初三上冊期末數(shù)學(xué)試題

　　A. 線段EF B. 線段DE C. 線段CE D. 線段BE

　　考點(diǎn)： 動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象.

　　分析： 作BN⊥AC，垂足為N，F(xiàn)M⊥AC，垂足為M，DG⊥AC，垂足為G，分別找出線段EF、CE、BE最小值出現(xiàn)的時(shí)刻即可得出結(jié)論.

　　解答： 解：作BN⊥AC，垂足為N，F(xiàn)M⊥AC，垂足為M，DG⊥AC，垂足為G.

　　由垂線段最短可知：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)M重合時(shí)，即AE< 時(shí)，F(xiàn)E有最小值，與函數(shù)圖象不符，故A錯(cuò)誤;

　　由垂線段最短可知：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)G重合時(shí)，即AEd> 時(shí)，DE有最小值，故B正確;

　　∵CE=AC﹣AE，CE隨著AE的增大而減小，故C錯(cuò)誤;

　　由垂線段最短可知：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)N重合時(shí)，即AE< 時(shí)，BE有最小值，與函數(shù)圖象不符，故D錯(cuò)誤;

　　故選：B.

　　點(diǎn)評： 本題主要考查的是動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)垂線段最短確定出函數(shù)最小值出現(xiàn)的時(shí)刻是解題的關(guān)鍵.

　　二、填空題(共4小題，每小題4分，滿分16分)

　　9.已知扇形的半徑為3cm，圓心角為120°，則扇形的面積為　3π　cm2.(結(jié)果保留π)

　　考點(diǎn)： 扇形面積的計(jì)算.

　　專題： 壓軸題.

　　分析： 知道扇形半徑，圓心角，運(yùn)用扇形面積公式就能求出.

　　解答： 解：由S= 知

　　S= × π×32=3πcm2.

　　點(diǎn)評： 本題主要考查扇形面積的計(jì)算，知道扇形面積計(jì)算公式S= .

　　10.在某一時(shí)刻，測得一根高為2m的竹竿的影長為1m，同時(shí)測得一棟建筑物的影長為12m，那么這棟建筑物的高度為　24　m.

　　考點(diǎn)： 相似三角形的應(yīng)用.

　　分析： 根據(jù)同時(shí)同地的物高與影長成正比列式計(jì)算即可得解.

　　解答： 解：設(shè)這棟建筑物的高度為xm，

　　由題意得， = ，

　　解得x=24，

　　即這棟建筑物的高度為24m.

　　故答案為：24.

　　點(diǎn)評： 本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟記同時(shí)同地的物高與影長成正比是解題的關(guān)鍵.

　　11.拋物線y=ax2與直線y=bx+c的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(﹣2，4)，B(1，1)，則關(guān)于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解為　x1=﹣2，x2=1　.

　　考點(diǎn)： 二次函數(shù)的性質(zhì).

　　專題： 數(shù)形結(jié)合.

　　分析： 根據(jù)二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題得到方程組 的解為 ， ，于是易得關(guān)于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解.

　　解答： 解：∵拋物線y=ax2與直線y=bx+c的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(﹣2，4)，B(1，1)，

　　∴方程組 的解為 ， ，

　　即關(guān)于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解為x1=﹣2，x2=1.

　　故答案為x1=﹣2，x2=1.

　　點(diǎn)評： 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(﹣ ， )，對稱軸直線x=﹣ .也考查了二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題.

　　12.對于正整數(shù)n，定義F(n)= ，其中f(

　　n)表示n的首位數(shù)字、末位數(shù)字的平方和.例如：F(6)=62=36，F(xiàn)(123)=f(123)=12+32=10.規(guī)定F1(n)=F(n)，F(xiàn)k+1(n)=F(Fk(n)).例如：F1(123)=F(123)=10，F(xiàn)2(123)=F(F1(123))=F(10)=1.

　　(1)求：F2(4)=　37　，F(xiàn)2015(4)=　26　;

　　(2)若F3m(4)=89，則正整數(shù)m的最小值是　6　.

　　考點(diǎn)： 規(guī)律型：數(shù)字的變化類.

　　專題： 新定義.

　　分析： 通過觀察前8個(gè)數(shù)據(jù)，可以得出規(guī)律，這些數(shù)字7個(gè)一個(gè)循環(huán)，根據(jù)這些規(guī)律計(jì)算即可.

　　解答： 解：(1)F2(4)=F(F1(4))=F(16)=12+62=37;

　　F1(4)=F(4)=16，F(xiàn)2(4)=37，F(xiàn)3(4)=58，

　　F4(4)=89，F(xiàn)5(4)=145，F(xiàn)6(4)=26，F(xiàn)7(4)=40，F(xiàn)8(4)=16，

　　通過觀察發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)字7個(gè)一個(gè)循環(huán)，2015是7的287倍余6，因此F2015(4)=26;

　　(2)由(1)知，這些數(shù)字7個(gè)一個(gè)循環(huán)，F(xiàn)4(4)=89=F18(4)，因此3m=18，所以m=6.

　　故答案為：(1)37，26;(2)6.

　　點(diǎn)評： 本題屬于數(shù)字變化類的規(guī)律探究題，通過觀察前幾個(gè)數(shù)據(jù)可以得出規(guī)律，熟練找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

　　三、解答題(共13小題，滿分72分)

　　13.計(jì)算：(﹣1)2015+sin30°﹣(π﹣3.14)0+( )﹣1.

　　考點(diǎn)： 實(shí)數(shù)的運(yùn)算;零指數(shù)冪;負(fù)整數(shù)指數(shù)冪;特殊角的三角函數(shù)值.

　　專題： 計(jì)算題.

　　分析： 原式第一項(xiàng)利用乘方的意義計(jì)算，第二項(xiàng)利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算，第三項(xiàng)利用零指數(shù)冪法則計(jì)算，最后一項(xiàng)利用負(fù)指數(shù)冪法則計(jì)算即可.

　　解答： 解：原式=﹣1+ ﹣1+2= .

　　點(diǎn)評： 此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

　　14.△ABC中，AB=AC，D是BC中點(diǎn)，BE⊥AC于E，求證：△ACD∽△BCE.

　　考點(diǎn)： 相似三角形的判定.

　　專題： 證明題.

　　分析： 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由AB=AC，D是BC中點(diǎn)得到AD⊥BC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再加上公共角，于是根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似即可得到結(jié)論.

　　解答： 證明：∵AB=AC，D是BC中點(diǎn)，

　　∴AD⊥BC，

　　∴∠ADC=90°，

　　∵BE⊥AC，

　　∴∠BEC=90°，

　　∴∠ADC=∠BEC，

　　而∠ACD=∠BCE，

　　∴△ACD∽△BCE.

　　點(diǎn)評： 本題考查了相似三角形的判定：有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.也考查了等腰三角形的性質(zhì).

　　15.已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式 的值.

　　考點(diǎn)： 一元二次方程的解.

　　專題： 計(jì)算題.

　　分析： 把x=m代入方程得到m2﹣2=3m，原式分子利用平方差公式化簡，將m2﹣2=3m代入計(jì)算即可求出值.

　　解答： 解：把x=m代入方程得：m2﹣3m﹣2=0，即m2﹣2=3m，

　　則原式= = =3.

　　點(diǎn)評： 此題考查了一元二次方程的解，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

　　16.拋物線y=2x2平移后經(jīng)過點(diǎn)A(0，3)，B(2，3)，求平移后的拋物線的表達(dá)式.

　　考點(diǎn)： 二次函數(shù)圖象與幾何變換.

　　專題： 計(jì)算題.

　　分析： 由于拋物線平移前后二次項(xiàng)系數(shù)不變，則可設(shè)平移后的拋物線的表達(dá)式為y=2x2+bx+c，然后把點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得到關(guān)于b、c的方程組，解方程組求出b、c即可得到平移后的拋物線的表達(dá)式.

　　解答： 解：設(shè)平移后的拋物線的表達(dá)式為y=2x2+bx+c，

　　把點(diǎn)A(0，3)，B(2，3)分別代入得 ，解得 ，

　　所以平移后的拋物線的表達(dá)式為y=2x2﹣4x+3.

　　點(diǎn)評： 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式;二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式.

　　17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y= 的圖象交于A，B兩點(diǎn)，A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，AC⊥x軸于點(diǎn)C，連接BC.

　　(1)求反比例函數(shù)的解析式;

　　(2)若點(diǎn)P是反比例函數(shù)y= 圖象上的一點(diǎn)，且滿足△OPC與△ABC的面積相等，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

　　考點(diǎn)： 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題.

　　分析： (1)把A點(diǎn)橫坐標(biāo)代入正比例函數(shù)可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式可求得k，可求得反比例函數(shù)解析式;

　　(2)由條件可求得B、C的坐標(biāo)，可先求得△ABC的面積，再結(jié)合△OPC與△ABC的面積相等求得P點(diǎn)坐標(biāo).

　　解答： 解：

　　(1)把x=2代入y=2x中，得y=2×2=4，

　　∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(2，4)，

　　∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y= 的圖象上，

　　∴k=2×4=8，

　　∴反比例函數(shù)的解析式為y= ;

　　(2)∵AC⊥OC，

　　∴OC=2，

　　∵A、B關(guān)于原點(diǎn)對稱，

　　∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2，﹣4)，

　　∴B到OC的距離為4，

　　∴S△ABC=2S△ACO=2× ×2×4=8，

　　∴S△OPC=8，

　　設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x， )，則P到OC的距離為| |，

　　∴ ×| |×2=8，解得x=1或﹣1，

　　∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(1，8)或(﹣1，﹣8).

　　點(diǎn)評： 本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及函數(shù)的交點(diǎn)問題，在(1)中求得A點(diǎn)坐標(biāo)、在(2)中求得P點(diǎn)到OC的距離是解題的關(guān)鍵.

　　18.△ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，BC=8，D是AB中點(diǎn)，過點(diǎn)B作直線CD的垂線，垂足為點(diǎn)E.

　　(1)求線段CD的長;

　　(2)求cos∠ABE的值.

　　考點(diǎn)： 解直角三角形;勾股定理.

　　專題： 計(jì)算題.

　　分析： (1)在△ABC中根據(jù)正弦的定義得到sinA= = ，則可計(jì)算出AB=10，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得到CD= AB=5;

　　(2)在Rt△ABC中先利用勾股定理計(jì)算出AC=6，在根據(jù)三角形面積公式得到S△BDC=S△ADC，則S△BDC= S△ABC，即 CD•BE= • AC•BC，于是可計(jì)算出BE= ，然后在Rt△BDE中利用余弦的定義求解.

　　解答： 解：(1)在△ABC中，∵∠ACB=90°，

　　∴sinA= = ，

　　而BC=8，

　　∴AB=10，

　　∵D是AB中點(diǎn)，

　　∴CD= AB=5;

　　(2)在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，

　　∴AC= =6，

　　∵D是AB中點(diǎn)，

　　∴BD=5，S△BDC=S△ADC，

　　∴S△BDC= S△ABC，即 CD•BE= • AC•BC，

　　∴BE= = ，

　　在Rt△BDE中，cos∠DBE= = = ，

　　即cos∠ABE的值為 .

　　點(diǎn)評： 本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和三角形面積公式.

　　19.已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2.

　　(1)求m的取值范圍;

　　(2)若x2<0，且 >﹣1，求整數(shù)m的值.

　　考點(diǎn)： 根的判別式;根與系數(shù)的關(guān)系.

　　專題： 計(jì)算題.

　　分析： (1)由二次項(xiàng)系數(shù)不為0，且根的判別式大于0，求出m的范圍即可;

　　(2)利用求根公式表示出方程的解，根據(jù)題意確定出m的范圍，找出整數(shù)m的值即可.

　　解答： 解：(1)由已知得：m≠0且△=(m+2)2﹣8m=(m﹣2)2>0，

　　則m的范圍為m≠0且m≠2;

　　(2)方程解得：x= ，即x=1或x= ，

　　∵x2<0，∴x2= <0，即m<0，

　　∵ >﹣1，

　　∴ >﹣1，即m>﹣2，

　　∵m≠0且m≠2，

　　∴﹣2

　　∵m為整數(shù)，

　　∴m=﹣1.

　　點(diǎn)評： 此題考查了根的判別式，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根即為根的判別式大于0.

　　20.某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個(gè)檔次，據(jù)調(diào)查顯示，每個(gè)檔次的日產(chǎn)量及相應(yīng)的單件利潤如表所示(其中x為正整數(shù)，且1≤x≤10);

　　質(zhì)量檔次 1 2 … x … 10

　　日產(chǎn)量(件) 95 90 … 100﹣5x … 50

　　單件利潤(萬元) 6 8 … 2x+4 … 24

　　為了便于調(diào)控，此工廠每天只生產(chǎn)一個(gè)檔次的產(chǎn)品，當(dāng)生產(chǎn)質(zhì)量檔次為x的產(chǎn)品時(shí)，當(dāng)天的利潤為y萬元.

　　(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

　　(2)工廠為獲得最大利潤，應(yīng)選擇生產(chǎn)哪個(gè)檔次的產(chǎn)品?并求出當(dāng)天利潤的最大值.

　　考點(diǎn)： 二次函數(shù)的應(yīng)用.

　　分析： (1)根據(jù)總利潤=單件利潤×銷售量就可以得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

　　(2)由(1)的解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，由二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)論.

　　解答： 解：(1)由題意，得

　　y=(100﹣5x)(2x+4)，

　　y=﹣10x2+180x+400(1≤x≤10的整數(shù));

　　答：y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣10x2+180x+400;

　　(2)∵y=﹣10x2+180x+400，

　　∴y=﹣10(x﹣9)2+1210.

　　∵1≤x≤10的整數(shù)，

　　∴x=9時(shí)，y最大=1210.

　　答：工廠為獲得最大利潤，應(yīng)選擇生產(chǎn)9檔次的產(chǎn)品，當(dāng)天利潤的最大值為1210萬元.

　　點(diǎn)評： 本題考查了總利潤=單件利潤×銷售量的運(yùn)用，二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，頂點(diǎn)式的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.

　　21.四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，AD與⊙O相切，射線AO交BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F.點(diǎn)P在射線AO上，且∠PCB=2∠BAF.

　　(1)求證：直線PC是⊙O的切線;

　　(2)若AB= ，AD=2，求線段PC的長.

　　考點(diǎn)： 切線的判定;勾股定理;平行四邊形的性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì).

　　分析： (1)首先連接OC，由AD與⊙O相切，可得FA⊥AD，四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD∥BC，然后由垂徑定理可證得F是 的中點(diǎn)，BE=CE，∠OEC=90°，又由∠PCB=2∠BAF，即可求得∠OCE+∠PCB=90°，繼而證得直線PC是⊙O的切線;

　　(2)首先由勾股定理可求得AE的長，然后設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=OA=r，OE=3﹣r，則可求得半徑長，易得△OCE∽△CPE，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得線段PC的長.

　　解答： (1)證明：連接OC.

　　∵AD與⊙O相切于點(diǎn)A，

　　∴FA⊥AD.

　　∵四邊形ABCD是平行四邊形，

　　∴AD∥BC，

　　∴FA⊥BC.

　　∵FA經(jīng)過圓心O，

　　∴F是 的中點(diǎn)，BE=CE，∠OEC=90°，

　　∴∠COF=2∠BAF.

　　∵∠PCB=2∠BAF，

　　∴∠PCB=∠COF.

　　∵∠OCE+∠COF=180°﹣∠OEC=90°，

　　∴∠OCE+∠PCB=90°.

　　∴OC⊥PC.

　　∵點(diǎn)C在⊙O上，

　　∴直線PC是⊙O的切線.

　　(2)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

　　∴BC=AD=2.

　　∴BE=CE=1.

　　在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB= ，

　　∴ .

　　設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=OA=r，OE=3﹣r.

　　在Rt△OCE中，∠OEC=90°，

　　∴OC2=OE2+CE2.

　　∴r2=(3﹣r)2+1.

　　解得 ，

　　∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°.

　　∴△OCE∽△CPE，

　　∴ .

　　∴ .

　　∴ .

　　點(diǎn)評： 此題考查了切線的判定、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì).此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.

　　22.閱讀下面材料：

　　小明觀察一個(gè)由1×1正方形點(diǎn)陣組成的點(diǎn)陣圖，圖中水平與豎直方向上任意兩個(gè)相鄰點(diǎn)間的距離都是1，他發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的問題：對于圖中出現(xiàn)的任意兩條端點(diǎn)在點(diǎn)陣上且互相不垂直的線段，都可以在點(diǎn)陣中找到一點(diǎn)構(gòu)造垂直，進(jìn)而求出它們相交所成銳角的正切值.

　　請回答：

　　(1)A，B，C是點(diǎn)陣中的三個(gè)點(diǎn)，請?jiān)邳c(diǎn)陣中找到點(diǎn)D，作出線段CD，使得CD⊥AB;

　　(2)線段AB與CD交于點(diǎn)O.為了求出∠AOD的正切值，小明在點(diǎn)陣中找到了點(diǎn)E，連接AE，恰好滿足AE⊥CD于點(diǎn)F，再作出點(diǎn)陣中的其它線段，就可以構(gòu)造相似三角形，經(jīng)過推理和計(jì)算能夠使問題得到解決.

　　請你幫小明計(jì)算：OC=　 　;tan∠AOD=　5　;

　　解決問題：

　　如圖3，計(jì)算：tan∠AOD=　 　.

　　考點(diǎn)： 相似形綜合題.

　　分析： (1)用三角板過C作AB的垂線，從而找到D的位置;

　　(2)連接AC、DB、AD、DE.由△ACO∽△DBO求得CO的長，由等腰直角三角形的性質(zhì)可以求出AF，DF的長，從而求出OF的長，在Rt△AFO中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出tan∠AOD的值;

　　(3)如圖，連接AE、BF，則AF= ，AB= ，由△AOE∽△BOF，可以求出AO= ，在Rt△AOF中，可以求出OF= ，故可求得tan∠AOD.

　　解答： 解：(1)如圖所示：

　　線段CD即為所求.

　　(2)如圖2所示連接AC、DB、AD.

　　∵AD=DE=2，

　　∴AE=2 .

　　∵CD⊥

　　AE，

　　∴DF=AF= .

　　∵AC∥BD，

　　∴△ACO∽△DBO.

　　∴CO：DO=2：3.

　　∴CO= .

　　∴DO= .

　　∴OF= .

　　tan∠AOD= .

　　(3)如圖3所示：

　　根據(jù)圖形可知：BF=2，AE=5.

　　由勾股定理可知：AF= = ，AB= = .

　　∵FB∥AE，

　　∴△AOE∽△BOF.

　　∴AO：OB=AE：FB=5：2.

　　∴AO= .

　　在Rt△AOF中，OF= = .

　　∴tan∠AOD= .

　　點(diǎn)評： 本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)點(diǎn)陣圖構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.