2017眉山中考數學模擬試題及答案(2)
②∵當x≤﹣1時y隨x的增大而減小，
∴對稱軸直線x=﹣ ≤﹣1，
解得m≤﹣1，故本小題錯誤;
③∵將它的圖象向左平移3個單位后過原點，
∴平移前的圖象經過點(3，0)，
代入函數關系式得，32﹣2m•3﹣3=0，
解得m=1，故本小題正確;
④∵當x=2時的函數值與x=8時的函數值相等，
∴對稱軸為直線x= =5，
∴﹣ =5，
解得m=5，故本小題正確;
綜上所述，結論正確的是①④共2個.
故答案為：①③④.
三、專心解一解(本大題共8小題，滿分72分.請認真讀題，冷靜思考.解答題應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.請把解題過程寫在答題卷相應題號的位置)
17.(1)計算：4sin60°﹣|3﹣ |+( )﹣2;
(2)解方程：x2﹣ x﹣ =0.
【考點】解一元二次方程﹣公式法;實數的運算;負整數指數冪;特殊角的三角函數值.
【分析】(1)本題涉及負整數指數冪、二次根式化簡、絕對值、特殊角的三角函數值四個考點.針對每個考點分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果;
(2)利用配方法或公式法解答此題，均可得結果.
【解答】解：(1)原式=2 ﹣2 +3+4
=7;
(2)方法一：移項，得x2﹣ x= ，
配方，得(x﹣ )2=1
由此可得x﹣ =±1，
x1=1+ ，x2=﹣1+
方法二：a=1，b=﹣ ，c=﹣ .
△=b2﹣4ac=(﹣ )2﹣4×1×(﹣ )=4>0
方程有兩個不等的實數根
x= = = ±1，
x1=1+ ，x2=﹣1+
18.如圖，點B(3，3)在雙曲線y= (x>0)上，點D在雙曲線y=﹣ (x<0)上，點A和點C分別在x軸，y軸的正半軸上，且點A，B，C，D構成的四邊形為正方形.
(1)求k的值;
(2)求點A的坐標.
【考點】正方形的性質;反比例函數圖象上點的坐標特征;全等三角形的判定與性質.
【分析】(1)把B的坐標代入求出即可;
(2)設MD=a，OM=b，求出ab=4，過D作DM⊥x軸于M，過B作BN⊥x軸于N，證△ADM≌△BAN，推出BN=AM=3，MD=AN=a，求出a=b，求出a的值即可.
【解答】解：(1)∵點B(3，3)在雙曲線y= 上，
∴k=3×3=9;
(2)∵B(3，3)，
∴BN=ON=3，
設MD=a，OM=b，
∵D在雙曲線y=﹣ (x<0)上，
∴ab=4，
過D作DM⊥x軸于M，過B作BN⊥x軸于N，
則∠DMA=∠ANB=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AD=AB，
∴∠MDA+∠DAM=90°，∠DAM+∠BAN=90°，
∴∠ADM=∠BAN，
在△ADM和△BAN中，
，
∴△ADM≌△BAN(AAS)，
∴BN=AM=3，DM=AN=a，
∴0A=3﹣a，
即AM=b+3﹣a=3，
a=b，
∵ab=4，
∴a=b=2，
∴OA=3﹣2=1，
即點A的坐標是(1，0).
19.如圖，在▱ABCD中，F是AD的中點，延長BC到點E，使CE= BC，連接DE，CF.
(1)求證：DE=CF;
(2)若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的長.
【考點】平行四邊形的性質;全等三角形的判定與性質.
【分析】(1)由“平行四邊形的對邊平行且相等”的性質推知AD∥BC，且AD=BC;然后根據中點的定義、結合已知條件推知四邊形CEDF的對邊平行且相等(DF=CE，且DF∥CE)，得出四邊形CEDF是平行四邊形，即可得出結論;
(2)如圖，過點D作DH⊥BE于點H，構造含30度角的直角△DCH和直角△DHE.通過解直角△DCH和在直角△DHE中運用勾股定理來求線段ED的長度.
【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC.
又∵F是AD的中點，∴FD= AD.
∵CE= BC，
∴FD=CE.
又∵FD∥CE，
∴四邊形CEDF是平行四邊形.
∴DE=CF.
(2)解：過D作DG⊥CE于點G.如圖所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，CD=AB=4，BC=AD=6.
∴∠DCE=∠B=60°.
在Rt△CDG中，∠DGC=90°，
∴∠CDG=30°，
∴CG= CD=2.
由勾股定理，得DG= =2 .
∵CE= BC=3，
∴GE=1.
在Rt△DEG中，∠DGE=90°，
∴DE= = .
20.某學校“體育課外活動興趣小組”，開設了以下體育課外活動項目：A.足球 B.乒乓球C.羽毛球 D.籃球，為了解學生最喜歡哪一種活動項目，隨機抽取了部分學生進行調查，并將調查結果繪制成了兩幅不完整的統計圖，請回答下列問題：
(1)這次被調查的學生共有 200 人，在扇形統計圖中“D”對應的圓心角的度數為 72° ;
(2)請你將條形統計圖補充完整;
(3)在平時的乒乓球項目訓練中，甲、乙、丙、丁四人表現優秀，現決定從這四名同學中任選兩名參加市里組織的乒乓球比賽，求恰好選中甲、乙兩位同學的概率(用樹狀圖或列表法解答).
【考點】列表法與樹狀圖法;扇形統計圖;條形統計圖.
【分析】(1)利用扇形統計圖得到A類的百分比為10%，則用A類的頻數除以10%可得到樣本容量;然后用B類的百分比乘以360°得到在扇形統計圖中“D”對應的圓心角的度數;
(2)先計算出C類的頻數，然后補全統計圖;、
(3)畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果，再找出恰好選中甲、乙兩位同學的結果數，然后根據概率公式求解.
【解答】解：(1)20÷ =200，
所以這次被調查的學生共有200人，
在扇形統計圖中“D”對應的圓心角的度數= ×360°=72°;
故答案為200，72°;
(2)C類人數為200﹣80﹣20﹣40=60(人)，
完整條形統計圖為：
(3)畫樹狀圖如下：
由上圖可知，共有12種等可能的結果，其中恰好選中甲、乙兩位同學的結果有2種.
所以P(恰好選中甲、乙兩位同學)= = .
21.如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作半圓⊙O，交BC于點D，連接AD，過點D作DE⊥AC，垂足為點E，交AB的延長線于點F.
(1)求證：EF是⊙0的切線.
(2)如果⊙0的半徑為5，sin∠ADE= ，求BF的長.
【考點】切線的判定;等腰三角形的性質;圓周角定理;解直角三角形.
【分析】(1)連接OD，AB為⊙0的直徑得∠ADB=90°，由AB=AC，根據等腰三角形性質得AD平分BC，即DB=DC，則OD為△ABC的中位線，所以OD∥AC，而DE⊥AC，則OD⊥DE，然后根據切線的判定方法即可得到結論;
(2)由∠DAC=∠DAB，根據等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可計算出AD=8，在Rt△ADE中可計算出AE= ，然后由OD∥AE，
得△FDO∽△FEA，再利用相似比可計算出BF.
【解答】(1)證明：連接OD，如圖，
∵AB為⊙0的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分BC，即DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴EF是⊙0的切線;
(2)解：∵∠DAC=∠DAB，
∴∠ADE=∠ABD，
在Rt△ADB中，sin∠ADE=sin∠ABD= = ，而AB=10，
∴AD=8，
在Rt△ADE中，sin∠ADE= = ，
∴AE= ，
∵OD∥AE，
∴△FDO∽△FEA，
∴ = ，即 = ，
∴BF= .
22.某商店銷售10臺A型和20臺B型電腦的利潤為4000元，銷售20臺A型和10臺B型電腦的利潤為3500元.
(1)求每臺A型電腦和B型電腦的銷售利潤;
(2)該商店計劃一次購進兩種型號的電腦共100臺，其中B型電腦的進貨量不超過A型電腦的2倍，設購進A型電腦x臺，這100臺電腦的銷售總利潤為y元.
①求y關于x的函數關系式;
②該商店購進A型、B型電腦各多少臺，才能使銷售總利潤最大?
(3)實際進貨時，廠家對A型電腦出廠價下調m(0
【考點】一次函數的應用;二元一次方程組的應用;一元一次不等式組的應用.
【分析】(1)設每臺A型電腦銷售利潤為a元，每臺B型電腦的銷售利潤為b元;根據題意列出方程組求解，
(2)①據題意得，y=﹣50x+15000，
②利用不等式求出x的范圍，又因為y=﹣50x+15000是減函數，所以x取34，y取最大值，
(3)據題意得，y=x﹣150，即y=(m﹣50)x+15000，分三種情況討論，①當00，y隨x的增大而增大，分別進行求解.
【解答】解：(1)設每臺A型電腦銷售利潤為a元，每臺B型電腦的銷售利潤為b元;根據題意得
解得
答：每臺A型電腦銷售利潤為100元，每臺B型電腦的銷售利潤為150元.
(2)①據題意得，y=100x+150，即y=﹣50x+15000，
②據題意得，100﹣x≤2x，解得x≥33 ，
∵y=﹣50x+15000，﹣50<0，
∴y隨x的增大而減小，
∵x為正整數，
∴當x=34時，y取最大值，則100﹣x=66，
即商店購進34臺A型電腦和66臺B型電腦的銷售利潤最大.
(3)據題意得，y=x+150，即y=(m﹣50)x+15000，
33 ≤x≤70
①當0
∴當x=34時，y取最大值，
即商店購進34臺A型電腦和66臺B型電腦的銷售利潤最大.
②m=50時，m﹣50=0，y=15000，
即商店購進A型電腦數量滿足33 ≤x≤70的整數時，均獲得最大利潤;
③當500，y隨x的增大而增大，
∴當x=70時，y取得最大值.
即商店購進70臺A型電腦和30臺B型電腦的銷售利潤最大.
23.閱讀理解：運用“同一圖形的面積相等”可以證明一些含有線段的等式成立，這種解決問題的方法我們稱之為面積法.如圖1，在等腰△ABC中，AB=AC，AC邊上的高為h，點M為底邊BC上的任意一點，點M到腰AB、AC的距離分別為h1、h2，連接AM，利用S△ABC=S△ABM+S△ACM，可以得出結論：h=h1+h2.
類比探究：在圖1中，當點M在BC的延長線上時，猜想h、h1、h2之間的數量關系并證明你的結論.
拓展應用：如圖2，在平面直角坐標系中，有兩條直線l1：y= x+3，l2：y=﹣3x+3，
若l2上一點M到l1的距離是1，試運用“閱讀理解”和“類比探究”中獲得的結論，求出點M的坐標.
【考點】一次函數綜合題.
【分析】類比探究：結論：h=h1﹣h2.連接OA.利用三角形面積公式根據S△ABC=S△ABM﹣S△ACM，代入化簡即可解決問題.
拓展應用：首先證明AB=AC，分兩種情形利用(1)中結論，列出方程即可解決問題.
【解答】解：類比探究：結論：h=h1﹣h2.
理由：連接OA，
∵S△ABC= AC•BD= AC•h，
S△ABM= AB•ME= AB•h1，
S△ACM= AC•MF= AC•h2，.
又∵S△ABC=S△ABM﹣S△ACM，
∴ AC•h= AB•h1﹣ AC•h2.
∵AB=AC，
∴h=h1﹣h2.
拓展應用：在y= x+3中，令x=0得y=3;令y=0得x=﹣4，
則：A(﹣4，0)，B(0，3)，同理求得C(1，0)，
OA=4，OB=3，AC=5，
AB= =5，
所以AB=AC，
即△ABC為等腰三角形.
設點M的坐標為(x，y)，
①當點M在BC邊上時，由h1+h2=h得：
OB=1+y，y=3﹣1=2，把它代入y=﹣3x+3中求得：x= ，
∴M( ，2);
②當點M在CB延長線上時，由h1﹣h2=h得：
OB=y﹣1，y=3+1=4，把它代入y=﹣3x+3中求得：x=﹣ ，
∴M(﹣ ，4).
綜上所述點M的坐標為( ，2)或(﹣ ，4).
24.如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點A(﹣3，4)、B(﹣3，0)、C(﹣1，0).以D為頂點的拋物線y=ax2+bx+c過點B.動點P從點D出發，沿DC邊向點C運動，同時動點Q從點B出發，沿BA邊向點A運動，點P、Q運動的速度均為每秒1個單位，運動的時間為t秒.過點P作PE⊥CD交BD于點E，過點E作EF⊥AD于點F，交拋物線于點G.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當t為何值時，四邊形BDGQ的面積最大?最大值為多少?
(3)動點P、Q運動過程中，在矩形ABCD內(包括其邊界)是否存在點H，使以B，Q，E，H為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出此時菱形的周長;若不存在，請說明理由.www-2-1-cnjy-com
【考點】二次函數綜合題.
【分析】(1)先求得點D的坐標，設拋物線的解析式為y=a (x+1)2+4(a≠0)，將點B的坐標代入可求得a的值，故此可得到拋物線的解析式;
(2)由題意知，DP=BQ=t，然后證明△DPE∽△DBC，可得到PE= t，然后可得到點E的橫坐標(用含t的式子表示)，接下來可求得點G的坐標，然后依據S四邊形BDGQ=S△BQG+S△BEG+S△DEG，列出四邊形的面積與t的函數關系式，然后依據利用配方法求解即可;
(3)首先用含t的式子表示出DE的長，當BE和BQ為菱形的鄰邊時，由BE=QB可列出關于t的方程，從而可求得t的值，然后可求得菱形的周長;當BE為菱形的對角時，則BQ=QE，過點Q作QM⊥BE，則BM=EM.然后用含t的式子表示出BE的長，最后利用BE+ED=BD列方程求解即可.
【解答】解：(1)由題意得，頂點D點的坐標為(﹣1，4).
設拋物線的解析式為y=a (x+1)2+4(a≠0)，
∵拋物線經過點B(﹣3，0)，代入y=a (x+1)2+4
可求得a=﹣1
∴拋物線的解析式為y=﹣(x+1)2+4，即y=﹣x2﹣2x+3.
(2)由題意知，DP=BQ=t，
∵PE∥BC，
∴△DPE∽△DBC.
∴ = =2，
∴PE= DP= t.
∴點E的橫坐標為﹣1﹣ t，AF=2﹣ t.
將x=﹣1﹣ t代入y=﹣(x+1)2+4，得y=﹣ t2+4.
∴點G的縱坐標為﹣ t2+4，
∴GE=﹣ t2+4﹣(4﹣t)=﹣ t2+t.
如圖1所示：連接BG.
S四邊形BDGQ=S△BQG+S△BEG+S△DEG，即S四邊形BDGQ= BQ•AF+ EG•(AF+DF)
= t(2﹣ t)﹣ t2+t.
=﹣ t2+2t=﹣ (t﹣2)2+2.
∴當t=2時，四邊形BDGQ的面積最大，最大值為2.
(3)存在.
∵CD=4，BC=2，
∴tan∠BDC= ，BD=2 .
∴cos∠BDC= .
∵BQ=DP=t，
∴DE= t.
如圖2所示：當BE和BQ為菱形的鄰邊時，BE=QB.
∵BE=BD﹣DE，
∴BQ=BD﹣DE，即t=2 ﹣ t，解得t=20﹣8 .
∴菱形BQEH的周長=80﹣32 .
如圖3所示：當BE為菱形的對角時，則BQ=QE，過點Q作QM⊥BE，則BM=EM.
∵MB=cos∠QBM•BQ，
∴MB= t.
∴BE= t.
∵BE+DE=BD，
∴ t+ t=2 ，解得：t= .
∴菱形BQEH的周長為 .
綜上所述，菱形BQEH的周長為 或80﹣32 .
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