2017屆廣州市普通中學高三數學文理科試卷(2)
2017屆廣州市普通中學高三數學文科試卷
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分, 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的
(1)設全集，集合，集合，則 (A) (B) (C) (D)
(2)設，其中是實數，則
(A)1 (B) (C) (D)
(3)已知雙曲線()的漸近線方程為, 則雙曲線的離心率為
(A) (B) (C) (D)
(4)袋中有大小形狀相同的紅球黑球各一個，現有放回地隨機摸取3次，每次摸出一個球. 若摸到紅球得2分，摸到黑球得1分，則3次摸球所得總分為5分的概率是
(A) (B) (C) (D)
(5)已知角的頂點與原點重合, 始邊與軸正半軸重合, 終邊過點, 則
(A) (B) (C) (D)
(6)已知菱形的邊長為，, 則
(A) (B) (C) (D)
(7)已知函數 ，則函數的圖象是
(8)曲線上存在點滿足約束條件，則實數的最大值為
(A) (B) (C) (D)
(9)閱讀如下程序框圖，運行相應的程序，則程序運行后輸出的結果為
(A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 11
(10)若將函數的圖象向右平移個單位，所得圖象關于軸對稱，則的最小正值是( ).
(A) (B) (C) (D)
(11)如圖, 網格紙上小正方形的邊長為1, 粗線畫出的是某三棱錐
的三視圖，則該三棱錐的外接球的表面積是
(A) (B)
(C) (D)
(12) 若函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷
本卷包括必考題和選考題兩部分。第13～21題為必考題，每個考生都必須作答。第22～23題為選考題，考生根據要求作答。
二、填空題：本小題共4題，每小題5分。
(13)等比數列的前項和為，若，則公比________.
(14)已知函數，若，則 .
(15)設分別是圓和橢圓上的點，則兩點間的最大
距離是 .
(16)已知銳角△的內角,,的對邊分別為，，，若，
，則△的周長的取值范圍是 .三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
(17)(本小題滿分12分)
等差數列中，，
(Ⅰ)求數列的通項公式;
(Ⅱ)表示不超過的最大整數，如，，
求數列的前2000項和.
(18)(本小題滿分12分)
PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物.我國PM2.5標準采用前衛組織設定的最寬限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質量為一級;在35微克/立方米與75微克/立方米之間的空氣質量為二級;在75微克/立方米以上的空氣質量為超標.為了解甲乙兩座城年的空氣質量情況，從全年每天的PM2.5監測數據中隨機抽取20天的數據作為樣本，監測值如以下莖葉圖所示(十位為莖，個位為葉).
(Ⅰ)從甲乙兩城市共采集的40個數據樣本中，
從PM2.5日均值在范圍內隨機取2天
數據，求取到2天的PM2.5均超標的概率;
(Ⅱ)以這20天的PM2.5日均值數據來估計一年
的空氣質量情況，則甲乙兩城市一年(按365天計算)
中分別約有多少天空氣質量達到一級或二級.
(19) (本小題滿分12分)
在三棱錐中,△是等邊三角形, ∠∠.
(Ⅰ)求證: ⊥;
(Ⅱ)若，，求三棱錐的體積.
(20) (本小題滿分12分)
已知點是拋物線上相異兩點，且滿足.
(Ⅰ)若直線經過點，求的值;
(Ⅱ)是否存在直線，使得線段的中垂線交軸于點, 且? 若存
在，求直線的方程;若不存在，說明理由.
(21) (本小題滿分12分)
設函數. 若曲線在點處的切線方程為
為自然對數的底數).
(Ⅰ)求函數的單調區間;
(Ⅱ)若，試比較與的大小，并予以證明.
請考生在第22～23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。
(22)(本小題滿分10分)選修4-4：坐標系與參數方程
以直角坐標系的原點為極點,軸的正半軸為極軸,且兩個坐標系取相等的長度單位.已知直線的參數方程為為參數, 曲線的極坐標方程為.
(Ⅰ) 求直線的普通方程和曲線C的直角坐標方程;
(II)設直線與曲線C相交于兩點, 當變化時, 求的最小值.
(23)(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講
已知，不等式的解集是.
(Ⅰ)求的值;
(II)若存在實數解，求實數的取值范圍.
201 (1)A (2)D (3)B (4)B (5)A (6)D
(7)D (8)C (9)B (10)C (11)D (12)A
二、填空題
(13) (14) (15) (16)
三、解答題
(17) 解：
(Ⅰ)由，，得 分
解得，， 分 所以. 分(Ⅱ)， 分當時; …………………………………………7分
當時; …………………………………………8分當時; …………………………………………9分當時. ………………………………………10分
數列的前2000項和為. 分
(18) 解:
(Ⅰ)從甲乙兩城市共采集的40個數據樣本中，PM2.5日均值在內的共有6天，而PM2.5日均值為超標(大于75微克/立方米)的有3天.記PM2.5日均值超標的3天為，不超標的3天為，則從這6天中隨機取2天，共有如下15種結果(不記順序)
，，分其中，抽出2天的PM2.5均超標的情況有3種.分由古典概型知，抽到2天的PM2.5均超標的概率.分(Ⅱ)各抽取的20天樣本數據中，甲城市有15天達到一級或二級;分乙城市有16天達到一級或二級.分由樣本估計總體知，甲乙兩城市一年(按365天計算)中空氣質量達到一級或二級的天數分別約為
， .分 (19) 解:
(Ⅰ)因為是等邊三角形, ∠∠,
所以≌, 可得. 分
如圖, 取中點, 連結,,
則,, 分
所以平面, 分平面,
所以. 分(Ⅱ)因為 ≌,
所以, . 分由已知在中, ,
………………………………………………8分
因為, ,
所以 ……………………………………………………………9分因為, ，的面積. 分
因為三棱錐的體積等于三棱錐的體積
所以三棱錐的體積 ………………12分
(20) 解：
(I)①若直線的斜率不存在，則方程為. 聯立方程組 解得 或
即，.分 所以. 分 ②若直線的斜率存在，設直線的方程為，
聯立方程組 消去得，故，方程無解. 分所以. 過拋物線的焦點，根據拋物線的定義得，
，， …………………………………………………………2分. …………………………………………3分(II)符合題意，設的方程為，
聯立方程組 消去得，(*)故，分所以.
所以. 分所以.
分
因為.
所以的中點為. 所以的中垂線方程為=，即. 分, 得.
所以的坐標為. ……………………………………………………………8分所以到直線的距離
因為，分所以 .
解得. 分
當時，;當時，.
把和分別代入(*)式檢驗, 得,不符合題意.分所以直線不存在. 分(21) 解:
(Ⅰ)函數的定義域為.
.分依題意得，即分所以.分所以，.
當時, ; 當時, .
所以函數的單調遞減區間是, 單調遞增區間是.分(Ⅱ)當時，.
等價于，
也等價于. 分不妨設，
設(), 則.分 當時，，所以函數在上為增函數，
即，分故當時，(當且僅當時取等
號).
令，則，分即(當且僅當時取等號)，分綜上所述，當時，(當且僅當時取等號).分(22) 解:
(Ⅰ) 由消去得,分 所以直線的普通方程為.分由, 得,分把代入上式, 得,
所以曲線C的直角坐標方程為. 分 (II) 將直線l的參數方程代入, 得,分
設A、B兩點對應的參數分別為,
則, ,分 所以 .分 當時, 的最小值為4. 分
(23) 解：
(Ⅰ)由|, 得，即.分 當時，.分因為不等式的解集是
所以 解得分 當時，.分因為不等式的解集是
所以 無解.分所以
(II)因為分 所以要使存在實數解，只需.分 解得或.分 所以實數的取值范圍是.分
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