2017初三數學上期末試卷及答案(2)

　　A.2 B.3 C.4 D.5

　　【考點】二次函數圖象與系數的關系.

　　【分析】①首先根據拋物線開口向上，可得a>0;然后根據對稱軸在y軸左邊，可得b>0;最后根據拋物線與y軸的交點在x軸的上方，可得c>0，據此判斷出abc>0即可.

　　②根據二次函數y=ax2+bx+c+2的圖象與x軸只有一個交點，可得△=0，即b2﹣4a(c+2)=0，b2﹣4ac=8a>0，據此解答即可.

　　③首先根據對稱軸x=﹣ =﹣1，可得b=2a，然后根據b2﹣4ac=8a，確定出a的取值范圍即可.

　　④根據頂點為(﹣1，0)，可得方程ax2+bc+c=﹣2的有兩個相等實根，

　　⑤根據點BC在對稱軸右側，y隨x的增大而增大來判斷即可.

　　【解答】解：∵拋物線開口向上，

　　∴a>0，

　　∵對稱軸在y軸左邊，

　　∴b>0，

　　∵拋物線與y軸的交點在x軸的上方，

　　∴c+2>2，

　　∴c>0，

　　∴abc>0，

　　∴結論①正確;

　　∵二次函數y=ax2+bx+c+2的圖象與x軸只有一個交點，

　　∴△=0，

　　即b2﹣4a(c+2)=0，

　　∴b2﹣4ac=8a>0，

　　∴結論②不正確;

　　∵對稱軸x=﹣ =﹣1，

　　∴b=2a，

　　∵b2﹣4ac=8a，

　　∴4a2﹣4ac=8a，

　　∴a=c+2，

　　∵c>0，

　　∴a>2，

　　∴結論③正確;

　　∵二次函數y=ax2+bx+c+2的頂點為(﹣1，0)，

　　∴方程ax2+bx+c+2=0的根為x1=x2=﹣1;

　　∴結論④正確;

　　∵x>﹣1，y隨x的增大而增大，

　　∴y1>y2，

　　∴結論⑤正確.

　　綜上，可得正確結論的個數是2個：①③④⑤.

　　故選C.

　　【點評】本題考查了二次函數的圖象與系數的關系，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小：當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口;②一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左; 當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右.(簡稱：左同右異)③常數項c決定拋物線與y軸交點. 拋物線與y軸交于(0，c).

　　二、填空題(本題有6小題，每小題3分，共18分)

　　11.若關于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有兩個實數根，則k的取值范圍是　k≤1且k≠0　.

　　【考點】根的判別式;一元二次方程的定義.

　　【分析】若一元二次方程有兩不等實數根，則根的判別式△=b2﹣4ac≥0，建立關于k的不等式，求出k的取值范圍.還要注意二次項系數不為0.

　　【解答】解：∵關于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有兩個實數根，

　　∴根的判別式△=b2﹣4ac=4﹣4k≥0，且k≠0.

　　即k≤1且k≠0.

　　故答案是：k≤1且k≠0.

　　【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式的應用.切記不要忽略一元二次方程二次項系數不為零這一隱含條件.

　　12.在一個不透明的袋子中有10個除顏色外均相同的小球，通過多次摸球試驗后，發現摸到白球的概率約為30%，估計袋中白球有　3　個.

　　【考點】利用頻率估計概率.

　　【分析】根據摸到白球的概率公式 =40%，列出方程求解即可.

　　【解答】解：不透明的布袋中的小球除顏色不同外，其余均相同，共有10個小球，其中白色小球x個，

　　根據古典型概率公式知：P(白色小球)= =30%，

　　解得：x=3.

　　故答案為：3.

　　【點評】此題主要考查了概率公式的應用，一般方法為：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P(A)= .

　　13.如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面直徑是1m，其中水面的寬AB為0.8m，則排水管內水的深度為　0.8　m.

　　【考點】垂徑定理的應用;勾股定理.

　　【分析】過O點作OC⊥AB，C為垂足，交⊙O于D，連OA，根據垂徑定理得到AC=BC=0.5m，再在Rt△AOC中，利用勾股定理可求出OC，即可得到CD的值，即水的深度.

　　【解答】解：如圖，過O點作OC⊥AB，C為垂足，交⊙O于D、E，連OA，

　　OA=0.5m，AB=0.8m，

　　∵OC⊥AB，

　　∴AC=BC=0.4m，

　　在Rt△AOC中，OA2=AC2+OC2，

　　∴OC=0.3m，

　　則CE=0.3+0.5=0.8m，

　　故答案為：0.8.

　　【點評】本題考查了垂徑定理的應用，掌握垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧是解題的關鍵，注意勾股定理的運用.

　　14.在平面直角坐標系中，將拋物線y=x2﹣4先向右平移2個單位，再向上平移3個單位，得到的拋物線解析式為　y=(x﹣2)2﹣1　.

　　【考點】二次函數圖象與幾何變換.

　　【分析】先確定拋物線y=x2﹣4的頂點坐標為(0，﹣4)，再根據點平移的規律點(0，﹣4)平移后得到點的坐標為(2，﹣1)，然后根據頂點式寫出平移后拋物線的解析式.

　　【解答】解：拋物線y=x2﹣4的頂點坐標為(0，﹣4)，把點(0，﹣4)先向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到點的坐標為(2，﹣1)，所以平移后的拋物線解析式為y=(x﹣2)2﹣1.

　　故答案為y=(x﹣2)2﹣1.

　　【點評】本題考查了二次函數圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數法求出解析式;二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式.

　　15.用一個圓心角為120°，半徑為4的扇形作一個圓錐的側面，這個圓錐的底面圓的半徑為　 　.

　　【考點】弧長的計算.

　　【分析】利用底面周長=展開圖的弧長可得.

　　【解答】解： ，解得r= .

　　故答案為： .

　　【點評】解答本題的關鍵是有確定底面周長=展開圖的弧長這個等量關系，然后由扇形的弧長公式和圓的周長公式求值.

　　16.如圖，四邊形OABC是矩形，ADEF是正方形，點A，D在x軸的正半軸，點C在y軸的正半軸上，點F再AB上，點B，E在反比例函數y= 的圖象上，OA=2，OC=6，則正方形ADEF的邊長為　 ﹣1　.

　　【考點】反比例函數圖象上點的坐標特征.

　　【分析】先確定B點坐標(2，6)，根據反比例函數圖象上點的坐標特征得到k=12，則反比例函數解析式為y= ，設AD=t，則OD=2+t，所以E點坐標為(2+t，t)，再根據反比例函數圖象上點的坐標特征得(2+t)•t=12，利用因式分解法可求出t的值.

　　【解答】解：∵OA=2，OC=6，

　　∴B點坐標為(2，6)，

　　∴k=2×6=12，

　　∴反比例函數解析式為y= ，

　　設AD=t，則OD=2+t，

　　∴E點坐標為(2+t，t)，

　　∴(2+t)•t=12，

　　整理為t2+2t﹣12=0，

　　解得t1=﹣1+ (舍去)，t2=﹣1﹣ ，

　　∴正方形ADEF的邊長為 ﹣1.

　　故答案為： ﹣1.

　　【點評】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征：反比例函數y= (k為常數，k≠0)的圖象是雙曲線，圖象上的點(x，y)的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k.

　　三、解答題(共9小題，滿分72分)

　　17.(1)解方程：2x2+x﹣15=0

　　(2)計算：sin30°﹣ sin45°+tan60°﹣cos30°+20160.

　　【考點】解一元二次方程-因式分解法;特殊角的三角函數值.

　　【分析】(1)先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可;

　　(2)先把各個角的函數值代入，再求出即可.

　　【解答】解：(1)2x2+x﹣15=0，

　　(2x﹣5)(x+3)=0，

　　2x﹣5=0，x+3=0，

　　x1= ，x2=﹣3;

　　(2)原式= ﹣ × + ﹣ +1

　　= .

　　【點評】本題考查了解一元二次方程和特殊角的三角函數值的應用，能熟記解一元二次方程的解題思路和熟記特殊角的三角函數值是解此題的關鍵.

　　18.如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A(2，4)，B (1，1)，C(4，3).

　　(1)請畫出△ABC繞點B逆時針旋轉90°后的△A1BC1;

　　(2)求出圖(1)中點C旋轉到C1所經過的路徑長(結果保留π)

　　【考點】作圖-旋轉變換;弧長的計算.

　　【專題】計算題;作圖題.

　　【分析】(1)利用網格特點和旋轉的性質畫出點A、C的對應點A1、C1即可得到△A1BC1;

　　(2)由于點C旋轉到C1所經過的路徑為以B為圓心，BC為半徑，圓心角為90度的弧，所以利用弧長公式可計算出點C旋轉到C1所經過的路徑長.

　　【解答】解：(1)如圖，△A1BC1為所作;

　　(2)BC= = ，

　　所以點C旋轉到C1所經過的路徑長= = π.

　　【點評】本題考查了作圖﹣旋轉變換：根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形.

　　19.在“陽光體育”活動時間，九年級A，B，C，D四位同學進行一次羽毛球單打比賽，要從中選出兩位同學打一場比賽，用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好選中A，C兩位同學進行比賽的概率.

　　【考點】列表法與樹狀圖法.

　　【專題】計算題.

　　【分析】先畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果數，再找出選中A，C兩位同學進行比賽的結果數，然后根據概率公式求解.

　　【解答】解：畫樹狀圖為：

　　共有12種等可能的結果數，其中選中A，C兩位同學進行比賽的結果數為2，

　　所以選中A，C兩位同學進行比賽的概率= = .

　　【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法和樹狀圖法展示所有可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，求出概率.

　　20.小明坐于堤邊垂釣，如圖，河堤AC的坡角為30°，AC長2 ，釣竿AO的傾斜角∠ODC是60°，其長OA為5米，若AO與釣魚線OB的夾角為60°，求浮漂B與河堤下端C之間的距離.

　　【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題.

　　【分析】先根據三角形內角和定理求出∠CAD=180°﹣∠ODB﹣∠ACD=90°，解Rt△ACD，得出AD=AC•tan∠ACD=2米，CD=2AD=3米，再證明△BOD是等邊三角形，得到BD=OD=OA+AD=7米，然后根據BC=BD﹣CD即可求出浮漂B與河堤下端C之間的距離.

　　【解答】解：∵AO的傾斜角是60°，

　　∴∠ODB=60°.

　　∵∠ACD=30°，

　　∴∠CAD=180°﹣∠ODB﹣∠ACD=90°.

　　在Rt△ACD中，AD=AC•tan∠ACD=2 × =2(米)，

　　∴CD=2AD=4米，

　　又∵∠O=60°，

　　∴△BOD是等邊三角形，

　　∴BD=OD=OA+AD=2+5=7(米)，

　　∴BC=BD﹣CD=7﹣4=3(米).

　　答：浮漂B與河堤下端C之間的距離為3米.

　　【點評】本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是根據所給的傾斜角構造直角三角形，利用三角函數的知識求解.

　　21.如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=3x+1的圖象與y軸交于點A，與反比例函數y= 在第一象限內的圖象交于點B，且點B的橫坐標為1，過點A作AC⊥y軸交反比例函數y= (k≠0)的圖象于點C，連接BC.

　　(1)求反比例函數的表達式及△ABC的面積;

　　(2)直接寫出當x<1時，y= (k≠0)中y的取值范圍.

　　【考點】反比例函數與一次函數的交點問題.

　　【分析】(1)先由一次函數y=3x+1的圖象過點B，且點B的橫坐標為1，將x=1代入y=3x+1，求出y的值，得到點B的坐標，再將B點坐標代入y= ，利用待定系數法即可求出反比例函數的表達式;根據一次函數y=3x+1的圖象與y軸交于點A，求出點A的坐標為(0，1)，再將y=1代入y= ，求出x的值，那么AC=4.過B作BD⊥AC于D，則BD=yB﹣yC=4﹣1=3，然后根據S△ABC= AC•BD，將數值代入計算即可求解;

　　(2)根據x<1時，得到 ，于是得到y的取值范圍.

　　【解答】解：(1)∵一次函數y=3x+1的圖象過點B，且點B的橫坐標為1，

　　∴y=3×1+1=4，

　　∴點B的坐標為(1，4).

　　∵點B在反比例函數y= 的圖象上，

　　∴k=1×4=4，

　　∴反比例函數的表達式為y= ，

　　∵一次函數y=3x+1的圖象與y軸交于點A，

　　∴當x=0時，y=1，

　　∴點A的坐標為(0，1)，

　　∵AC⊥y軸，

　　∴點C的縱坐標與點A的縱坐標相同，是1，

　　∵點C在反比例函數y= 的圖象上，

　　∴當y=1時，1= ，解得x=4，

　　∴AC=4.

　　過B作BD⊥AC于D，則BD=yB﹣yC=4﹣1=3，

　　∴S△ABC= AC•BD= ×4×3=6;

　　(2)由圖形得：∵當0

　　∴y>4，

　　當x<0時，y<0.

　　【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，待定系數法求反比例函數的解析式，反比例函數圖象上點的坐標特征，平行于y軸的直線上點的坐標特征，三角形的面積，難度適中.求出反比例函數的解析式是解題的關鍵.

　　22.如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，點O在AB上，以O為圓心，OA長為半徑的圓與AC、AB，分別交于點D、E，且∠CBD=∠A;

　　(1)判斷直線BD與⊙O的位置關系，并證明你的結論;

　　(2)若AD：AO=6：5，BC=2，求BD的長.

　　【考點】直線與圓的位置關系;直角三角形的性質;相似三角形的判定與性質.

　　【分析】(1)結論：BD是圓的切線，已知此線過圓O上點D，連接圓心O和點D(即為半徑)，再證垂直即可;

　　(2)通過作輔助線，根據已知條件求出∠CBD的度數，在Rt△BCD中求解即可.

　　【解答】解：(1)直線BD與⊙O相切.

　　證明：如圖，連接OD.

　　∵OA=OD

　　∴∠A=∠ADO

　　∵∠C=90°，

　　∴∠CBD+∠CDB=90°

　　又∵∠CBD=∠A

　　∴∠ADO+∠CDB=90°

　　∴∠ODB=90°

　　∴直線BD與⊙O相切.

　　(2)解法一：如圖，連接DE.

　　∵AE是⊙O的直徑，∴∠ADE=90°

　　∵AD：AO=6：5

　　∴cosA=AD：AE=3：5

　　∵∠C=90°，∠CBD=∠A

　　cos∠CBD=BC：BD=3：5

　　∵BC=2，BD= ;

　　解法二：如圖，過點O作OH⊥AD于點H.

　　∴AH=DH= AD

　　∵AD：AO=6：5

　　∴cosA=AH：AO=3：5

　　∵∠C=90°，∠CBD=∠A

　　∴cos∠CBD=BC：BD=3：5，

　　∵BC=2，

　　∴BD= .

　　【點評】本題考查了直線和圓的位置關系、直角三角形的性質以及相似三角形的判定和性質.

　　23.神農嘗百草，泡泡青菜便是其中之一，小隨同學利用假期開網店批發出售泡泡青菜，他打出促銷廣告：最優質泡泡青菜35箱，每箱售價30元，若一次性購買不超過10箱時，售價不變;若一次性購買超過10箱時，沒多買1箱，所買的每箱泡泡青菜的售價均降低0.3元.已知該青菜成本是每箱20元，若不計其他費用，設顧客一次性購買泡泡青菜x(x為整數)箱時，該網店從中獲利y元.

　　(1)求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍;

　　(2)顧客一次性購買多少箱時，該網店從中獲利最多，最多是多少?

　　【考點】二次函數的應用.

　　【分析】(1)根據題意可得出銷量乘以每臺利潤進而得出總利潤，進而得出答案;

　　(2)根據銷量乘以每臺利潤進而得出總利潤，即可求出即可.

　　【解答】解：(1)y= ，

　　(2)在0≤x≤10時，y=10x，當x=10時，y有最大值100;

　　在10

　　當x=21 時，y取得最大值，

　　∵x為整數，根據拋物線的對稱性得x=22時，y有最大值140.8.

　　∵140.8>100，

　　∴顧客一次購買22箱時，該網站從中獲利最多，最多是140.8元.

　　【點評】此題主要考查了二次函數的應用，根據題意得出y與x的函數關系是解題關鍵.

　　24.如圖，E是四邊形ABCD的邊AB上一點.

　　(1)猜想論證：如圖，分別連接DE、CE，若∠A=∠B=∠DEC=65°，試猜想圖中哪兩個三角形相似，并說明理由.

　　(2)觀察作圖：如圖‚，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點均在正方形網格(網格中每個小正方形的邊長為1)的格點(即每個小正方形的頂點)上，試在圖‚中矩形ABCD的邊AB上畫出所有滿足條件的點E(點E與點A，B 不重合)，分別連結ED，EC，使四邊形ABCD被分成的三個三角形相似(不證明).

　　(3)拓展探究：如圖ƒ，將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處，若點E恰好將四邊形ABCM分成的三個三角形相似，請直接寫出 的值.

　　【考點】相似形綜合題.

　　【專題】綜合題;圖形的相似.

　　【分析】(1)△ADE∽△BEC，理由為：利用三角形內角和定理及鄰補角定義得到一對角相等，再由已知角相等，利用兩角相等的三角形相似即可得證;

　　(2)如圖②a與圖②b所示，點E為所求的點;

　　(3)由點E恰好將四邊形ABCM分成的三個三角形相似，利用相似三角形對應角相等得到三個角相等，再由折疊的性質得到∠DCM=∠MCE=∠BCE=30°，EC=CD=AB，在Rt△BCE中，利用銳角三角函數定義求出所求式子比值即可.

　　【解答】解：(1)△ADE∽△BEC，理由為：

　　∵∠A=65°，

　　∴∠ADE+∠DEA=115°，

　　∵∠DEC=65°，

　　∴∠BEC+∠DEA=115°，

　　∴∠ADE=∠BEC，

　　∵∠A=∠B，

　　∴△ADE∽△BEC;

　　(2)作圖如下：

　　(3)∵點E恰好將四邊形ABCM分成的三個三角形相似，

　　∴△AEM∽△BCE∽△ECM，

　　∴∠BCE=∠ECM=∠AEM，

　　由折疊可知：△ECM≌△DCM，

　　∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，

　　∴∠BCE=∠ECM=∠DCM=30°，

　　∴DC=CE=AB，

　　在Rt△BCE中，cos∠BCE= =cos30°，

　　∴ = .

　　【點評】此題屬于相似型綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，銳角三角函數定義，以及折疊的性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵.

　　25.如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c經過A (1，0)、B(0，3)及C(3，0)點，動點D從原點O開始沿OB方向以每秒1個單位長度移動，動點E從點C開始沿CO方向以每秒1個長度單位移動，動點D、E同時出發，當動點E到達原點O時，點D、E停止運動.

　　(1)求拋物線的解析式及頂點P的坐標;

　　(2)若F(﹣1，0)，求△DEF的面積S與E點運動時間t的函數解析式;當t為何值時，△DEF的面積最大?最大面積是多少?

　　(3)當△DEF的面積最大時，拋物線的對稱軸上是否存在一點N，使△EBN是直角三角形?若存在，求出N點的坐標，若不存在，請說明理由.

　　【考點】二次函數綜合題.

　　【分析】(1)根據待定系數法，可得函數解析式，根據配方法，可得頂點坐標;

　　(2)根據三角形的面積公式，可得函數解析式，根據二次函數的性質，可得答案;

　　(3)根據勾股定理的逆定理，可得關于a的方程，根據解方程，可得N點坐標.

　　【解答】解：(1)將A (1，0)、B(0，3)及C(3，0)代入函數解析式，得

　　，

　　解得 ，

　　拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3，

　　配方，得y=(x﹣2)2﹣1，頂點P的坐標為(2，﹣1);

　　(2)如圖1 ，

　　由題意，得

　　CE=t，OE=3﹣t，FE=4﹣t，OD=t.

　　S= FE•OD= (4﹣t)t=﹣ t2+2t=﹣ (t﹣2)2+2，

　　當t=2時，S最大=2;

　　(3)當△DEF的面積最大時，E(1，0)，設N(2，a)，

　　BN2=4+(a﹣3)2，EN2=1+a2，BE2=1+9=10，

　　①當BN2+EN2=BE2時，4+9﹣6a+a2+a2+1=10，化簡，得

　　a2﹣3a+2=0，解得a=2，a=1，N(2，2)，N(2，1);

　　②當BN2+BE2=EN2時，4+9﹣6a+a2+10=1+a2，化簡，得

　　6a=22，解得a= ，N(2， );

　　③當BE2+EN2=BN2時，1+a2+10=4+9﹣6a+a2，

　　化簡，得

　　6a=2，解得a= ，N(2， )，

　　綜上所述：N點的坐標(2，2)，(2，1)，(2， )，(2， ).

　　【點評】本題考查了二次函數綜合題，利用待定系數求函數解析式;利用二次函數的性質求面積的最大值;利用勾股定理的逆定理得出關于a的方程是解題關鍵，要分類討論，以防遺漏

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