2017年江蘇省南京市中考數學模擬試卷(2)
20.2017年3月全國兩會勝利召開，某學校就兩會期間出現頻率最高的熱詞：A.藍天保衛戰，B.不動產保護，C.經濟增速，D.簡政放權等進行了抽樣調查，每個同學只能從中選擇一個“我最關注”的熱詞，是根據調查結果繪制的兩幅不完整的統計圖.請你根據統計圖提供的信息，解答下列問題：
(1)本次調查中，一共調查了 300 名同學;
(2)條形統計圖中，m= 60 ，n= 90 ;
(3)從該校學生中隨機抽取一個最關注熱詞D的學生的概率是多少?
【考點】X4：概率公式;VB：扇形統計圖;VC：條形統計圖.
【分析】(1)根據A的人數為105人，所占的百分比為35%，求出總人數，即可解答;
(2)C所對應的人數為：總人數×30%，B所對應的人數為：總人數﹣A所對應的人數﹣C所對應的人數﹣D所對應的人數，即可解答;
(3)根據概率公式，即可解答.
【解答】解：(1)105÷35%=300(人)，
故答案為：300;
(2)n=300×30%=90(人)，
m=300﹣105﹣90﹣45=60(人).
故答案為：60，90;
(3)從該校學生中隨機抽取一個最關注熱詞D的學生的概率是 = ，
答：從該校學生中隨機抽取一個最關注熱詞D的學生的概率是 .
21.，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AD是∠BAC的平分線.
(1)尺規作圖：過點D作DE⊥AC于E;
(2)求DE的長.
【考點】N2：作圖—基本作圖;KF：角平分線的性質.
【分析】(1)根據過直線外一點作直線垂線的作法即可畫出圖形;
(2)設DE=x，則AC= =5，跟進吧AD是∠BAC的平分線，∠ABC=90°，DE⊥AC可得出BD=DE=x，CD=BC﹣BD=4﹣x，再由S△ACD= = 求出x的值即可.
【解答】解：(1)方法1，1所示，過點D作AC的垂線即可;
方法2：運用角平分線的性質，以點D為圓心，BD的長為半徑畫圓，⊙D和AC相切于點E，連接DE即可.
(2)方法一：設DE=x，則AC= =5.
∵AD是∠BAC的平分線，∠ABC=90°，DE⊥AC，
∴BD=DE=x，CD=BC﹣BD=4﹣x.
∵S△ACD= = ，
∴ = ，解得x= ，
∴DE=x= .
方法二：設DE=x，則AC= =5.
∵AD是∠BAC的平分線，∠ABC=90°，DE⊥AC，
∴BD=DE=x，CD=BC﹣BD=4﹣x.
∵∠DEC=∠ABC=90°，∠C=∠C，
∴△DEC∽△ABC，
∴ = ，
∴ = ，解得x= ，
∴DE=x= .
方法三：設DE=x，則AC= =5.
∵AD是∠BAC的平分線，∠ABC=90°，DE⊥AC，
∴BD=DE=x，CD=BC﹣BD=4﹣x.
∵在Rt△ABC中，sin∠C= = ，
在Rt△DEC中，sin∠C= = ，
∴ = ，解得x= ，
∴DE=x= .
22.某班為參加學校的大課間活動比賽，準備購進一批跳繩，已知2根A型跳繩和1根B型跳繩共需56元，1根A型跳繩和2根B型跳繩共需82元.
(1)求一根A型跳繩和一根B型跳繩的售價各是多少元?
(2)學校準備購進這兩種型號的跳繩共50根，并且A型跳繩的數量不多于B型跳繩數量的3倍，請設計書最省錢的購買方案，并說明理由.
【考點】FH：一次函數的應用;9A：二元一次方程組的應用.
【分析】(1)設一根A型跳繩售價是x元，一根B型跳繩的售價是y元，根據：“2根A型跳繩和1根B型跳繩共需56元，1根A型跳繩和2根B型跳繩共需82元”列方程組求解即可;
(2)首先根據“A型跳繩的數量不多于B型跳繩數量的3倍”確定自變量的取值范圍，然后得到有關總費用和A型跳繩之間的關系得到函數解析式，確定函數的最值即可.
【解答】解：(1)設一根A型跳繩售價是x元，一根B型跳繩的售價是y元，
根據題意，得：
，
解得： ，
答：一根A型跳繩售價是10元，一根B型跳繩的售價是36元;
(2)設購進A型跳繩m根，總費用為W元，
根據題意，得：W=10m+36(50﹣m)=﹣26m+1800，
∵﹣26<0，
∴W隨m的增大而減小，
又∵m≤3(50﹣m)，解得：m≤37.5，
而m為正整數，
∴當m=37時，W最小=﹣2×37+350=276，
此時50﹣37=13，
答：當購買A型跳繩37只，B型跳繩13只時，最省錢.
23.，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一個動點(F不與A，B重合)，過點F的反比例函數y= (k>0)的圖象與BC邊交于點E.
(1)當F為AB的中點時，求該函數的解析式;
(2)當k為何值時，△EFA的面積為 .
【考點】GB：反比例函數綜合題;G5：反比例函數系數k的幾何意義;G7：待定系數法求反比例函數解析式.
【分析】(1)當F為AB的中點時，點F的坐標為(3，1)，由此代入求得函數解析式即可;
(2)根據圖中的點的坐標表示出三角形的面積，得到關于k的方程，通過解方程求得k的值即可.
【解答】解：(1)∵在矩形OABC中，OA=3，OC=2，
∴B(3，2)，
∵F為AB的中點，
∴F(3，1)，
∵點F在反比例函數y= (k>0)的圖象上，
∴k=3，
∴該函數的解析式為y= ;
(2)由題意知E，F兩點坐標分別為E( ，2)，F(3， )，
∴S△EFA= AF•BE= × k(3﹣ k)，
= k﹣ k2
∵△EFA的面積為 .
∴ k﹣ k2= .
整理，得
k2﹣6k+8=0，
解得k1=2，k2=4，
∴當k的值為2或4時，△EFA的面積為 .
24.已知⊙O中，弦AB=AC，點P是∠BAC所對弧上一動點，連接PA，PB.
(1)①，把△ABP繞點A逆時針旋轉到△ACQ，連接PC，求證：∠ACP+∠ACQ=180°;
(2)②，若∠BAC=60°，試探究PA、PB、PC之間的關系.
(3)若∠BAC=120°時，(2)中的結論是否成立?若是，請證明;若不是，請直接寫出它們之間的數量關系，不需證明.
【考點】MR：圓的綜合題.
【分析】(1)①，連接PC.根據“內接四邊形的對角互補的性質”即可證得結論;
(2)②，通過作輔助線BC、PE、CE(連接BC，延長BP至E，使PE=PC，連接CE)構建等邊△PCE和全等三角形△BEC≌△APC;然后利用全等三角形的對應邊相等和線段間的和差關系可以求得PA=PB+PC;
(3)③，在線段PC上截取PQ，使PQ=PB，過點A作AG⊥PC于點G.利用全等三角形△ABP≌△AQP(SAS)的對應邊相等推知AB=AQ，PB=PG，將PA、PB、PC的數量關系轉化到△APC中來求即可.
【解答】(1)證明：①，連接PC.
∵△ACQ是由△ABP繞點A逆時針旋轉得到的，
∴∠ABP=∠ACQ.
由圖①知，點A、B、P、C四點共圓，
∴∠ACP+∠ABP=180°(圓內接四邊形的對角互補)，
∴∠ACP+∠ACQ=180°(等量代換);
(2)解：PA=PB+PC.理由如下：
②，連接BC，延長BP至E，使PE=PC，連接CE.
∵弦AB=弦AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形(有一內角為60°的等腰三角形是等邊三角形).
∵A、B、P、C四點共圓，
∴∠BAC+∠BPC=180°(圓內接四邊形的對角互補)，
∵∠BPC+∠EPC=180°，
∴∠BAC=∠CPE=60°，
∵PE=PC，
∴△PCE是等邊三角形，
∴CE=PC，∠E=∠ECP=∠EPC=60°;
又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，
∴∠BCE=∠ACP(等量代換).
在△BEC和△APC中， ，
∴△BEC≌△APC(SAS)，
∴BE=PA，
∴PA=BE=PB+PC;
(3)若∠BAC=120°時，(2)中的結論不成立. PA=PB+PC.理由如下：
③，在線段PC上截取PQ，使PQ=PB，過點A作AG⊥PC于點G.
∵∠BAC=120°，∠BAC+∠BPC=180°，
∴∠BPC=60°.
∵弦AB=弦AC，
∴∠APB=∠APQ=30°.
在△ABP和△AQP中，
∵ ，
∴△ABP≌△AQP(SAS)，
∴AB=AQ，PB=PQ(全等三角形的對應邊相等)，
∴AQ=AC(等量代換).
在等腰△AQC中，QG=CG.
在Rt△APG中，∠APG=30°，則AP=2AG，PG= AG.
∴PB+PC=PG﹣QG+PG+CG=PG﹣QG+PG+QG=2PG=2 AG，
∴ PA=2 AG，即 PA=PB+PC.
25.在坐標系xOy中，拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A(﹣3，0)和B(1，0)，與y軸交于點C，
(1)求拋物線的表達式;
(2)若點D為此拋物線上位于直線AC上方的一個動點，當△DAC的面積最大時，求點D的坐標;
(3)設拋物線頂點關于y軸的對稱點為M，記拋物線在第二象限之間的部分為圖象G.點N是拋物線對稱軸上一動點，如果直線MN與圖象G有公共點，請結合函數的圖象，直接寫出點N縱坐標t的取值范圍.
【考點】HF：二次函數綜合題.
【分析】(1)設拋物線的解析式為y=a(x+3)(x﹣1)，然后將a=﹣1代入即可求得拋物線的解析式;
(2)過點D作DE∥y軸，交AC于點E.先求得點C的坐標，然后利用待定系數法求得直線AC的解析式，設點D的坐標為(x，﹣x2﹣2x+3)，則E點的坐標為(x，x+3)，于是得到DE的長(用含x的式子表示，接下來，可得到△ADC的面積與x的函數關系式，最后依據配方法可求得三角形的面積最大時，點D的坐標;
(3)2所示：先求得拋物線的頂點坐標，于是可得到點M的坐標，可判斷出點M在直線AC上，從而可求得點N的坐標，當點N′與拋物線的頂點重合時，N′的坐標為(﹣1，4)，于是可確定出t的取值范圍.
【解答】解：(1)設拋物線的解析式為y=a(x+3)(x﹣1).
由題意可知：a=﹣1.
∴拋物線的解析式為y=﹣1(x+3)(x﹣1)即y=﹣x2﹣2x+3.
(2)所示：過點D作DE∥y軸，交AC于點E.
∵當x=0時，y=3，
∴C(0，3).
設直線AC的解析式為y=kx+3.
∵將A(﹣3，0)代入得：﹣3k+3=0，解得：k=1，
∴直線AC的解析式為y=x+3.
設點D的坐標為(x，﹣x2﹣2x+3)，則E點的坐標為(x，x+3).
∴DE=﹣x2﹣2x+3﹣(x+3)=﹣x2﹣3x.
∴△ADC的面積= DE•OA= ×3×(﹣x2﹣3x)=﹣ (x+ )2+ .
∴當x=﹣ 時，△ADC的面積有最大值.
∴D(﹣ ， ).
(3)2所示：
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4，
∴拋物線的頂點坐標為(﹣1，4).
∵點M與拋物線的頂點關于y軸對稱，
∴M(1，4).
∵將x=1代入直線AC的解析式得y=4，
∴點M在直線AC上.
∵將x=﹣1代入直線AC的解析式得：y=2，
∴N(﹣1，2).
又∵當點N′與拋物線的頂點重合時，N′的坐標為(﹣1，4).
∴2
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