2017年福建省三明中考數學模擬真題(2)
20.
解：設CD=x米.
在Rt△ACD中， ，
則 ，
∴ ;
在Rt△BCD中，
tan48°= ，
則 ，
∴ .
∵AD+BD=AB，
∴ ，
解得：x≈43.
答：小明家所在居民樓與大廈的距離CD大約是43米.
21.
(1)證明：∵AB是⊙O的切直徑，
∴∠ADB=90°，
又∵∠BAD=∠BED，∠BED=∠DBC，
∴∠BAD=∠DBC，
∴∠BAD+∠ABD=∠DBC+∠ABD=90°，
∴∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切線;
(2)解：∵∠BAD=∠DBC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴ = ，即BC2=AC•CD=(AD+CD)•CD=10，
∴BC= .
五、解答題
22.
解：(1)過點C作CG⊥OA于點G，
∵點C是等邊△OAB的邊OB的中點，
∴OC=2，∠AOB=60°，
∴OG=1，CG=OG•tan60°=1• = ，
∴點C的坐標是(1， )，
由 = ，得：k= ，
∴該雙曲線所表示的函數解析式為y= ;
(2)過點D作DH⊥AF于點H，設AH=a，則DH= a.
∴點D的坐標為(4+a， )，
∵點D是雙曲線y= 上的點，
由xy= ，得 (4+a)= ，
即：a2+4a﹣1=0，
解得：a1= ﹣2，a2=﹣ ﹣2(舍去)，
∴AD=2AH=2 ﹣4，
∴等邊△AEF的邊長是2AD=4 ﹣8.
23.
解：(1)依題意畫出圖形，如答圖1所示：
由題意，得∠CFB=60°，FP為角平分線，則∠CFP=30°，
∴CF=BC•tan30°=3× = ，
∴CP=CF•tan∠CFP= =1.
過點A作AG⊥BC于點G，則AG= BC= ，
∴PG=CG﹣CP= ﹣1= .
在Rt△APG中，由勾股定理得：
AP= = .
(2)由(1)可知，FC= .
如答圖2所示，以點A為圓心，以FC= 長為半徑畫弧，與BC交于點P1、P2，則AP1=AP2= .
過點A過AG⊥BC于點G，則AG= BC= .
在Rt△AGP1中，cos∠P1AG= = ;
∴∠P1AG=30°，
∴∠P1AB=45°﹣30°=15°;
同理求得，∠P2AG=30°，∠P2AB=45°+30°=75°.
∴∠PAB的度數為15°或75°.
(3)如答圖3，
∵以A、P、F、Q為頂點的平行四邊形的頂點Q恰好在邊FC上，
∴AP∥QF，
∴∠APC=∠BCF，
∵∠BCF=90°，
∴∠APC=90°，
在R△ABC中，∠ABC=45°，BC=3，
∴AC=AB= ，
∴AP=BP=CP= BC= ，
∴S平行四邊形APFQ=AP×PC= × = ，
即：點P運動到BC中點的位置時，以A、P、F、Q為頂點的平行四邊形的頂點Q恰好在邊FC上，且面積是 .
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