2017南寧數學中考模擬試卷及答案(2)

　　16.如圖，在小正方形組成的網格中，△ABC和△DEF的頂點都在格點上，根據圖形解答下列問題：

　　(1)將△ABC向左平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度，畫出平移后的△A1B1C1;

　　(2)將△DEF繞D點逆時針旋轉90°，畫出旋轉后的△DE1F1.

　　【考點】作圖﹣旋轉變換;作圖﹣平移變換.

　　【分析】(1)根據圖形平移的性質畫出平移后的△A1B1C1即可;

　　(2)根據圖形旋轉的性質畫出旋轉后的△DE1F1即可.

　　【解答】解(1)如圖所示：△A1B1C1即為所求;

　　(2)如圖所示：△DE1F1即為所求;

　　四、(共2小題，滿分16分)

　　17.某條道路上通行車輛限速為60千米/時，在離道路50米的點P處建一個監測點，道路AB段為檢測區(如圖).在△ABP中，已知∠PAB=30°，∠PBA=45°，那么車輛通過AB段的時間在多少秒以內時，可認定為超速(精確到0.1秒)?(參考數據： ≈1.41， ≈1.73，60千米/時= 米/秒)

　　【考點】解直角三角形的應用.

　　【分析】作PC⊥AB于點C，根據三角函數即可求得AC與BC的長，則AB即可求得，用AB的長除以速度即可求解.

　　【解答】解：作PC⊥AB于點C.

　　在直角△APC中，tan∠PAC= ，

　　則AC= =50 ≈86.5(米)，

　　同理，BC= =PC=50(米)，

　　則AB=AC+BC≈136.5(米)，

　　60千米/時= 米/秒，

　　則136.5÷ ≈8.2(秒).

　　故車輛通過AB段的時間在8.2秒內時，可認定為超速.

　　18.如圖，我們把一個半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”，已知點A、B、C、D分別是“果圓”與坐標軸的交點，AB為半圓的直徑，拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3，求這個“果圓”被y軸截得線段CD的長　3+ 　.

　　【考點】二次函數綜合題.

　　【分析】將x=0代入拋物線的解析式得y=﹣3，故此可得到DO的長，然后令y=0可求得點A和點B的坐標，故此可得到AB的長，由M為圓心可得到MC和OM的長，然后依據勾股定理可求得OC的長，最后依據CD=OC+OD求解即可.

　　【解答】解：連接AC，BC.

　　∵拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3，

　　∴點D的坐標為(0，﹣3)，

　　∴OD的長為3.

　　設y=0，則0=x2﹣2x﹣3，解得：x=﹣1或3，

　　∴A(﹣1，0)，B(3，0).

　　∴AO=1，BO=3，AB=4，M(1，0).

　　∴MC=2，OM=1.

　　在Rt△COB中，OC= = .

　　∴CD=CO+OD=3+ ，即這個“果圓”被y軸截得的線段CD的長3+ .

　　故答案為：3+ .

　　五、(共2小題，滿分20分)

　　19.某電視臺在它的娛樂性節目中每期抽出兩名場外幸運觀眾，有一期甲、乙兩人被抽為場外幸運觀眾，他們獲得了一次抽獎的機會，在如圖所示的翻獎牌的正面4個數字中任選一個，選中后翻開，可以得到該數字反面的獎品，第一個人選中的數字第二個人不能再選擇了.

　　(1)如果甲先抽獎，那么甲獲得“手機”的概率是多少?

　　(2)小亮同學說：甲先抽獎，乙后抽獎，甲、乙兩人獲得“手機”的概率不同，且甲獲得“手機”的概率更大些.你同意小亮同學的說法嗎?為什么?請用列表或畫樹狀圖分析.

　　【考點】列表法與樹狀圖法.

　　【分析】(1)一共有4種情況，手機有一種，除以總情況數即為所求概率;

　　(2)列舉出所有情況，看所求的情況占總情況的多少即可.

　　【解答】解：(1)第一位抽獎的同學抽中手機的概率是 ;

　　(2)不同意.

　　從樹狀圖中可以看出，所有可能出現的結果共12種，而且這些情況都是等可能的.

　　先抽取的人抽中手機的概率是 ;

　　后抽取的人抽中手機的概率是 = .

　　所以，甲、乙兩位同學抽中手機的機會是相等的.

　　20.某養殖戶每年的養殖成本包括固定成本和可變成本，其中固定成本每年均為4萬元，可變成本逐年增長，已知該養殖戶第1年的可變成本為2.6萬元，設可變成本平均每年增長的百分率為x.

　　(1)用含x的代數式表示第3年的可變成本為　2.6(1+x)2　萬元;

　　(2)如果該養殖戶第3年的養殖成本為7.146萬元，求可變成本平均每年增長的百分率x.

　　【考點】一元二次方程的應用.

　　【分析】(1)根據增長率問題由第1年的可變成本為2.6萬元就可以表示出第二年的可變成本為2.6(1+x)，則第三年的可變成本為2.6(1+x)2，故得出答案;

　　(2)根據養殖成本=固定成本+可變成本建立方程求出其解即可

　　【解答】解：(1)由題意，得

　　第3年的可變成本為：2.6(1+x)2，

　　故答案為：2.6(1+x)2;

　　(2)由題意，得

　　4+2.6(1+x)2=7.146，

　　解得：x1=0.1，x2=﹣2.1(不合題意，舍去).

　　答：可變成本平均每年增長的百分率為10%.

　　六、(滿分12分)

　　21.如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，點D為三角形內一點，且∠ACD=∠DAB=∠DBC.

　　(1)求∠CDB的度數;

　　(2)求證：△DCA∽△DAB;

　　(3)若CD的長為1，求AB的長.

　　【考點】相似三角形的判定與性質;等腰直角三角形.

　　【分析】(1)只要證明∠CDA=135°，∠ADB=135°即可解決問題.

　　(2)根據兩角對應相等兩三角形相似即可判定.

　　(3)由△DCA∽△DAB，推出 = = = ，又CD=1，推出AD= ，DB=2.根據BC= ，求出BC，再在Rt△ABC中，求出AB即可解決問題.

　　【解答】(1)解：∵△ABC為等腰直角三角形，

　　∴∠CAB=45°.

　　又∵∠ACD=∠DAB，

　　∴∠ACD+∠CAD=∠DAB+∠CAD=∠CAB=45°，

　　∴∠CDA=135°

　　同理可得∠ADB=135°

　　∴∠CDB=360°﹣∠CDA﹣∠ADB=360°﹣135°﹣135°=90°.

　　(2)證明：∵∠CDA=∠ADB，∠ACD=∠DAB，

　　∴△DCA∽△DAB

　　(3)解：∵△DCA∽△DAB，

　　∴ = = = ，

　　又∵CD=1，

　　∴AD= ，DB=2.

　　又∵∠CDB=90°，

　　∴BC= = = ，

　　在Rt△ABC中，∵AC=BC= ，

　　∴AB= = .

　　七、(滿分12分)

　　22.2016年里約奧運會，中國跳水隊贏得8個項目中的7塊金牌，優秀成績的取得離不開艱辛的訓練.某跳水運動員在進行跳水訓練時，身體(看成一點)在空中的運動路線是如圖所示的一條拋物線，已知跳板AB長為2米，跳板距水面CD的高BC為3米，訓練時跳水曲線在離起跳點水平距離1米時達到距水面最大高度k米，現以CD為橫軸，CB為縱軸建立直角坐標系.

　　(1)當k=4時，求這條拋物線的解析式;

　　(2)當k=4時，求運動員落水點與點C的距離;

　　(3)圖中CE= 米，CF= 米，若跳水運動員在區域EF內(含點E，F)入水時才能達到訓練要求，求k的取值范圍.

　　【考點】二次函數的應用.

　　【分析】(1)根據拋物線頂點坐標M(3，4)，可設拋物線解析為：y=a(x﹣3)2+4，將點A(2，3)代入可得;

　　(2)在(1)中函數解析式中令y=0，求出x即可;

　　(3)若跳水運動員在區域EF內(含點E，F)入水達到訓練要求，則在函數y=a(x﹣3)2+k中當x= 米，y>0，當x= 米時y<0，解不等式即可得.

　　【解答】解：(1)如圖所示：

　　根據題意，可得拋物線頂點坐標M(3，4)，A(2，3)

　　設拋物線解析為：y=a(x﹣3)2+4，

　　則3=a(2﹣3)2+4，

　　解得：a=﹣1，

　　故拋物線解析式為：y=﹣(x﹣3)2+4;

　　(2)由題意可得：當y=0，則0=﹣(x﹣3)2+4，

　　解得：x1=1，x2=5，

　　故拋物線與x軸交點為：(5，0)，

　　當k=4時，求運動員落水點與點C的距離為5米;

　　(3)根據題意，拋物線解析式為：y=a(x﹣3)2+k，

　　將點A(2，3)代入可得：a+k=3，即a=3﹣k

　　若跳水運動員在區域EF內(含點E，F)入水，

　　則當x= 時，y= a+k≥0，即 (3﹣k)+k≥0，

　　解得：k≤ ，

　　當x= 時，y= a+k≤0，即 (3﹣k)+k≤0，

　　解得：k≥ ，

　　故 ≤k≤ .

　　八、(滿分14分)

　　23.[發現]如圖∠ACB=∠ADB=90°，那么點D在經過A，B，C三點的圓上(如圖①)

　　[思考]如圖②，如果∠ACB=∠ADB=a(a≠90°)(點C，D在AB的同側)，那么點D還在經過A，B，C三點的⊙O上嗎?

　　我們知道，如果點D不在經過A，B，C三點的圓上，那么點D要么在⊙O外，要么在⊙O內，以下該同學的想法說明了點D不在⊙O外.請結合圖④證明點D也不在⊙O內.

　　【證】

　　[結論]綜上可得結論，如果∠ACB=∠ADB=α(點C，D在AB的同側)，那么點D在經過A，B，C三點的圓上，即：A、B、C、D四點共圓.

　　[應用]利用上述結論解決問題：

　　如圖⑤，已知△ABC中，∠C=90°，將△ACB繞點A順時針旋轉α度(α為銳角)得△ADE，連接BE、CD，延長CD交BE于點F;

　　(1)用含α的代數式表示∠ACD的度數;

　　(2)求證：點B、C、A、F四點共圓;

　　(3)求證：點F為BE的中點.

　　【考點】圓的綜合題.

　　【分析】【思考】【證】如圖1，假設點D在⊙O內，延長AD交⊙O于點E，連接BE，則∠AEB=∠ACB，根據外角的性質得到∠ADB>∠AEB，于是得到∠ADB>∠ACB，于是得到結論;

　　【應用】(1)由題意可知，AC=AD，∠CAD=α，根據等腰三角形的性質即可得到∠ACD=90°﹣ ;

　　(2)根據等腰三角形的性質得到∠ABE=90°﹣ α，同時代的∠ACD=∠ABE，即可得到結論;

　　(3)由B、C、A、F四點共圓，得到∠BFA+∠BCA=180°，推出AF⊥BE，根據等腰三角形的性質即可得到結論.

　　【解答】【思考】【證】如圖1，假設點D在⊙O內，延長AD交⊙O于點E，連接BE，則∠AEB=∠ACB，

　　∵∠ADB是△BDE的外角，

　　∴∠ADB>∠AEB，

　　∴∠ADB>∠ACB，

　　因此，∠ADB>∠ACB這與條件∠ACB=∠ADB矛盾，

　　∴點D也不在⊙O內，

　　∴點D即不在⊙O內，也不在⊙O外，點D在⊙O上;

　　【應用】(1)由題意可知，AC=AD，∠CAD=α，

　　∴∠ACD=90°﹣ ;

　　(2)∵AB=AE，∠BAE=α，∴∠ABE=90°﹣ α，∴∠ACD=∠ABE，

　　∴B、C、A、F四點共圓;

　　(3)∵B、C、A、F四點共圓，

　　∴∠BFA+∠BCA=180°，

　　又∵∠ACB=90°，

　　∴∠BFA=90°，

　　∴AF⊥BE，

　　∵AB=AE，

　　∴BF=EF，

　　即點F為BE的中點.

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