2017安徽中考數(shù)學(xué)模擬試卷及答案(2)
2017安徽中考數(shù)學(xué)模擬試題及參考答案
一、選擇題(本大題共20小題，每小題3分，共60分)
1.(﹣ )﹣1的倒數(shù)是( )
A. B. C.﹣ D.﹣
【考點(diǎn)】6F：負(fù)整數(shù)指數(shù)冪;17：倒數(shù).
【分析】先計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，再依據(jù)倒數(shù)的定義可得.
【解答】解：∵(﹣ )﹣1=﹣ ，
∴(﹣ )﹣1的倒數(shù)為﹣ ，
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和倒數(shù)的定義，熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪是解題的關(guān)鍵.
2.下列計(jì)算正確的是( )
A.(﹣3a)2+4a2=a2 B.3a2﹣(﹣2a)2=﹣a2
C.3a•4a2=12a2 D.(3a2)2÷4a2= a2
【考點(diǎn)】4I：整式的混合運(yùn)算.
【分析】各項(xiàng)計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷.
【解答】解：A、原式=9a2+4a2=13a2，不符合題意;
B、原式=3a2﹣4a2=﹣a2，符合題意;
C、原式=12a3，不符合題意;
D、原式=9a4÷4a2= a2，不符合題意，
故選B
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵.
3.已知點(diǎn)M(1﹣2m，m﹣1)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在第一象限，則m的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】R6：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo);C4：在數(shù)軸上表示不等式的解集;CB：解一元一次不等式組.
【分析】先確定出點(diǎn)M在第三象限，然后根據(jù)第三象限內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是負(fù)數(shù)列出不等式組，然后求解得到m的取值范圍，從而得解.
【解答】解：∵點(diǎn)M(1﹣2m，m﹣1)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在第一象限，
∴點(diǎn)M(1﹣2m，m﹣1)在第三象限，
∴ ，
解不等式①得，m> ，
解不等式②得，m<1，
所以，m的取值范圍是
在數(shù)軸上表示如下： .
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中，各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)的確定方法，以及關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系以及一元一次不等式組的解法.
4.下列圖形是幾家電信公司的標(biāo)志，其中既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】P3：軸對(duì)稱(chēng)圖形;R5：中心對(duì)稱(chēng)圖形.
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形與中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念求解.
【解答】解：A、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也不是中心對(duì)稱(chēng)圖形.故錯(cuò)誤;
B、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也不是中心對(duì)稱(chēng)圖形.故錯(cuò)誤;
C、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形.故正確;
D、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，是中心對(duì)稱(chēng)圖形.故錯(cuò)誤.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】掌握好中心對(duì)稱(chēng)圖形與軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念.
軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸，圖形兩部分折疊后可重合;
中心對(duì)稱(chēng)圖形是要尋找對(duì)稱(chēng)中心，旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合.
5.化簡(jiǎn) ÷(1+ )的結(jié)果是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】6C：分式的混合運(yùn)算.
【分析】首先對(duì)括號(hào)內(nèi)的式子通分相加，然后把除法轉(zhuǎn)化成乘法，進(jìn)行約分即可.
【解答】解：原式= ÷
= •
= .
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，通分、因式分解和約分是解答的關(guān)鍵.
6.長(zhǎng)方體的主視圖、俯視圖如圖所示(單位：m)，則其左視圖面積是( )
A.4m2 B.12m2 C.1m2 D.3m2
【考點(diǎn)】U3：由三視圖判斷幾何體.
【分析】左視圖面積=寬×高.
【解答】解：由主視圖易得高為1，由俯視圖易得寬為3.
∴左視圖面積=1×3=3(m2).
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】主視圖確定物體的長(zhǎng)與高;俯視圖確定物體的長(zhǎng)與寬.
7.某機(jī)械廠七月份生產(chǎn)零件50萬(wàn)個(gè)，第三季度生產(chǎn)零件196萬(wàn)個(gè).設(shè)該廠八、九月份平均每月的增長(zhǎng)率為x，那么x滿足的方程是( )
A.50(1+x2)=196 B.50+50(1+x2)=196
C.50+50(1+x)+50(1+x)2=196 D.50+50(1+x)+50(1+2x)=196
【考點(diǎn)】AC：由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程.
【分析】主要考查增長(zhǎng)率問(wèn)題，一般增長(zhǎng)后的量=增長(zhǎng)前的量×(1+增長(zhǎng)率)，如果該廠八、九月份平均每月的增長(zhǎng)率為x，那么可以用x分別表示八、九月份的產(chǎn)量，然后根據(jù)題意可得出方程.
【解答】解：依題意得八、九月份的產(chǎn)量為50(1+x)、50(1+x)2，
∴50+50(1+x)+50(1+x)2=196.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，增長(zhǎng)率問(wèn)題，一般形式為a(1+x)2=b，a為起始時(shí)間的有關(guān)數(shù)量，b為終止時(shí)間的有關(guān)數(shù)量.
8.2017年“端午節(jié)”期間，小明與小亮兩家準(zhǔn)備從東營(yíng)港、黃河入海口、龍悅湖中選擇一景點(diǎn)游玩，小明與小亮通過(guò)抽簽方式確定景點(diǎn)，則兩家都抽到東營(yíng)港的概率是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】X6：列表法與樹(shù)狀圖法.
【分析】首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩家抽到東營(yíng)港的情況，再利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解：用A、B、C表示：東營(yíng)港、黃河入海口、龍悅湖;
畫(huà)樹(shù)狀圖得：
∵共有9種等可能的結(jié)果，則兩家都抽到東營(yíng)港的有3種情況，
∴則兩家都抽到東營(yíng)港的概率是 = ;
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率.列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
9.已知空氣的單位體積質(zhì)量為1.24×10﹣3克/厘米3，1.24×10﹣3用小數(shù)表示為( )
A.0.000124 B.0.0124 C.﹣0.00124 D.0.00124
【考點(diǎn)】1K：科學(xué)記數(shù)法—原數(shù).
【分析】科學(xué)記數(shù)法的標(biāo)準(zhǔn)形式為a×10n(1≤|a|<10，n為整數(shù)).本題把數(shù)據(jù)“1.24×10﹣3中1.24的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)3位就可以得到.
【解答】解：把數(shù)據(jù)“1.24×10﹣3中1.24的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)3位就可以得到為0.001 24.故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查寫(xiě)出用科學(xué)記數(shù)法表示的原數(shù).
將科學(xué)記數(shù)法a×10﹣n表示的數(shù)，“還原”成通常表示的數(shù)，就是把a(bǔ)的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)n位所得到的數(shù).
把一個(gè)數(shù)表示成科學(xué)記數(shù)法的形式及把科學(xué)記數(shù)法還原是兩個(gè)互逆的過(guò)程，這也可以作為檢查用科學(xué)記數(shù)法表示一個(gè)數(shù)是否正確的方法.
10.某班七個(gè)合作學(xué)習(xí)小組人數(shù)如下：4、5、5、x、6、7、8，已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是6，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是( )
A.5 B.5.5 C.6 D.7
【考點(diǎn)】W4：中位數(shù);W1：算術(shù)平均數(shù).
【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義先求出這組數(shù)據(jù)x，再將這組數(shù)據(jù)從小到大排列，然后找出最中間的數(shù)即可.
【解答】解：∵4、5、5、x、6、7、8的平均數(shù)是6，
∴(4+5+5+x+6+7+8)÷7=6，
解得：x=7，
將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為4、5、5、6、7、7、8，
最中間的數(shù)是6;
則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6;
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了中位數(shù)，掌握中位數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大(或從大到小)重新排列后，最中間的那個(gè)數(shù)(最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)).
11.把一副三角板如圖甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜邊AB=6，DC=7，把三角板DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到△D1CE1(如圖乙)，此時(shí)AB與CD1交于點(diǎn)O，則線段AD1的長(zhǎng)為( )
A. B.5 C.4 D.
【考點(diǎn)】R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).
【分析】先求出∠ACD=30°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角求出∠ACD1=45°，然后判斷出△ACO是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AO、CO，AB⊥CO，再求出OD1然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解.
【解答】解：∵∠ACB=∠DEC=90°，∠D=30°，
∴∠DCE=90°﹣30°=60°，
∴∠ACD=90°﹣60°=30°，
∵旋轉(zhuǎn)角為15°，
∴∠ACD1=30°+15°=45°，
又∵∠A=45°，
∴△ACO是等腰直角三角形，
∴AO=CO= AB= ×6=3，AB⊥CO，
∵DC=7，
∴D1C=DC=7，
∴D1O=7﹣3=4，
在Rt△AOD1中，AD1= = =5.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)判斷出AB⊥CO是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).
12.如圖，直線y= 與雙曲線y= (k>0，x>0)交于點(diǎn)A，將直線y= 向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后，與y軸交于點(diǎn)C，與雙曲線y= (k>0，x>0)交于點(diǎn)B，若OA=3BC，則k的值為( )
A.3 B.6 C. D.
【考點(diǎn)】GB：反比例函數(shù)綜合題.
【分析】先根據(jù)一次函數(shù)平移的性質(zhì)求出平移后函數(shù)的解析式，再分別過(guò)點(diǎn)A、B作AD⊥x軸，BE⊥x軸，CF⊥BE于點(diǎn)F，再設(shè)A(3x， x)，由于OA=3BC，故可得出B(x， x+4)，再根據(jù)反比例函數(shù)中k=xy為定值求出x
【解答】解：∵將直線y= 向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后，與y軸交于點(diǎn)C，
∴平移后直線的解析式為y= x+4，
分別過(guò)點(diǎn)A、B作AD⊥x軸，BE⊥x軸，CF⊥BE于點(diǎn)F，設(shè)A(3x， x)，
∵OA=3BC，BC∥OA，CF∥x軸，
∴△BCF∽△AOD，
∴CF= OD，
∵點(diǎn)B在直線y= x+4上，
∴B(x， x+4)，
∵點(diǎn)A、B在雙曲線y= 上，
∴3x• x=x•( x+4)，解得x=1，
∴k=3×1× ×1= .
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，根據(jù)題意作出輔助線，設(shè)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)k=xy的特點(diǎn)求出k的值即可.
13.如圖，半圓O的直徑AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，則AD的長(zhǎng)為( )
A. cm B. cm C. cm D.4cm
【考點(diǎn)】M4：圓心角、弧、弦的關(guān)系;KD：全等三角形的判定與性質(zhì);KQ：勾股定理.
【分析】連接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，運(yùn)用圓周角定理，可證得∠DOB=∠OAC，即證△AOF≌△OED，所以O(shè)E=AF=3cm，根據(jù)勾股定理，得DE=4cm，在直角三角形ADE中，根據(jù)勾股定理，可求AD的長(zhǎng).
【解答】解：連接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵∠CAD=∠BAD(角平分線的性質(zhì))，
∴ = ，
∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，
∴△AOF≌△ODE，
∴OE=AF= AC=3(cm)，
在Rt△DOE中，DE= =4(cm)，
在Rt△ADE中，AD= =4 (cm).
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換及圓的有關(guān)計(jì)算，涉及圓的題目作弦的弦心距是常見(jiàn)的輔助線之一，注意熟練運(yùn)用垂徑定理、圓周角定理和勾股定理.
14.如圖，已知⊙O的半徑為1，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，BD⊥AC于點(diǎn)D，OM⊥AB于點(diǎn)M，則sin∠CBD的值等于( )
A.OM的長(zhǎng) B.2OM的長(zhǎng) C.CD的長(zhǎng) D.2CD的長(zhǎng)
【考點(diǎn)】M5：圓周角定理;T1：銳角三角函數(shù)的定義.
【分析】作直徑AE，連接BE.得直角三角形ABE.根據(jù)圓周角定理可證∠CBD=∠MAO，運(yùn)用三角函數(shù)定義求解.
【解答】解：連接AO并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)E，連接BE.則∠C=∠E，
由AE為直徑，且BD⊥AC，得到∠BDC=∠ABE=90°，
所以△ABE和△BCD都是直角三角形，
所以∠CBD=∠EAB.
又△OAM是直角三角形，∵AO=1，
∴sin∠CBD=sin∠EAB= =OM，即sin∠CBD的值等于OM的長(zhǎng).
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】考查了圓周角定理和三角函數(shù)定義.此題首先要觀察題目涉及的線段，然后根據(jù)已知條件結(jié)合定理進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換.
15.若正比例函數(shù)y=mx(m≠0)，y隨x的增大而減小，則它和二次函數(shù)y=mx2+m的圖象大致是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】H2：二次函數(shù)的圖象;F4：正比例函數(shù)的圖象.
【分析】由y=mx(m≠0)，y隨x的增大而減小，推出m<0，可知二次函數(shù)y=mx2+m的圖象的開(kāi)口向下，與y則交于負(fù)半軸上，由此即可判斷.
【解答】解：∵y=mx(m≠0)，y隨x的增大而減小，
∴m<0，
∴二次函數(shù)y=mx2+m的圖象的開(kāi)口向下，與y則交于負(fù)半軸上，
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題參考二次函數(shù)的性質(zhì)、正比例函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正比例函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中考常考題型.
16.如圖，分別以直角△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，DE與AB交于點(diǎn)G，EF與AC交于點(diǎn)H，∠ACB=90°，∠BAC=30°.給出如下結(jié)論：
①EF⊥AC;②四邊形ADFE為菱形;③AD=4AG;④FH= BD;
其中正確結(jié)論的是( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
【考點(diǎn)】L9：菱形的判定;KK：等邊三角形的性質(zhì);KO：含30度角的直角三角形.
【分析】根據(jù)已知先判斷△ABC≌△EFA，則∠AEF=∠BAC，得出EF⊥AC，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠BDF=30°，從而證得△DBF≌△EFA，則AE=DF，再由FE=AB，得出四邊形ADFE為平行四邊形而不是菱形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD=4AG，從而得到答案.
【解答】解：∵△ACE是等邊三角形，
∴∠EAC=60°，AE=AC，
∵∠BAC=30°，
∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，
∵F為AB的中點(diǎn)，
∴AB=2AF，
∴BC=AF，
∴△ABC≌△EFA，
∴FE=AB，
∴∠AEF=∠BAC=30°，
∴EF⊥AC，故①正確，
∵EF⊥AC，∠ACB=90°，
∴HF∥BC，
∵F是AB的中點(diǎn)，
∴HF= BC，
∵BC= AB，AB=BD，
∴HF= BD，故④說(shuō)法正確;
∵AD=BD，BF=AF，
∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠DFB=∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=30°，
∴∠BDF=∠AEF，
∴△DBF≌△EFA(AAS)，
∴AE=DF，
∵FE=AB，
∴四邊形ADFE為平行四邊形，
∵AE≠EF，
∴四邊形ADFE不是菱形;
故②說(shuō)法不正確;
∴AG= AF，
∴AG= AB，
∵AD=AB，
則AD=4AG，故③說(shuō)法正確，
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，解決本題需先根據(jù)已知條件先判斷出一對(duì)全等三角形，然后按排除法來(lái)進(jìn)行選擇.
17.如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，把△ADE沿AE對(duì)折，點(diǎn)D的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F恰好落在BC上，已知折痕AE=10 cm，且tan∠EFC= ，那么該矩形的周長(zhǎng)為( )
A.72cm B.36cm C.20cm D.16cm
【考點(diǎn)】LB：矩形的性質(zhì);PB：翻折變換(折疊問(wèn)題).
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得∠AFE=∠D=90°，AD=AF，然后根據(jù)同角的余角相等求出∠BAF=∠EFC，然后根據(jù)tan∠EFC= ，設(shè)BF=3x、AB=4x，利用勾股定理列式求出AF=5x，再求出CF，根據(jù)tan∠EFC= 表示出CE并求出DE，最后在Rt△ADE中，利用勾股定理列式求出x，即可得解.
【解答】解：在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，
∵△ADE沿AE對(duì)折，點(diǎn)D的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F恰好落在BC上，
∴∠AFE=∠D=90°，AD=AF，
∵∠EFC+∠AFB=180°﹣90°=90°，
∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∵tan∠EFC= ，
∴設(shè)BF=3x、AB=4x，
在Rt△ABF中，AF= = =5x，
∴AD=BC=5x，
∴CF=BC﹣BF=5x﹣3x=2x，
∵tan∠EFC= ，
∴CE=CF•tan∠EFC=2x• = x，
∴DE=CD﹣CE=4x﹣ x= x，
在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，
即(5x)2+( x)2=(10 )2，
整理得，x2=16，
解得x=4，
∴AB=4×4=16cm，AD=5×4=20cm，
矩形的周長(zhǎng)=2(16+20)=72cm.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的對(duì)邊相等，四個(gè)角都是直角的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)正切值設(shè)出未知數(shù)并表示出圖形中的各線段是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).
18.如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G，下列結(jié)論：①BE=DF;②∠DAF=15°;③AC垂直平分EF;④BE+DF=EF;⑤S△CEF=2S△ABE，其中正確結(jié)論有( )
A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)
【考點(diǎn)】LE：正方形的性質(zhì);KD：全等三角形的判定與性質(zhì);KK：等邊三角形的性質(zhì).
【分析】通過(guò)條件可以得出△ABE≌△ADF，從而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性質(zhì)就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，設(shè)EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x與y的關(guān)系，表示出BE與EF，利用三角形的面積公式分別表示出S△CEF和2S△ABE，再通過(guò)比較大小就可以得出結(jié)論.
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°.
∵△AEF等邊三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°.
∴∠BAE+∠DAF=30°.
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，
∴BE=DF(故①正確).
∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，
即∠DAF=15°(故②正確)，
∵BC=CD，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF.(故③正確).
設(shè)EC=x，由勾股定理，得
EF= x，CG= x，
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°= x，
∴AC= ，
∴AB= ，
∴BE= ﹣x= ，
∴BE+DF= x﹣x≠ x，(故④錯(cuò)誤)，
∵S△CEF= x2，
S△ABE= x2，
∴2S△ABE= x2=S△CEF，(故⑤正確).
綜上所述，正確的有4個(gè)，
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答本題時(shí)運(yùn)用勾股定理的性質(zhì)解題時(shí)關(guān)鍵.
19.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示，圖象過(guò)點(diǎn)(﹣1，0)，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2，下列結(jié)論：(1)4a+b=0;(2)9a+c>3b;(3)8a+7b+2c>0;(4)若點(diǎn)A(﹣3，y1)、點(diǎn)B(﹣ ，y2)、點(diǎn)C( ，y3)在該函數(shù)圖象上，則y1
A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)
【考點(diǎn)】H4：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】(1)正確.根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸公式計(jì)算即可.
(2)錯(cuò)誤，利用x=﹣3時(shí)，y<0，即可判斷.
(3)正確.由圖象可知拋物線經(jīng)過(guò)(﹣1，0)和(5，0)，列出方程組求出a、b即可判斷.
(4)錯(cuò)誤.利用函數(shù)圖象即可判斷.
(5)正確.利用二次函數(shù)與二次不等式關(guān)系即可解決問(wèn)題.
【解答】解：(1)正確.∵﹣ =2，
∴4a+b=0.故正確.
(2)錯(cuò)誤.∵x=﹣3時(shí)，y<0，
∴9a﹣3b+c<0，
∴9a+c<3b，故(2)錯(cuò)誤.
(3)正確.由圖象可知拋物線經(jīng)過(guò)(﹣1，0)和(5，0)，
∴ 解得 ，
∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，
∵a<0，
∴8a+7b+2c>0，故(3)正確.
(4)錯(cuò)誤，∵點(diǎn)A(﹣3，y1)、點(diǎn)B(﹣ ，y2)、點(diǎn)C( ，y3)，
∵ ﹣2= ，2﹣(﹣ )= ，
∴ <
∴點(diǎn)C離對(duì)稱(chēng)軸的距離近，
∴y3>y2，
∵a<0，﹣3<﹣ <2，
∴y1
∴y1
(5)正確.∵a<0，
∴(x+1)(x﹣5)=﹣3/a>0，
即(x+1)(x﹣5)>0，
故x<﹣1或x>5，故(5)正確.
∴正確的有三個(gè)，
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)與系數(shù)關(guān)系，靈活掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)利用圖象信息解決問(wèn)題，屬于中考常考題型.
20.如圖，正方形ABCD中，AB=8cm，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別從B，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC，CD運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C，D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)，△OEF的面積為s(cm2)，則s(cm2)與t(s)的函數(shù)關(guān)系可用圖象表示為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】E7：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象.
【分析】由點(diǎn)E，F(xiàn)分別從B，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC，CD運(yùn)動(dòng)，得到BE=CF=t，則CE=8﹣t，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，然后根據(jù)“SAS”可判斷△OBE≌△OCF，所以S△OBE=S△OCF，這樣S四邊形OECF=S△OBC=16，于是S=S四邊形OECF﹣S△CEF=16﹣ (8﹣t)•t，然后配方得到S= (t﹣4)2+8(0≤t≤8)，最后利用解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷.
【解答】解：根據(jù)題意BE=CF=t，CE=8﹣t，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，
∵在△OBE和△OCF中
，
∴△OBE≌△OCF(SAS)，
∴S△OBE=S△OCF，
∴S四邊形OECF=S△OBC= ×82=16，
∴S=S四邊形OECF﹣S△CEF=16﹣ (8﹣t)•t= t2﹣4t+16= (t﹣4)2+8(0≤t≤8)，
∴s(cm2)與t(s)的函數(shù)圖象為拋物線一部分，頂點(diǎn)為(4，8)，自變量為0≤t≤8.
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象：先根據(jù)幾何性質(zhì)得到與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的兩變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用函數(shù)解析式和函數(shù)性質(zhì)畫(huà)出其函數(shù)圖象，注意自變量的取值范圍.
二、填空題(本小題共4小題，每小題3分，共12分)
21.因式分解2x4﹣2= 2(x2+1)(x+1)(x﹣1) .
【考點(diǎn)】55：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.
【分析】首先提公因式2，然后利用平方差公式即可分解.
【解答】解：原式=2(x4﹣1)
=2(x2+1)(x2﹣1)
=2(x2+1)(x+1)(x﹣1).
故答案是：2(x2+1)(x+1)(x﹣1).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止.
22.方程 = 的解為 x=2 .
【考點(diǎn)】B3：解分式方程.
【分析】方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母(x﹣1)(2x+1)把分式方程化為整式方程，求解后進(jìn)行檢驗(yàn).
【解答】解：方程兩邊都乘以(x﹣1)(2x+1)得，
2x+1=5(x﹣1)，
解得x=2，
檢驗(yàn)：當(dāng)x=2時(shí)，(x﹣1)(2x+1)=(2﹣1)×(2×2+1)=5≠0，
所以，原方程的解是x=2.
故答案為：x=2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，(1)解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.
(2)解分式方程一定注意要驗(yàn)根.
23.如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)是2，分別以點(diǎn)B，C為圓心，以r為半徑作兩條弧，設(shè)兩弧與邊BC圍成的陰影部分面積為S，當(dāng)r= 時(shí)，S為 ﹣1 .
【考點(diǎn)】MO：扇形面積的計(jì)算.
【分析】首先求出S關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，分析其增減性;然后根據(jù)r的取值，求出S的最大值與最小值，從而得到S的取值.
【解答】解：如右圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，易知G為BC的中點(diǎn)，CG=1，
在Rt△CDG中，由勾股定理得：DG= = ，
設(shè)∠DCG=θ，則由題意可得：
S=2(S扇形CDE﹣S△CDG)=2( ﹣ ×1× )= ﹣ ，
∴S= ﹣ .
當(dāng)r增大時(shí)，∠DCG=θ隨之增大，故S隨r的增大而增大.
當(dāng)r= 時(shí)，DG=1，∵CG=1，故θ=45°，
∴S= ﹣ = ﹣1，
故答案為： ﹣1.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形面積的計(jì)算、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等重要知識(shí)點(diǎn).解題關(guān)鍵是求出S的函數(shù)表達(dá)式.
24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且與y軸正半軸所夾的銳角為60°，過(guò)點(diǎn)A(0，1)作y軸的垂線l于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B1作直線l的垂線交y軸于點(diǎn)A1，以A1B、BA為鄰邊作▱ABA1C1;過(guò)點(diǎn)A1作y軸的垂線交直線l于點(diǎn)B1，過(guò)點(diǎn)B1作直線l的垂線交y軸于點(diǎn)A2，以A2B1、B1A1為鄰邊作▱A1B1A2C2;…;按此作法繼續(xù)下去，則C2017的坐標(biāo)是 (﹣ ×42016，42017) .
【考點(diǎn)】F8：一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征;D2：規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo);L5：平行四邊形的性質(zhì).
【分析】先求出直線l的解析式為y= x，設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(x，1)，根據(jù)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，求出B點(diǎn)坐標(biāo)為( ，1)，解Rt△A1AB，得出AA1=3，OA1=4，由平行四邊形的性質(zhì)得出A1C1=AB= ，則C1點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣ ，4)，即(﹣ ×40，41);根據(jù)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B1，求出B1點(diǎn)坐標(biāo)為(4 ，4)，解Rt△A2A1B1，得出A1A2=12，OA2=16，由平行四邊形的性質(zhì)得出A2C2=A1B1=4 ，則C2點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣4 ，16)，即(﹣ ×41，42);同理，可得C3點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣16 ，64)，即(﹣ ×42，43);進(jìn)而得出規(guī)律，求得Cn的坐標(biāo)是(﹣ ×4n﹣1，4n)，即可求得C2017的坐標(biāo).
【解答】解：∵直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且與y軸正半軸所夾的銳角為60°，
∴直線l的解析式為y= x，
∵AB⊥y軸，點(diǎn)A(0，1)，
∴可設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(x，1)，
將B(x，1)代入y= x，得1= x，解得x= ，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為( ，1)，AB= .在Rt△A1AB中，∠AA1B=90°﹣60°=30°，∠A1AB=90°，
∴AA1= AB=3，OA1=OA+AA1=1+3=4，
∵▱ABA1C1中，A1C1=AB= ，
∴C1點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣ ，4)，即(﹣ ×40，41);
由 x=4，解得x=4 ，
∴B1點(diǎn)坐標(biāo)為(4 ，4)，A1B1=4 .
在Rt△A2A1B1中，∠A1A2B1=30°，∠A2A1B1=90°，
∴A1A2= A1B1=12，OA2=OA1+A1A2=4+12=16，
∵▱A1B1A2C2中，A2C2=A1B1=4 ，
∴C2點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣4 ，16)，即(﹣ ×41，42);
同理，可得C3點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣16 ，64)，即(﹣ ×42，43);
以此類(lèi)推，則Cn的坐標(biāo)是(﹣ ×4n﹣1，4n)，
∴C2017的坐標(biāo)是(﹣ ×42016，42017).
故答案為(﹣ ×42016，42017).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，先分別求出C1、C2、C3點(diǎn)的坐標(biāo)，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.
三、解答題(本題共5小題，48分)
25.甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同承擔(dān)一項(xiàng)筑路任務(wù)，甲隊(duì)單獨(dú)施工完成此項(xiàng)任務(wù)比乙隊(duì)單獨(dú)施工完成此項(xiàng)任務(wù)多用10天，且甲隊(duì)單獨(dú)施工45天和乙隊(duì)單獨(dú)施工30天的工作量相同.
(1)甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)任務(wù)需要多少天?
(2)若甲、乙兩隊(duì)共同工作了3天后，乙隊(duì)因設(shè)備檢修停止施工，由甲隊(duì)繼續(xù)施工，為了不影響工程進(jìn)度，甲隊(duì)的工作效率提高到原來(lái)的2倍，要使甲隊(duì)總的工作量不少于乙隊(duì)的工作量的2倍，那么甲隊(duì)至少再單獨(dú)施工多少天?
【考點(diǎn)】B7：分式方程的應(yīng)用;C9：一元一次不等式的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)任務(wù)需要x天，則甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)任務(wù)需要(x+10)天，根據(jù)甲隊(duì)單獨(dú)施工45天和乙隊(duì)單獨(dú)施工30天的工作量相同建立方程求出其解即可;
(2)設(shè)甲隊(duì)再單獨(dú)施工a天，根據(jù)甲隊(duì)總的工作量不少于乙隊(duì)的工作量的2倍建立不等式求出其解即可.
【解答】解：(1)設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)任務(wù)需要x天，則甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)任務(wù)需要(x+10)天，
由題意，得 ，
解得：x=20.
經(jīng)檢驗(yàn)，x=20是原方程的解，
∴x+10=30(天)
答：甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)任務(wù)需要30天，乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)任務(wù)需要20天;
(2)設(shè)甲隊(duì)再單獨(dú)施工a天，由題意，得
，
解得：a≥3.
答：甲隊(duì)至少再單獨(dú)施工3天.
【點(diǎn)評(píng)】本題是一道工程問(wèn)題的運(yùn)用，考查了工作時(shí)間×工作效率=工作總量的運(yùn)用，列分式方程解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，分式方程的解法的運(yùn)用，解答時(shí)驗(yàn)根是學(xué)生容易忽略的地方.
26.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△ABO的邊AB垂直與x軸，垂足為點(diǎn)B，反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象經(jīng)過(guò)AO的中點(diǎn)C，且與AB相交于點(diǎn)D，OB=4，AD=3，
(1)求反比例函數(shù)y= 的解析式;
(2)求cos∠OAB的值;
(3)求經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式.
【考點(diǎn)】G8：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題;G6：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】(1)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，m)(m>0)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，3+m)，由點(diǎn)A的坐標(biāo)表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)C、D點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出關(guān)于k、m的二元一次方程，解方程即可得出結(jié)論;
(2)由m的值，可找出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由此即可得出線段OB、AB的長(zhǎng)度，通過(guò)解直角三角形即可得出結(jié)論;
(3)由m的值，可找出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，設(shè)出過(guò)點(diǎn)C、D的一次函數(shù)的解析式為y=ax+b，由點(diǎn)C、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論.
【解答】解：(1)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，m)(m>0)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，3+m)，
∵點(diǎn)C為線段AO的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2， ).
∵點(diǎn)C、點(diǎn)D均在反比例函數(shù)y= 的函數(shù)圖象上，
∴ ，解得： .
∴反比例函數(shù)的解析式為y= .
(2)∵m=1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，4)，
∴OB=4，AB=4.
在Rt△ABO中，OB=4，AB=4，∠ABO=90°，
∴OA= =4 ，cos∠OAB= = = .
(3))∵m=1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，2)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，1).
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D的一次函數(shù)的解析式為y=ax+b，
則有 ，解得： .
∴經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為y=﹣ x+3.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、解直角三角形以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是：(1)由反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出關(guān)于k、m的二元一次方程組;(2)求出點(diǎn)A的坐標(biāo);(2)求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo).本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，但考查的知識(shí)點(diǎn)較多，解決該題型題目時(shí)，利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出方程組，通過(guò)解方程組得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可.
27.(10分)(2017•東平縣二模)已知∠ACD=90°，MN是過(guò)點(diǎn)A的直線，AC=DC，DB⊥MN于點(diǎn)B，如圖(1)，易證BD+AB= CB，過(guò)程如下：
過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E
∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，
∴∠BCD=∠ACE.
∵四邊形ACDB內(nèi)角和為360°，
∴∠BDC+∠CAB=180°.
∵∠EAC+∠CAB=180°，
∴BD+AB= CB.
∴∠EAC=∠BDC
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE= CB.
又∵BE=AE+AB，
∴BE=BD+AB.
(1)當(dāng)MN繞A旋轉(zhuǎn)到如圖(2)和圖(3)兩個(gè)位置時(shí)，BD、AB、CB滿足什么樣關(guān)系式，請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并對(duì)圖(3)給予證明.
(2)MN在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠BCD=30°，BD= 時(shí)，則CD= 2 ，CB= +1 .
【考點(diǎn)】R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);KD：全等三角形的判定與性質(zhì);KW：等腰直角三角形.
【分析】(1)首先得出△ACE≌△DCB(ASA)，進(jìn)而得出△ECB為等腰直角三角形，求出BD、AB、CB之間的關(guān)系即可;
(2)根據(jù)已知得出△BDH是等腰直角三角形，進(jìn)而得出DC，CB的長(zhǎng).
【解答】解：(1)如圖(2)：AB﹣BD= CB.
過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°﹣∠DCE，∠BCD=90°﹣∠ECD，
∴∠BCD=∠ACE.
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°﹣∠AFC，∠D=90°﹣∠BFD，
∵∠AFC=∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
在△ACE和△DCB中
，
∴△ACE≌△DCB(ASA)，
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE= CB.
又∵BE=AB﹣AE，
∴BE=AB﹣BD，
∴AB﹣BD= CB.
如圖(3)：BD﹣AB= CB.
過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE.
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°﹣∠AFB，∠D=90°﹣∠CFD，
∵∠AFB=∠CFD，
∴∠CAE=∠D，
在△ACE和△DCB中
，
∴△ACE≌△DCB(ASA)，
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE= CB.
又∵BE=AE﹣AB，
∴BE=BD﹣AB，
∴BD﹣AB= CB.
(2)如圖(2)，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CD于點(diǎn)H，
∵∠ABC=45°，DB⊥MN，
∴∠CBD=135°，
∵∠BCD=30°，
∴∠CBH=60°，
∴∠DBH=75°，
∴∠D=15°，
∴BH=BD•sin45°，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴DH=BH= BD= × =1，
∵∠BCD=30°
∴CD=2DH=2，
∴CH= = ，
∴CB=CH+BH= +1.
故答案為：2， +1.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
28.(10分)(2009•武漢)如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)O是AC邊上一點(diǎn)，連接BO交AD于F，OE⊥OB交BC邊于點(diǎn)E.
(1)求證：△ABF∽△COE;
(2)當(dāng)O為AC的中點(diǎn)， 時(shí)，如圖2，求 的值;
(3)當(dāng)O為AC邊中點(diǎn)， 時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出 的值.
【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì);KD：全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)要求證：△ABF∽△COE，只要證明∠BAF=∠C，∠ABF=∠COE即可.
(2)作OH⊥AC，交BC于H，易證：△OEH和△OFA相似，進(jìn)而證明△ABF∽△HOE，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可得出所求的值.同理可得(3) =n.
【解答】(1)證明：∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°.
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF=∠C.
∵OE⊥OB，
∴∠BOA+∠COE=90°，
∵∠BOA+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠COE.
∴△ABF∽△COE.
(2)解：過(guò)O作AC垂線交BC于H，則OH∥AB，
由(1)得∠ABF=∠COE，∠BAF=∠C.
∴∠AFB=∠OEC，
∴∠AFO=∠HEO，
而∠BAF=∠C，
∴∠FAO=∠EHO，
∴△OEH∽△OFA，
∴OF：OE=OA：OH
又∵O為AC的中點(diǎn)，OH∥AB.
∴OH為△ABC的中位線，
∴OH= AB，OA=OC= AC，
而 ，
∴OA：OH=2：1，
∴OF：OE=2：1，即 =2;
(3)解： =n.
證明：與(2)相同，可得：OH= AB，OA=OC= AC，
而 =n，
∴OA：OH=n：1，
∴OF：OE=n：1，即 =n.
【點(diǎn)評(píng)】本題難度中等，主要考查相似三角形的判定和性質(zhì).
29.(12分)(2016•濰坊)如圖，已知拋物線y= x2+bx+c經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，其中點(diǎn)A(0，1)，點(diǎn)B(﹣9，10)，AC∥x軸，點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)過(guò)點(diǎn)P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點(diǎn)E、F，當(dāng)四邊形AECP的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，在直線AC上是否存在點(diǎn)Q，使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可;
(2)設(shè)點(diǎn)P(m， m2+2m+1)，表示出PE=﹣ m2﹣3m，再用S四邊形AECP=S△AEC+S△APC= AC×PE，建立函數(shù)關(guān)系式，求出極值即可;
(3)先判斷出PF=CF，再得到∠PCA=∠EAC，以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，分兩種情況計(jì)算即可.
【解答】解：(1)∵點(diǎn)A(0，1).B(﹣9，10)在拋物線上，
∴ ，
∴ ，
∴拋物線的解析式為y= x2+2x+1，
(2)∵AC∥x軸，A(0，1)
∴ x2+2x+1=1，
∴x1=﹣6，x2=0，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)(﹣6，1)，
∵點(diǎn)A(0，1).B(﹣9，10)，
∴直線AB的解析式為y=﹣x+1，
設(shè)點(diǎn)P(m， m2+2m+1)
∴E(m，﹣m+1)
∴PE=﹣m+1﹣( m2+2m+1)=﹣ m2﹣3m，
∵AC⊥EP，AC=6，
∴S四邊形AECP
=S△AEC+S△APC
= AC×EF+ AC×PF
= AC×(EF+PF)
= AC×PE
= ×6×(﹣ m2﹣3m)
=﹣m2﹣9m
=﹣(m+ )2+ ，
∵﹣6
∴當(dāng)m=﹣ 時(shí)，四邊形AECP的面積的最大值是 ，
此時(shí)點(diǎn)P(﹣ ，﹣ );
(3)∵y= x2+2x+1= (x+3)2﹣2，
∴P(﹣3，﹣2)，
∴PF=yF﹣yP=3，CF=xF﹣xC=3，
∴PF=CF，
∴∠PCF=45°
同理可得：∠EAF=45°，
∴∠PCF=∠EAF，
∴在直線AC上存在滿足條件的Q，
設(shè)Q(t，1)且AB=9 ，AC=6，CP=3
∵以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，
①當(dāng)△CPQ∽△ABC時(shí)，
∴ ，
∴ ，
∴t=﹣4或t=﹣8(不符合題意，舍)
∴Q(﹣4，1)
②當(dāng)△CQP∽△ABC時(shí)，
∴ ，
∴ ，
∴t=3或t=﹣15(不符合題意，舍)
∴Q(3，1)
【點(diǎn)評(píng)】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，相似三角形的性質(zhì)，幾何圖形面積的求法(用割補(bǔ)法)，解本題的關(guān)鍵是求函數(shù)解析式.
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