2017樂山中考數學練習試卷及答案(2)
2017樂山中考數學練習試題答案
一、選擇題(本題共10個小題，每小題3分，共30分)
1.5的倒數為( )
A. B.5 C. D.﹣5
【考點】倒數.
【分析】根據乘積為1的兩個數互為倒數，可得一個數的倒數.
【解答】解：5的倒數是 ，
故選：A.
2.下列各式運算正確的是( )
A.2﹣1=﹣2 B.23=6 C.22•23=26 D.(23)2=26
【考點】負整數指數冪;有理數的乘方;同底數冪的乘法;冪的乘方與積的乘方.
【分析】分別根據負整數指數冪、有理數的乘方、同底數冪的乘法、冪的乘方與積的乘方的法則計算即可.
【解答】解：A、錯誤，應等于 ;
B、錯誤，應等于8;
C、錯誤，應等于25;
D、正確.
故選D.
3.如圖，C，D是線段AB上兩點.若CB=4cm，DB=7cm，且D是AC的中點，則AC的長等于( )
A.3cm B.6cm C.11cm D.14cm
【考點】兩點間的距離.
【分析】先根據CB=4cm，DB=7cm求出CD的長，再根據D是AC的中點求出AC的長即可.
【解答】解：∵C，D是線段AB上兩點，CB=4cm，DB=7cm，
∴CD=DB﹣BC=7﹣4=3cm，
∵D是AC的中點，
∴AC=2CD=2×3=6cm.
故選B.
4.如圖，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，則∠B等于( )
A.50° B.40° C.25° D.20°
【考點】三角形的外角性質;三角形內角和定理.
【分析】根據等邊對等角和三角形的內角和定理，可先求得∠CAD的度數;再根據外角的性質，求∠B的度數.
【解答】解：∵AC=DC=DB，∠ACD=100°，
∴∠CAD= =40°，
∵∠CDB是△ACD的外角，
∴∠CDB=∠A+∠ACD=100°=40°+100°=140°，
∵DC=DB，
∴∠B= =20°.
故選D.
5.甲、乙兩名學生10次立定跳遠成績的平均數相同，若甲10次立定跳遠成績的方差S甲2=0.006，乙10次立定跳遠成績的方差S乙2=0.035，則( )
A.甲的成績比乙的成績穩定
B.乙的成績比甲的成績穩定
C.甲、乙兩人的成績一樣穩定
D.甲、乙兩人成績的穩定性不能比較
【考點】方差;算術平均數.
【分析】本題考查了如何判定一組數據的穩定性，數據的方差越小，數據就越穩定.
【解答】解：因為甲乙平均數相同，而S甲2=0.006，S乙2=0.035，很顯然S甲2
故選A.
6.經過某十字路口的汽車，它可以繼續直行，也可以向左轉或向右轉.如果這三種可能性大小相同，則兩輛汽車經過這個十字路口全部繼續直行的概率是( )
A. B. C. D.
【考點】列表法與樹狀圖法.
【分析】列舉出所有情況，看兩輛汽車經過這個十字路口全部繼續直行的情況占總情況的多少即可.
【解答】解：列表得：
右 (直，右) (左，右) (右，右)
左 (直，左) (左，左) (右，左)
直 (直，直) (左，直) (右，直)
直 左 右
∴一共有9種情況，兩輛汽車經過這個十字路口全部繼續直行的有一種，
∴兩輛汽車經過這個十字路口全部繼續直行的概率是 ，故選A.
7.如圖，桌上放著一摞書和一個茶杯，從左邊看到的圖形是( )
A. B. C. D.
【考點】簡單組合體的三視圖.
【分析】找到從左面看所得到的圖形即可.
【解答】解：從左面可看到幾個上下相鄰的長方形上面有一個小長方形.
故選D.
8.如圖，點E在AD的延長線上，下列條件中能判斷BC∥AD的是( )
A.∠3=∠4 B.∠A+∠ADC=180° C.∠1=∠2 D.∠A=∠5
【考點】平行線的判定.
【分析】結合圖形分析兩角的位置關系，根據平行線的判定方法判斷.
【解答】解：∵∠1=∠2，
∴BC∥AD(內錯角相等，兩直線平行).
故選C.
9.如圖，將△PQR向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，則頂點P平移后的坐標是( )
A.(﹣2，﹣4) B.(﹣2，4) C.(2，﹣3) D.(﹣1，﹣3)
【考點】坐標與圖形變化﹣平移.
【分析】直接利用平移中點的變化規律求解即可.
【解答】解：由題意可知此題規律是(x+2，y﹣3)，照此規律計算可知頂點P(﹣4，﹣1)平移后的坐標是(﹣2，﹣4).
故選A.
10.反比例函數y= (k>0)的部分圖象如圖所示，A，B是圖象上兩點，AC⊥x軸于點C，BD⊥x軸于點D，若△AOC的面積為S1，△BOD的面積為S2，則S1和S2的大小關系為( )
A.S1>S2 B.S1=S2 C.S1
【考點】反比例函數系數k的幾何意義.
【分析】根據反比例函數的性質可以得到△AOC和△DBO的面積等于|k|的一半，由此可以得到它們的關系.
【解答】解：依據比例系數k的幾何意義可得兩個三角形的面積都等于 |k|，故S1=S2.
故選B.
二、填空題(本題共8小題，每小題3分，共24分)
11.2008年5月18日晚，中央電視臺舉辦了“愛的奉獻”大型募捐活動.據了解，本次活動社會各界共向四川災區捐款大約1510000000元人民幣，這個數字用科學記數法可表示為 1.51×109 元人民幣.
【考點】科學記數法—表示較大的數.
【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數.確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值>1時，n是正數;當原數的絕對值<1時，n是負數.
【解答】解：1510000000元人民幣，這個數字用科學記數法可表示為 1.51×109元人民幣，
故答案為：1.51×109.
12.已知|x|=5，y=3，則x﹣y= 2或﹣8 .
【考點】有理數的減法;絕對值.
【分析】絕對值等于一個正數的數有兩個，且它們互為相反數.
熟練運用有理數的運算法則.
【解答】解：∵|x|=5，∴x=±5，
又y=3，則x﹣y=2或﹣8.
13.計算： = .
【考點】分式的加減法.
【分析】本題考查了分式的加減運算.解決本題首先應通分，最后要注意將結果化為最簡分式.
【解答】解：原式= .故答案為 .
14.函數y= 中自變量x的取值范圍是 x≥﹣ 且x≠1 .
【考點】函數自變量的取值范圍.
【分析】根據被開方數大于等于0，分母不等于0列式求解即可.
【解答】解：根據題意得，2x+1≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣ 且x≠1.
故答案為：x≥﹣ 且x≠1.
15.如圖，直線AB、CD相交于點O，OE⊥AB，垂足為O，如果∠EOD=42°，則∠AOC= 48 度.
【考點】垂線;對頂角、鄰補角.
【分析】由OE⊥AB，∠EOD=42°，利用互余關系求∠BOD，再利用對頂角相等求∠AOC.
【解答】解：∵OE⊥AB，∠EOD=42°，
∴∠BOD=90°﹣∠EOD
90°﹣42°=48°，
∵∠BOD與∠AOC是對頂角，
∴∠BOD=∠AOC=48°.
16.如圖，已知矩形ABCD，P、R分別是BC和DC上的點，E、F分別是PA，PR的中點.如果DR=3，AD=4，則EF的長為 2.5 .
【考點】三角形中位線定理;矩形的性質.
【分析】根據勾股定理求AR;再運用中位線定理求EF.
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴△ADR是直角三角形，
∵DR=3，AD=4，
∴AR= = =5，
∵E、F分別是PA，PR的中點，
∴EF= AR= ×5=2.5.
故答案為：2.5.
17.觀察下面兩行數：
2，4，8，16，32，64，…①
5，7，11，19，35，67，…②
根據你發現的規律，取每行數的第10個數，求得它們的和是 2051 (要求寫出最后的計算結果).
【考點】規律型：數字的變化類.
【分析】觀察①中各數都符合2n的形式，②中各數比①中對應數字大3，按此規律即可求得①、②中第10個數的值，從而求和.
【解答】解：根據題意可知，①中第10個數為210=1024;②第10個數為210+3=1027，故它們的和為1024+1027=2051.
18.如圖，菱形AB1C1D1的邊長為1，∠B1=60°;作AD2⊥B1C1于點D2，以AD2為一邊，做第二個菱形AB2C2D2，使∠B2=60°;作AD3⊥B2C2于點D3，以AD3為一邊做第三個菱形AB3C3D3，使∠B3=60°…依此類推，這樣做的第n個菱形ABnCnDn的邊ADn的長是 .
【考點】菱形的性質.
【分析】本題要找出規律方能解答.第一個菱形邊長為1，∠B1=60°，可求出AD2，即第二個菱形的邊長…按照此規律解答即可.
【解答】解：第1個菱形的邊長是1，易得第2個菱形的邊長是 ;
第3個菱形的邊長是( )2;…
每作一次，其邊長為上一次邊長的 ;
故第n個菱形的邊長是( )n﹣1.
故答案為：( )n﹣1.
三、解答題(本題共3小題，每小題5分，共15分)
19.計算：(﹣1)﹣2+2sin245°﹣(1﹣ )0
【考點】特殊角的三角函數值;零指數冪;負整數指數冪.
【分析】本題涉及零指數冪、負整數指數冪、特殊角的三角函數值.在計算時，需要針對每個考點分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果.
【解答】解：原式= =1.
20.先化簡，再求值： ÷x，其中x= .
【考點】分式的化簡求值.
【分析】本題的關鍵是正確進行分式的通分、約分，并準確代值計算.
【解答】解：原式=
= +1
= ，
當x= 時，原式= =﹣4.
21.解方程組： .
【考點】解二元一次方程組.
【分析】此題先采用加減消元法再用代入消元法最簡單，將(1)+(2)即可達到消元的目的.
【解答】解：①+②，得3x=9，
∴x=3.
把x=3代入②，得3﹣y=5，
∴y=﹣2.
∴原方程組的解是 .
四、應用題(本大題2小題，共12分)
22.在同一條件下，對同一型號的汽車進行耗油1升所行駛路程的實驗，將收集到的數據作為一個樣本進行分析，繪制出部分頻數分布直方圖和部分扇形統計圖.如下圖所示(路程單位：km)
結合統計圖完成下列問題：
(1)扇形統計圖中，表示12.5≤x<13部分的百分數是 ;
(2)請把頻數分布直方圖補充完整，這個樣本數據的中位數落在第 組;
(3)哪一個圖能更好地說明一半以上的汽車行駛的路程在13≤x<14之間?哪一個圖能更好地說明行駛路程在12.5≤x<13的汽車多于在14≤x<14.5的汽車?
【考點】頻數(率)分布直方圖;扇形統計圖;中位數.
【分析】(1)用單位1減去其他所占的百分比即可;
(2)以第3組為基準算出總數：9÷0.3=30，那么中位數應是第15個和第16個的平均數，前兩個小組的人數之和為：2+30×0.3=11，那么中位數就落在第3小組;
(3)直方圖能反映數據集中的趨勢，扇形統計圖能更好的顯示出相應的百分比.
【解答】解：(1)1﹣13.3%﹣6.7%﹣30%﹣30%=20%;
(2)第2組的頻數=30×20%=6，如圖：
樣本數據的中位數落在第3組;
(3)扇形統計圖能很好地說明一半以上的汽車行駛的路程在13≤x<14之間;
條形統計圖(或直方統計圖)能更好地說明行駛路程在12.5≤x<13的汽車多于在14≤x<14.5的汽車.
23.海中有一個小島P，它的周圍18海里內有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在點A測得小島P在北偏東60°方向上，航行12海里到達B點，這時測得小島P在北偏東45°方向上.如果漁船不改變航線繼續向東航行，有沒有觸礁危險?請說明理由.
【考點】解直角三角形的應用﹣方向角問題.
【分析】過點P作PD⊥AC于D，在Rt△PBD和Rt△PAD中，根據三角函數AD，BD就可以PD表示出來，根據AB=12海里，就得到一個關于PD的方程，求得PD.從而可以判斷如果漁船不改變航線繼續向東航行，有沒有觸礁危險.
【解答】解：有觸礁危險.
理由：過點P作PD⊥AC于D.
設PD為x，在Rt△PBD中，
∠PBD=90°﹣45°=45度.
∴BD=PD=x.
在Rt△PAD中，
∵∠PAD=90°﹣60°=30°
∴AD= x
∵AD=AB+BD∴ x=12+x
∴x=
∵6( +1)<18
∴漁船不改變航線繼續向東航行，有觸礁危險.
五、推理與計算(本大題3小題，共21分)
24.已知反比例函數y= 的圖象的一支位于第一象限.
(1)判斷該函數圖象的另一支所在的象限，并求m的取值范圍;
(2)如圖，O為坐標原點，點A在該反比例函數位于第一象限的圖象上，點B與點A關于x軸對稱，若△OAB的面積為6，求m的值.
【考點】反比例函數的性質;反比例函數的圖象;反比例函數圖象上點的坐標特征;關于x軸、y軸對稱的點的坐標.
【分析】(1)根據反比例函數的圖象是雙曲線.當k>0時，則圖象在一、三象限，且雙曲線是關于原點對稱的;
(2)由對稱性得到△OAC的面積為3.設A(x、 )，則利用三角形的面積公式得到關于m的方程，借助于方程來求m的值.
【解答】解：(1)根據反比例函數的圖象關于原點對稱知，該函數圖象的另一支在第三象限，且m﹣7>0，則m>7;
(2)∵點B與點A關于x軸對稱，若△OAB的面積為6，
∴△OAC的面積為3.
設A(x， )，則
x• =3，
解得m=13.
25.如圖，把一張矩形的紙ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在點E處，BE與AD交于點F.
(1)求證：△ABF≌△EDF;
(2)若將折疊的圖形恢復原狀，點F與BC邊上的點M正好重合，連接DM，試判斷四邊形BMDF的形狀，并說明理由.
【考點】翻折變換(折疊問題);全等三角形的判定;菱形的判定.
【分析】(1)因為△BCD關于BD折疊得到△BED，顯然△BCD≌△BED，得出CD=DE=AB，∠E=∠C=∠A=90°.
再加上一對對頂角相等，可證出△ABF≌△EDF;
(2)利用折疊知識及菱形的判定可得出四邊形BMDF是菱形.
【解答】(1)證明：由折疊可知，CD=ED，∠E=∠C.
在矩形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C.
∴AB=ED，∠A=∠E.
∵∠AFB=∠EFD，
∴△AFB≌△EFD.
(2)解：四邊形BMDF是菱形.
理由：由折疊可知：BF=BM，DF=DM.
由(1)知△AFB≌△EFD，∴BF=DF.
∴BM=BF=DF=DM.
∴四邊形BMDF是菱形.
26.已知：如圖，在半徑為4的⊙O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點，CM的延長線交⊙O于點E，且EM>MC.連接DE，DE= .
(1)求證：AM•MB=EM•MC;
(2)求EM的長;
(3)求sin∠EOB的值.
【考點】相似三角形的判定與性質;勾股定理;圓周角定理;銳角三角函數的定義.
【分析】(1)連接A、C，E、B點，那么只需要求出△AMC和△EMB相似，即可求出結論，根據圓周角定理可推出它們的對應角相等，即可得△AMC∽△EMB;
(2)根據圓周角定理，結合勾股定理，可以推出EC的長度，根據已知條件推出AM、BM的長度，然后結合(1)的結論，很容易就可求出EM的長度;
(3)過點E作EF⊥AB，垂足為點F，通過作輔助線，解直角三角形，結合已知條件和(1)(2)所求的值，可推出Rt△EOF各邊的長度，根據銳角三角函數的定義，便可求得sin∠EOB的值.
【解答】(1)證明：連接AC、EB，
∵∠A=∠BEC，∠B=∠ACM，
∴△AMC∽△EMB，
∴ ，
∴AM•BM=EM•CM;
(2)解：∵DC是⊙O的直徑，
∴∠DEC=90°，
∴DE2+EC2=DC2，
∵DE= ，CD=8，且EC為正數，
∴EC=7，
∵M為OB的中點，
∴BM=2，AM=6，
∵AM•BM=EM•CM=EM(EC﹣EM)=EM(7﹣EM)=12，且EM>MC，
∴EM=4;
(3)解：過點E作EF⊥AB，垂足為點F，
∵OE=4，EM=4，
∴OE=EM，
∴OF=FM=1，
∴EF= ，
∴sin∠EOB= .
六、綜合應用與探究(本大題2小題，共18分)
27.夏季來臨，商場準備購進甲、乙兩種空調，已知甲種空調每臺進價比乙種空調多500元，用40000元購進甲種空調的數量與用30000元購進乙種空調的數量相同.請解答下列問題：
(1)求甲、乙兩種空調每臺的進價;
(2)若甲種空調每臺售價2500元，乙種空調每臺售價1800元，商場計劃用不超過36000元購進空調共20臺，且全部售出，請寫出所獲利潤y(元)與甲種空調x(臺)之間的函數關系式，并求出所能獲得的最大利潤.
【考點】二次函數的應用;分式方程的應用.
【分析】(1)根據題意可以列出相應的方程，從而可以分別求得甲、乙兩種空調每臺的進價，注意分式方程要檢驗;
(2)根據題意和(1)中的答案可以得到所獲利潤y(元)與甲種空調x(臺)之間的函數關系式，然后根據商場計劃用不超過36000元購進空調共20臺，可以求得x的取值范圍，從而可以求得所能獲得的最大利潤.
【解答】解：(1)設乙種空調每臺進價為x元，
，
解得，x=1500
經檢驗x=1500是原分式方程的解，
∴x+500=2000，
答：甲種空調每臺2000元，乙種空調每臺1500元;
(2)由題意可得，
所獲利潤y(元)與甲種空調x(臺)之間的函數關系式是：y=x+(20﹣x)=200x+6000，
∵2000x+1500(20﹣x)≤36000，
解得，x≤12，
∴當x=12時，y取得最大值，此時y=200x+6000=8400，
答：所獲利潤y(元)與甲種空調x(臺)之間的函數關系式是y=200x+6000，所獲的最大利潤是8400元.
28.已知拋物線y=﹣ax2+2ax+b與x軸的一個交點為A(﹣1，0)，與y軸的正半軸交于點C.
(1)直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與x軸的另一個交點B的坐標;
(2)當點C在以AB為直徑的⊙P上時，求拋物線的解析式;
(3)坐標平面內是否存在點M，使得以點M和(2)中拋物線上的三點A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，請求出點M的坐標;若不存在，請說明理由.
【考點】二次函數綜合題.
【分析】(1)拋物線y=﹣ax2+2ax+b的對稱軸，可以根據公式直接求出，拋物線與x軸的另一交點與A關于對稱軸對稱，因而交點就可以求出.
(2)AB的長度可以求出，連接PC，在直角三角形OCP中，根據勾股定理就可以求出C點的坐標，把這點的坐標代入拋物線的解析式，就可以求出解析式.
(3)本題應分AC或BC為對角線和以AB為對角線三種情況進行討論，當以AC或BC為對角線時，點M在x軸上方，此時CM∥AB，且CM=AB.就可以求出點M的坐標.當以AB為對角線時，點M在x軸下方易證△AOC≌△BNM，可以求出點M的坐標.
【解答】解：(1)對稱軸是直線：x=1，點B的坐標是(3，0).
說明：每寫對1個給，“直線”兩字沒寫不扣分.
(2)如圖，連接PC，
∵點A、B的坐標分別是A(﹣1，0)、B(3，0)，
∴AB=4.
∴PC= AB= ×4=2
在Rt△POC中，
∵OP=PA﹣OA=2﹣1=1，
∴OC= ，
∴b=
當x=﹣1，y=0時，﹣a﹣2a+ =0
∴a=
∴y=﹣ x2+ x+ .
(3)存在.理由：如圖，連接AC、BC.
設點M的坐標為M(x，y).
?、佼斠訟C或BC為對角線時，點M在x軸上方，此時CM∥AB，且CM=AB.
由(2)知，AB=4，
∴|x|=4，y=OC= .
∴x=±4.
∴點M的坐標為M(4， )或(﹣4， ).
說明：少求一個點的坐標扣.
②當以AB為對角線時，點M在x軸下方.
過M作MN⊥AB于N，則∠MNB=∠AOC=90度.
∵四邊形AMBC是平行四邊形，
∴AC=MB，且AC∥MB.
∴∠CAO=∠MBN.
∴△AOC≌△BNM.
∴BN=AO=1，MN=CO= .
∵OB=3，
∴0N=3﹣1=2.
∴點M的坐標為M(2，﹣ ).
綜上所述，坐標平面內存在點M，使得以點A、B、C、M為頂點的四邊形是平行四邊形.
其坐標為M1(4， )，M2(﹣4， )，M3(2，﹣ ).
說明：①綜上所述不寫不扣分;②如果開頭“存在”二字沒寫，但最后解答全部正確，不扣分
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