在上單調遞增，無極值;
當時，
所以 當時，，單調遞增;
當時，，單調遞減;
當時，，單調遞增;
所以 當時取得極大值，極大值是;
當時取得極小值.
極小值是.
綜上所述：
當時，在上單調遞減，在上單調遞增，
函數有極小值，極小值是;
當時，函數在和和上單調遞增，在上單調遞減，函數有極大值，也有極小值，
【考點】1.導數的幾何意義.2.應用導數研究函數的單調性、極值.3.分類討論思想.
【名師點睛】1.函數f (x)在點x0處的導數f ′(x0)的幾何意義是曲線y=f (x)在點P(x0，y0)處的切線的斜率.相應地，切線方程為y−y0=f ′(x0)(x−x0).注意：求曲線切線時，要分清在點P處的切線與過點P的切線的不同.
2. 本題主要考查導數的幾何意義、應用導數研究函數的單調性與極值、分類討論思想.本題覆蓋面廣，對考生計算能力要求較高，是一道難題.解答本題，準確求導數是基礎，恰當分類討論是關鍵，易錯點是分類討論不全面、不徹底、不恰當，或因復雜式子變形能力差，而錯漏百出.本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、基本計算能力、分類討論思想等.
(21)(本小題滿分14分)
在平面直角坐標系中，橢圓：的離心率為，焦距為.
()求橢圓的方程;
()如圖，動直線：交橢圓于兩點，是橢圓上一點，直線的斜率為，且，是線段延長線上一點，且，的半徑為，是的兩條切線，切點分別為.求的最大值，并求取得最大值時直線的斜率.
【答案】(I).
()的最大值為，取得最大值時直線的斜率為.
試題解析：(I)由題意知 ，，
所以 ，
因此 橢圓的方程為.
()設，
聯立方程
得，
由題意知，
且，
所以 .
由題意可知圓的半徑為
由題設知，
所以
而
，
令，
則，
因此 ，
當且僅當，即時等號成立，此時，
【考點】1.橢圓的標準方程及其幾何性質;2.直線與圓錐曲線的位置關系;3. 二次函數的圖象和性質.
【名師點睛】本題對考生計算能力要求較高，是一道難題.解答此類題目，利用的關系，確定橢圓(圓錐曲線)方程是基礎，通過聯立直線方程與橢圓(圓錐曲線)方程的方程組，應用一元二次方程根與系數的關系，得到“目標函數”的解析式，應用確定函數最值的方法---如二次函數的性質、基本不等式、導數等求解.本題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯漏百出.本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等.
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