2017數學必修一函數應用題及答案(2)
16.有下列四個命題：
①函數f(x)=|x||x-2|為偶函數;
②函數y=x-1的值域為{y|y≥0};
③已知集合A={-1,3}，B={x|ax-1=0，a∈R}，若A∪B=A，則a的取值集合為{-1，13};
④集合A={非負實數}，B={實數}，對應法則f：“求平方根”，則f是A到B的映射.你認為正確命題的序號為：________.
【解析】 函數f(x)=|x||x-2|的定義域為(-∞，2)∪
(2，+∞)，它關于坐標原點不對稱，所以函數f(x)=|x||x-2|既不是奇函數也不是偶函數，即命題①不正確;
函數y=x-1的定義域為{x|x≥1}，當x≥1時，y≥0，即命題②正確;
因為A∪B=A，所以B⊆A，若B=Ø，滿足B⊆A，這時a=0;若B≠Ø，由B⊆A，得a=-1或a=13.因此，滿足題設的實數a的取值集合為{-1,0，13}，即命題③不正確;依據映射的定義知，命題④正確.
【答案】 ②④
三、解答題(本大題共6小題，共74分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(本小題滿分12分)已知函數f(x)=x2-3x-10的兩個零點為x1，x2(x1
【解析】 A={x|x≤-2，或x≥5}.
要使A∩B=Ø，必有2m-1≥-2，3m+2≤5，3m+2>2m-1，
或3m+2<2m-1，
解得m≥-12，m≤1，m>-3，或m<-3，即-12≤m≤1，或m<-3.
18.(本小題滿分12分)已知函數f(x)=x2+2ax+2，x∈[-5,5].
(1)當a=-1時，求f(x)的最大值和最小值;
(2)求實數a的取值范圍，使y=f(x)在區間[-5,5]上是單調函數.
【解析】 (1)當a=-1時，
f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1，x∈[-5,5].
由于f(x)的對稱軸為x=1，結合圖象知，
當x=1時，f(x)的最小值為1，
當x=-5時，f(x)的最大值為37.
(2)函數f(x)=(x+a)2+2-a2的圖象的對稱軸為x=-a，
∵f(x)在區間[-5,5]上是單調函數，
∴-a≤-5或-a≥5.
故a的取值范圍是a≤-5或a≥5.
19.(本小題滿分12分)(1)計算：27912+(lg5)0+(2764)-13;
(2)解方程：log3(6x-9)=3.
【解析】 (1)原式
=25912+(lg5)0+343-13
=53+1+43=4.
(2)由方程log3(6x-9)=3得
6x-9=33=27，∴6x=36=62，∴x=2.
經檢驗，x=2是原方程的解.
20.(本小題滿分12分)有一批影碟機(VCD)原銷售價為每臺800元，在甲、乙兩家商場均有銷售，甲商場用下面的方法促銷：買一臺單價為780元，買兩臺單價為760元，依次類推，每多買一臺單價均減少20元，但每臺最低不低于440元;乙商場一律按原價的75%銷售，某單位需購買一批此類影碟機，問去哪家商場購買花費較少?
【解析】 設購買x臺，甲、乙兩商場的差價為y，則去甲商場購買共花費(800-20x)x，由題意800-20x≥440.
∴1≤x≤18(x∈N).
去乙商場花費800×75%x(x∈N*).
∴當1≤x≤18(x∈N*)時
y=(800-20x)x-600x=200x-20x2，
當x>18(x∈N*)時，y=440x-600x=-160x，
則當y>0時，1≤x≤10;
當y=0時，x=10;
當y<0時，x>10(x∈N).
綜上可知，若買少于10臺，去乙商場花費較少;若買10臺，甲、乙商場花費相同;若買超過10臺，則去甲商場花費較少.
21.(本小題滿分12分)已知函數f(x)=lg(1+x)-lg(1-x).
(1)求函數f(x)的定義域;
(2)判斷函數f(x)的奇偶性;
【解析】 (1)由1+x>0，1-x>0，得-1
∴函數f(x)的定義域為(-1,1).
(2)定義域關于原點對稱，對于任意的x∈(-1,1)，
有-x∈(-1,1)，
f(-x)=lg(1-x)-lg(1+x)=-f(x)
∴f(x)為奇函數.
22.(本小題滿分14分)設a>0，f(x)=exa+aex是R上的偶函數.
(1)求a的值;
(2)證明：f(x)在(0，+∞)上是增函數.
【解析】 (1)解：∵f(x)=exa+aex是R上的偶函數，
∴f(x)-f(-x)=0.
∴exa+aex-e-xa-ae-x=0，
即1a-aex+a-1ae-x=0
1a-a(ex-e-x)=0.
由于ex-e-x不可能恒為0，
∴當1a-a=0時，式子恒成立.
又a>0，∴a=1.
(2)證明：∵由(1)知f(x)=ex+1ex，
在(0，+∞)上任取x1
f(x1)-f(x2)=ex1+1ex1-ex2-1ex2
=(ex1-ex2)+(ex2-ex1)•1ex1+x2.
∵e>1，∴0
∴ex1+x2>1，(ex1-ex2)1-1ex1+x2<0，
∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)
∴f(x)在(0，+∞)上是增函數.
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