九年級數學上期末檢測卷(2)
九年級數學上期末檢測卷參考答案
一、選擇題(共12小題，每小題3分，滿分36分)
1.下列事件中，必然事件是( )
A.擲一枚硬幣，正面朝上
B.任意三條線段可以組成一個三角形
C.投擲一枚質地均勻的骰子，擲得的點數是奇數
D.拋出的籃球會下落
【考點】隨機事件.
【分析】必然事件是指一定會發生的事件.
【解答】解：A、擲一枚硬幣，正面朝上，是隨機事件，故A錯誤;
B、在同一條直線上的三條線段不能組成三角形，故B錯誤;
C、投擲一枚質地均勻的骰子，擲得的點數是奇數，是隨機事件，故C錯誤;
D、拋出的籃球會下落是必然事件.
故選：D.
【點評】本題主要考查的是必然事件和隨機事件，掌握隨機事件和必然事件的概念是解題的關鍵.
2.方程(m﹣2)x|m|+3mx+1=0是關于x的一元二次方程，則( )
A.m=±2 B.m=2 C.m=﹣2 D.m≠±2
【考點】一元二次方程的定義.
【分析】由一元二次方程的定義可知|m|=2，且m﹣2≠0，從而可求得m的值.
【解答】解：∵方程(m﹣2)x|m|+3mx+1=0是關于x的一元二次方程，
∴|m|=2，且m﹣2≠0.
解得：m=﹣2.
故選：C.
【點評】本題主要考查的是一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵.
3.把拋物線y=(x+1)2向下平移2個單位，再向右平移1個單位，所得到的拋物線是( )
A.y=(x+2)2+2 B.y=(x+2)2﹣2 C.y=x2+2 D.y=x2﹣2
【考點】二次函數圖象與幾何變換.
【分析】先寫出平移前的拋物線的頂點坐標，然后根據向下平移縱坐標減，向右平移橫坐標加求出平移后的拋物線的頂點坐標，再利用頂點式解析式寫出即可.
【解答】解：拋物線y=(x+1)2的頂點坐標為(﹣1，0)，
∵向下平移2個單位，
∴縱坐標變為﹣2，
∵向右平移1個單位，
∴橫坐標變為﹣1+1=0，
∴平移后的拋物線頂點坐標為(0，﹣2)，
∴所得到的拋物線是y=x2﹣2.
故選D.
【點評】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，利用頂點的變化確定函數圖象的變化求解更加簡便，且容易理解.
4.如圖，在⊙O中，∠C=30°，AB=2，則弧AB的長為( )
A.π B. C. D.
【考點】弧長的計算;等邊三角形的判定與性質;圓周角定理.
【分析】根據圓周角定理求出圓心角∠AOB，然后根據弧長公式求解即可.
【解答】解：∵∠C=30°，
根據圓周角定理可知：∠AOB=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴OA=OB=AB=2，
∴l= = π，
∴劣弧AB的長為 π.
故選D.
【點評】本題主要考查弧長的計算，掌握弧長的計算公式l= (弧長為l，圓心角度數為n，圓的半徑為r)是解題關鍵，難度一般.
5.如圖，PA和PB是⊙O的切線，點A和點B是切點，AC是⊙O的直徑，已知∠P=40°，則∠ACB的大小是( )
A.40° B.60° C.70° D.80°
【考點】切線的性質.
【分析】由PA、PB是⊙O的切線，可得∠OAP=∠OBP=90°，根據四邊形內角和，求出∠AOB，再根據圓周角定理即可求∠ACB的度數.
【解答】解：連接OB，
∵AC是直徑，
∴∠ABC=90°，
∵PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=180°﹣∠P=140°，
由圓周角定理知，∠ACB= ∠AOB=70°，
故選C.
【點評】本題考查了切線的性質，圓周角定理，解決本題的關鍵是連接OB，利用直徑對的圓周角是直角來解答.
6.如圖，將三角尺ABC(其中∠ABC=60°，∠C=90°)繞B點按順時針方向旋轉一個角度到A1B1C1的位置，使得點A，B，C1在同一條直線上，那么這個角度等于( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
【考點】旋轉的性質.
【專題】計算題.
【分析】先利用鄰補角的定義可計算出∠CBC1=120°，然后根據性質的性質得到∠CBC1等于旋轉角.
【解答】解：∵∠ABC=60°，
∴∠CBC1=180°﹣∠ABC=120°，
∵三角尺ABC繞B點按順時針方向旋轉一個角度到A1B1C1的位置，
∴∠CBC1等于旋轉角，即旋轉角為120°.
故選D.
【點評】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等;對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角;旋轉前、后的圖形全等.
7.下列命題中假命題的個數是( )
①三點確定一個圓;
②三角形的內心到三邊的距離相等;
③相等的圓周角所對的弧相等;
④平分弦的直徑垂直于弦;
⑤垂直于半徑的直線是圓的切線.
A.4 B.3 C.2 D.1
【考點】命題與定理.
【分析】分析是否為假命題，可以舉出反例;也可以分別分析各題設是否能推出結論，從而利用排除法得出答案.
【解答】解：①錯誤，不在同一條直線上的三點確定一個圓;
②正確，三角形的內心到三邊的距離相等;
③錯誤，在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等;
④錯誤，如果平分的弦是直徑，那么平分弦的直徑不垂直于弦;
⑤錯誤，過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線.
故選A.
【點評】主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理.
8.如圖，隨機閉合開關S1、S2、S3中的兩個，則能讓燈泡⊗發光的概率是( )
A. B. C. D.
【考點】列表法與樹狀圖法.
【專題】圖表型.
【分析】采用列表法列出所有情況，再根據能讓燈泡發光的情況利用概率公式進行計算即可求解.
【解答】解：列表如下：
共有6種情況，必須閉合開關S3燈泡才亮，
即能讓燈泡發光的概率是 = .
故選C.
【點評】本題考查了列表法與畫樹狀圖求概率，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.
9.△ABC的三邊長分別為6、8、10，則其內切圓和外接圓的半徑分別是( )
A.2，5 B.1，5 C.4，5 D.4，10
【考點】三角形的內切圓與內心;勾股定理的逆定理;三角形的外接圓與外心.
【專題】計算題.
【分析】先利用勾股定理的逆定理得到△ABC為直角三角形，然后利用直角邊為a、b，斜邊為c的三角形的內切圓半徑為 計算△ABC的內切圓的半徑，利用斜邊為外接圓的直徑計算△ABC的外接圓的半徑.
【解答】解：∵62+82=102，
∴△ABC為直角三角形，
∴△ABC的內切圓的半徑= =2，
△ABC的外接圓的半徑= =5.
故選A.
【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形.三角形的內心就是三角形三個內角角平分線的交點.也考查了勾股定理的逆定理.記住直角邊為a、b，斜邊為c的三角形的內切圓半徑為 .
10.已知二次函數y=x2+x+m，當x取任意實數時，都有y>0，則m的取值范圍是( )
A.m≥ B.m> C.m≤ D.m<
【考點】拋物線與x軸的交點.
【分析】由題意二次函數y=x2+x+m知，函數圖象開口向上，當x取任意實數時，都有y>0，可以推出△<0，從而解出m的范圍.
【解答】解：已知二次函數的解析式為：y=x2+x+m，
∴函數的圖象開口向上，
又∵當x取任意實數時，都有y>0，
∴有△<0，
∴△=1﹣4m<0，
∴m> ，
故選B.
【點評】此題主要考查二次函數與一元二次方程的關系，當函數圖象與x軸無交點時，說明方程無根則△<0，若有交點，說明有根則△≥0，這一類題目比較常見且難度適中.
11.如圖，將半徑為3的圓形紙片，按下列順序折疊，若 和 都經過圓心O，則陰影部分的面積是( )
A.π B.2π C.3π D.4π
【考點】扇形面積的計算;翻折變換(折疊問題).
【分析】作OD⊥AB于點D，連接AO，BO，CO，求出∠OAD=30°，得到∠AOB=2∠AOD=120°，進而求得∠AOC=120°，再利用陰影部分的面積=S扇形AOC求解.
【解答】解;如圖，作OD⊥AB于點D，連接AO，BO，CO，
∵OD= AO，
∴∠OAD=30°，
∴∠AOB=2∠AOD=120°，
同理∠BOC=120°，
∴∠AOC=120°，
∴陰影部分的面積=S扇形AOC= =3π.
故選C.
【點評】本題考查的是扇形面積的計算，熟記扇形的面積公式是解答此題的關鍵.
12.如圖，AB為⊙O的直徑，作弦CD⊥AB，∠OCD的平分線交⊙O于點P，當點C在下半圓上移動時，(不與點A、B重合)，下列關于點P描述正確的是( )
A.到CD的距離保持不變 B.到D點距離保持不變
C.等分 D.位置不變
【考點】圓周角定理;垂徑定理;圓心角、弧、弦的關系.
【分析】首先連接OP，由∠OCD的平分線交⊙O于點P，易證得CD∥OP，又由弦CD⊥AB，可得OP⊥AB，即可證得點P為 的中點不變.
【解答】解：不發生變化.
連接OP，
∵OP=OC，
∴∠P=∠OCP，
∵∠OCP=∠DCP，
∴∠P=∠DCP，
∴CD∥OP，
∵CD⊥AB，
∴OP⊥AB，
∴ = ，
∴點P為 的中點不變.
故選D.
【點評】此題考查了圓周角定理以及垂徑定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵.
二、填空題(共6小題，每小題4分，滿分24分)
13.二次函數y=x2+2x的頂點坐標為(﹣1，﹣1)，對稱軸是直線x=﹣1.
【考點】二次函數的性質.
【分析】先把該二次函數化為頂點式的形式，再根據其頂點式進行解答即可.
【解答】解：∵y=x2+2x=(x+1)2﹣1，
∴二次函數y=x2+4x的頂點坐標是：(﹣1，﹣1)，對稱軸是直線x=﹣1.
故答案為：(﹣1，﹣1)，x=﹣1.
【點評】此題主要考查了二次函數的性質和求拋物線的頂點坐標、對稱軸的方法，熟練配方是解題關鍵.
14.已知正六邊形的半徑為2cm，那么這個正六邊形的邊心距為 cm.
【考點】正多邊形和圓.
【分析】根據正六邊形的特點，通過中心作邊的垂線，連接半徑，結合解直角三角形的有關知識解決.
【解答】解：如圖，連接OA、OB;過點O作OG⊥AB于點G.
在Rt△AOG中，
∵OA=2cm，∠AOG=30°，
∴OG=OA•cos 30°=2× = (cm).
故答案為： .
【點評】本題考查的是正多邊形和圓，根據題意畫出圖形，利用數形結合求解是解答此題的關鍵.
15.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠B=60°，⊙O的半徑為4，則AC的長等于4 .
【考點】圓周角定理;垂徑定理.
【分析】連接OA，OC，過點O作OD⊥AC于點D，由圓周角定理求出∠AOC的度數，再由垂徑定理得出AD= AC，∠AOD= ∠AOC，根據銳角三角函數的定義求出AD的長，進而可得出結論.
【解答】解：連接OA，OC，過點O作OD⊥AC于點D，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=120°.
∵OD⊥AC，OA=4，
∴AD= AC，∠AOD= ∠AOC=60°，
∴AD=OA•sin60°=4× =2 ，
∴AC=2AD=4 .
故答案為：4 .
【點評】本題考查的是圓周角定理，根據題意作出輔助線，利用垂徑定理及直角三角形的性質求解是解答此題的關鍵.
16.如圖所示的扇形是一個圓錐的側面展開圖，若∠AOB=120°，弧AB的長為12πcm，則該圓錐的側面積為108πcm2.
【考點】圓錐的計算.
【分析】首先求得扇形的母線長，然后求得扇形的面積即可.
【解答】解：設AO=B0=R，
∵∠AOB=120°，弧AB的長為12πcm，
∴ =12π，
解得：R=18，
∴圓錐的側面積為 lR= ×12π×18=108π，
故答案為：108π.
【點評】本題考查了圓錐的計算，解題的關鍵是牢記圓錐的有關計算公式，難度不大.
17.如圖，Rt△OAB的頂點A(﹣2，4)在拋物線y=ax2上，將Rt△OAB繞點O順時針旋轉90°，得到△OCD，邊CD與該拋物線交于點P，則點P的坐標為( ，2).
【考點】二次函數圖象上點的坐標特征;坐標與圖形變化-旋轉.
【分析】先根據待定系數法求得拋物線的解析式，然后根據題意求得D(0，2)，且DC∥x軸，從而求得P的縱坐標為2，代入求得的解析式即可求得P的坐標.
【解答】解：∵Rt△OAB的頂點A(﹣2，4)在拋物線y=ax2上，
∴4=4a，解得a=1，
∴拋物線為y=x2，
∵點A(﹣2，4)，
∴B(﹣2，0)，
∴OB=2，
∵將Rt△OAB繞點O順時針旋轉90°，得到△OCD，
∴D點在y軸上，且OD=OB=2，
∴D(0，2)，
∵DC⊥OD，
∴DC∥x軸，
∴P點的縱坐標為2，
代入y=x2，得2=x2，
解得x=± ，
∴P( ，2).
故答案為( ，2).
【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數圖象上點的坐標特征，根據題意求得P的縱坐標是解題的關鍵.
18.如圖，P是拋物線y=x2+x+2在第一象限上的點，過點P分別向x軸和y軸引垂線，垂足分別為A，B，則四邊形OAPB周長的最大值為6.
【考點】二次函數圖象上點的坐標特征.
【分析】設P(x，y)(2>x>0，y>0)，根據矩形的周長公式得到C=﹣2(x﹣1)2+6.根據二次函數的性質來求最值即可.
【解答】解：∵y=﹣x2+x+2，
∴當y=0時，﹣x2+x+2=0即﹣(x﹣2)(x+1)=0，
解得 x=2或x=﹣1
故設P(x，y)(2>x>0，y>0)，
∴C=2(x+y)=2(x﹣x2+x+2)=﹣2(x﹣1)2+6.
∴當x=1時，C最大值=6，.
即四邊形OAPB周長的最大值為6.
故答案是：6.
【點評】本題考查了二次函數的最值，二次函數圖象上點的坐標特征.求二次函數的最大(小)值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法.本題采用了配方法.
三、解答題(共6小題，滿分60分)
19.用適當方法解方程：
(1)x2﹣2x﹣3=0
(2)x2﹣6x+9=(5﹣2x)2.
【考點】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法.
【分析】(1)分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可.
(2)整理成(x﹣3)2=(5﹣2x)2，然后用直接開平方法求解即可.
【解答】解：(1)x2﹣2x﹣3=0，
(x﹣3)(x+1)=0
∴x﹣3=0或x+1=0，
∴x1=3 x2=﹣1;
(2)x2﹣6x+9=(5﹣2x)2.
(x﹣3)2=(5﹣2x)2
∴x﹣3=±(5﹣2x)
∴x1=2，x2= .
【點評】本題考查了解一元二次方程的應用，解此題的關鍵是能把一元二次方程轉化成一元一次方程.
20.關于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1=0的兩個實數根分別為x1，x2.
(1)求m的取值范圍;
(2)若2(x1+x2)+x1x2+10=0，求m的值.
【考點】根的判別式;根與系數的關系.
【分析】(1)因為方程有兩個實數根，所以△≥0，據此即可求出m的取值范圍;
(2)根據一元二次方程根與系數的關系，將x1+x2=﹣3，x1x2=m﹣1代入2(x1+x2)+x1x2+10=0，解關于m的方程即可.
【解答】解：(1)∵方程有兩個實數根，
∴△≥0，
∴9﹣4×1×(m﹣1)≥0，
解得m≤ ;
(2)∵x1+x2=﹣3，x1x2=m﹣1，
又∵2(x1+x2)+x1x2+10=0，
∴2×(﹣3)+m﹣1+10=0，
∴m=﹣3.
【點評】本題考查了根的判別式、一元二次方程根與系數的關系，直接將兩根之和與兩根之積用m表示出來是解題的關鍵.
21.如圖，沿一條母線將圓錐側面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐的底面圓的半徑r=2cm，扇形的圓心角θ=120°，求該圓錐的高h的長.
【考點】圓錐的計算.
【分析】根據題意，運用弧長公式求出AB的長度，即可解決問題.
【解答】解：如圖，由題意得：
，而r=2，
∴AB=6，
∴由勾股定理得：
AO2=AB2﹣OB2，而AB=6，OB=2，
∴AO=4 .
即該圓錐的高為4 .
【點評】該題主要考查了圓錐的計算及其應用問題;解題的關鍵是靈活運用有關定理來分析、判斷、推理或解答.
22.為了落實國家的惠農政策，某地政府制定了農戶投資購買收割機的補貼辦法，其中購買Ⅰ、Ⅱ型收割機所投資的金額與政府補貼的額度存在下表所示的函數對應關系：
Ⅰ型收割機 Ⅱ型收割機
投資金額x(萬元) x 5 x 2 4
補貼金額x(萬元) y1=kx 2 y2=ax2+bx 2.4 3.2
(1)分別求出y1和y2的函數解析式;
(2)旺叔準備投資10萬元購買Ⅰ、Ⅱ兩型收割機.請你設計一個能獲得最大補貼金額的方案，并求出按此方案能獲得的補貼金額.
【考點】二次函數的應用;一次函數的應用.
【專題】壓軸題.
【分析】(1)利用待定系數法直接就可以求出y1與y2的解析式.
(2)設總補貼金額為W萬元，購買Ⅰ型收割機a萬元，購買Ⅱ型收割機(10﹣a)萬元，建立等式就可以求出其值.
【解答】解：(1)設購買Ⅰ型收割機補貼的金額的解析式為：y1=kx，購買Ⅱ型收割機補貼的金額的解析式為y2=ax2+bx，由題意，得
2=5k，或 ，解得
k= ，
，
∴y1的解析式為：y1= x，y2的函數解析式為：y2=﹣ x2+1.6x.
(2)設總補貼金額為W萬元，購買Ⅰ型收割機a萬元，則購買Ⅱ型收割機(10﹣a)萬元，由題意，得
W= a+[﹣ (10﹣a)2+1.6(10﹣a)]，
=﹣ (a﹣7)2+ .
∴當a=7時，W有最大值 萬元，
∴買Ⅰ型收割機7萬元、Ⅱ兩型收割機3萬元可以獲得最大補貼 萬元.
【點評】本題考查了待定系數法求函數的解析式的運用，拋物線的頂點式的運用.在求解析式中，待定系數法時常用的方法.二次函數的一般式化頂點式是求最值的常用方法.
23.如圖，AC是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，點B是⊙O上的一點，且∠BAC=30°，∠APB=60°.
(1)求證：PB是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為2，求弦AB及PA，PB的長.
【考點】切線的判定.
【專題】幾何綜合題.
【分析】(1)連接OB，證PB⊥OB.根據四邊形的內角和為360°，結合已知條件可得∠OBP=90°得證.
(2)連接OP，根據切線長定理得直角三角形，運用三角函數求解.
【解答】(1)證明：連接OB.
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠BAC=30°.
∴∠AOB=180°﹣30°﹣30°=120°.
∵PA切⊙O于點A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°.
∵四邊形的內角和為360°，
∴∠OBP=360°﹣90°﹣60°﹣120°=90°.
∴OB⊥PB.
又∵點B是⊙O上的一點，
∴PB是⊙O的切線.
(2)解：連接OP;
∵PA、PB是⊙O的切線，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB= ∠APB=30°.
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，
∴OP=2OA=2×2=4，
∴PA= .
∵PA=PB，∠APB=60°，
∴PA=PB=AB=2 .
(此題解法多樣，請評卷老師按解題步驟給分)
【點評】此題考查了切線的判定、切線長定理、三角函數等知識點.要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點(即為半徑)，再證垂直即可.
24.如圖，拋物線y=x2+bx﹣c與x軸交A(﹣1，0)、B(3，0)兩點，直線l與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2.
(1)求拋物線及直線AC的函數表達式;
(2)點M是線段AC上的點(不與A，C重合)，過M作MF∥y軸交拋物線于F，若點M的橫坐標為m，請用m的代數式表示MF的長;
(3)在(2)的條件下，連接FA、FC，是否存在m，使△AFC的面積最大?若存在，求m的值;若不存在，說明理由.
【考點】二次函數綜合題.
【分析】(1)把點A和點B的坐標代入拋物線解析式求出b和c的值即可求出拋物線解析式;再把點C的橫坐標代入已求出的拋物線解析式可求出其縱坐標，進而可求出直線AC的表達式;
(2)已知點M的橫坐標為m，點M又在直線AB上，所以可求出其縱坐標，而點F在拋物線上，所以可求出其縱坐標，進而可用m的代數式表示MF的長;
(3)存在m，使△AFC的面積最大，設直線MF與x軸交于點H，作CE⊥MF于E，由S△AFC= MF(AH+CE)，可得關于m的二次函數關系式，根據函數的性質即可求出△AFC的最大值.
【解答】解：(1)把A(﹣1，0)、B(3，0)帶入y=x2+bx﹣c得 ，
解得： ，
∴解析式為：y=x2﹣2x﹣3，
把x=2帶入y=x2﹣2x﹣3得y=﹣3，
∴C(2，﹣3)，
設直線AC的解析式為y=kx+m，把A(﹣1，0)、C(2，﹣3)帶入得
解得： ，
∴直線AC的解析式為y=﹣x﹣1;
(2)∵點M在直線AC上，
∴M的坐標為(m，﹣m﹣1);
∵點F在拋物線y=x2﹣2x﹣3上，
∴F點的坐標為(m，m2﹣2m﹣3)，
∴MF=(﹣m﹣1)﹣( m2﹣2m﹣3)=﹣m2+m+2;
(3)存在m，使△AFC的面積最大，理由如下：
設直線MF與x軸交于點H，作CE⊥MF于E，
S△AFC= MF(AH+CE)= MF(2+1)= MF，
= (﹣m2+m+2)，
=﹣ (m﹣ )2+ ≤
∴當m= 時，△AFC的面積最大為 .
【點評】本題考查了和二次函數有關的綜合性題目，考查的知識點有：函數解析式的確定、函數圖象交點坐標的求法、二次函數性質的應用以及圖形面積的解法.(3)的解法較多，也可通過圖形的面積差等方法來列函數關系式，可根據自己的習慣來選擇熟練的解法.
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九年級數學上期末檢測卷(2)
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