2017年鄂州中考數學模擬試題解析(2)
∴AC= = =12，
∵AD=DC，DF⊥AC，
∴AF=CF= AC=6，
∴點C關于DE的對稱點是A，故E點與P點重合時△BCP的周長最小，
∴DP=DE，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ，即 = ，解得AE= ，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ABC，
∵∠DAB=∠ACB=90°，
∴Rt△AED∽Rt△CBA，
∴ = ，即 = ，解得DE=12.5，即DP=12.5.
故答案為：12.5.
三、解答題
16.計算：( )﹣2﹣6sin30°﹣( )0+ +| ﹣ |
【考點】二次根式的混合運算;零指數冪;負整數指數冪;特殊角的三角函數值.
【分析】先算負指數冪，特殊角的三角函數值，0指數冪，以及絕對值，再算乘法，最后算加減，由此順序計算即可.
【解答】解：原式=4﹣6× ﹣1+ ﹣ +
=4﹣3﹣1+
= .
17.化簡： ，然后請自選一個你喜歡的x值，再求原式的值.
【考點】分式的化簡求值.
【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，把x=1代入計算即可求出值.
【解答】解：原式=[ ﹣ ]•
= •
= •
= ，
當x=1時，原式=1.
18.，線段AB繞某一點逆時針旋轉一定的角度得到線段A'B'，利用尺規確定旋轉中心.(不寫作法，保留作圖痕跡)
【考點】作圖﹣旋轉變換.
【分析】根據旋轉的性質可知，旋轉中心在對應點連線段的垂直平分線上.
【解答】解：點O為所求作，
19.蘭州市某中學對本校初中學生完成家庭作業的時間做了總量控制，規定每天完成家庭作業的時間不超過1.5小時，該校數學課外興趣小組對本校初中學生回家完成作業的時間做了一次隨機抽樣調查，并繪制出頻數分布表和頻數分布直方圖()的一部分.
時間(小時) 頻數(人數) 頻率
0≤t<0.5 4 0.1
0.5≤t<1 a 0.3
1≤t<1.5 10 0.25
1.5≤t<2 8 b
2≤t<2.5 6 0.15
合計 1
(1)在圖表中，a= 12 ，b= 0.2 ;
(2)補全頻數分布直方圖;
(3)請估計該校1400名初中學生中，約有多少學生在1.5小時以內完成了家庭作業.
【考點】頻數(率)分布直方圖;用樣本估計總體;頻數(率)分布表.
【分析】(1)根據每天完成家庭作業的時間在0≤t<0.5的頻數和頻率，求出抽查的總人數，再用總人數乘以每天完成家庭作業的時間在0.5≤t<1的頻率，求出a，再用每天完成家庭作業的時間在1.5≤t<2的頻率乘以總人數，求出b即可;
(2)根據(1)求出a的值，可直接補全統計圖;
(3)用每天完成家庭作業時間在1.5小時以內的人數所占的百分比乘以該校的總人數，即可得出答案.
【解答】解：(1)抽查的總的人數是： =40(人)，
a=40×0.3=12(人)，
b= =0.2;
故答案為：12，0.2;
(2)根據(1)可得：每天完成家庭作業的時間在0.5≤t<1的人數是12，補圖如下：
(3)根據題意得： ×1400=910(名)，
答：約有多少910名學生在1.5小時以內完成了家庭作業.
20.，在正方形ABCD和正方形ECGF中，連接BE，DG.求證：BE=DG.
【考點】正方形的性質;全等三角形的判定與性質.
【分析】根據正方形的性質得出BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，求出∠BCE=∠DCG，根據全等三角形的判定得出△EBC≌△GDC，根據全等三角形的性質得出即可.
【解答】證明：∵在正方形ABCD和正方形ECGF中，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCE=∠DCG=90°﹣∠ECD，
在△EBC和△GDC中，
∴△EBC≌△GDC(SAS)，
∴BE=DG.
21.，一枚運載火箭從地面O處發射，當火箭到達A點時，從地面C處的雷達站測得AC的距離是6km，仰角是43°，1s后，火箭到達B點，此時測得仰角為45.5°，這枚火箭從點A到點B的平均速度是多少?(結果精確到0.01)
【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題.
【分析】在Rt△AOC中，求出OA、OC，在Rt△BOC中求出OB，即可解決問題.
【解答】解：在Rt△OCA中，OA=AC•tan43°≈4.092，
OC=AC•cos43°
在Rt△OCA中，OB=OC•tan45.5°≈4.375，
v=(OB﹣OA)÷t=(4.375﹣4.092)÷1≈0.28(km/s)
答：火箭從A點到B點的平均速度約為0.28km/s.
22.我市某工藝品廠生產一款工藝品、已知這款工藝品的生產成本為每件60元.
經市場調研發現：該款工藝品每天的銷售量y(件)與售價x(元)之間存在著如下表所示的一次函數關系.
售價x(元) … 70 90 …
銷售量y(件) … 3000 1000 …
(利潤=(售價﹣成本價)×銷售量)
(1)求銷售量y(件)與售價x(元)之間的函數關系式;
(2)你認為如何定價才能使工藝品廠每天獲得的利潤為40000元?
【考點】一次函數的應用;一元二次方程的應用.
【分析】(1)設一次函數的一般式y=kx+b，將(70，3000)(90，1000)代入即可求得;
(2)按照等量關系“利潤=(定價﹣成本)×銷售量”列出利潤關于定價的函數方程，求解即可.
【解答】解：(1)設一次函數關系式為y=kx+b，根據題意得
解之得k=﹣100，b=10000
所以所求一次函數關系式為y=﹣100x+10000(x>0)
(2)由題意得(x﹣60)(﹣100x+10000)=40000
即x2﹣160x+6400=0，所以(x﹣80)2=0
所以x1=x2=80
答：當定價為80元時才能使工藝品廠每天獲得的利潤為40000元.
23.，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊)，與y軸交于點C(0，3)，頂點D的坐標為(﹣1，4).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點M為線段AB上一點(點M不與點A、B重合)，過點M作x軸的垂線，與直線AC交于點E，與拋物線交于點P，過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過點Q作QN⊥x軸于點N.若點P在點Q左邊，當矩形PQMN的周長最大時，求△AEM的面積;
(3)在(2)的條件下，當矩形PMNQ的周長最大時，連接DQ.過拋物線上一點F作y軸的平行線，與直線AC交于點G(點G在點F的上方).若FG=2 DQ，請直接寫出點F的坐標.
【考點】二次函數綜合題.
【分析】(1)設出二次函數頂點式，將C(0，3)代入解析式得到a=﹣1，從而求出拋物線解析式.
(2)設M點橫坐標為m，則PM=﹣m2﹣2m+3，MN=(﹣m﹣1)×2=﹣2m﹣2，矩形PMNQ的周長d=﹣2m2﹣8m+2，將﹣2m2﹣8m+2配方，根據二次函數的性質，即可得出m的值，然后求得直線AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的邊長，從而求得三角形的面積.
(3)設F(n，﹣n2﹣2n+3)，根據已知若FG=2 DQ，即可求得.
【解答】解：(1)設函數解析式為y=a(x+1)2+4，
將C(0，3)代入解析式得，a(0+1)2+4=3，
a=﹣1，
可得，拋物線解析式為y=﹣x2﹣2x+3;
(2)由拋物線y=﹣x2﹣2x+3可知，對稱軸為x=﹣1，
設M點的橫坐標為m，則PM=﹣m2﹣2m+3，MN=(﹣m﹣1)×2=﹣2m﹣2，
∴矩形PMNQ的周長=2(PM+MN)=(﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2)×2=﹣2m2﹣8m+2=﹣2(m+2)2+10，
∴當m=﹣2時矩形的周長最大.
∵A(﹣3，0)，C(0，3)，設直線AC解析式為y=kx+b，
解得k=1，b=3，
∴解析式y=x+3，當x=﹣2時，則E(﹣2，1)，
∴EM=1，AM=1，
∴S= •AM•EM= ×1×1= .
(3)∵M點的橫坐標為﹣2，拋物線的對稱軸為x=﹣1，
∴N應與原點重合，Q點與C點重合，
∴DQ=DC，
把x=﹣1代入y=﹣x2﹣2x+3，解得y=4，
∴D(﹣1，4)
∴DQ=DC= ，
∵FG=2 DQ，
∴FG=4，
設F(n，﹣n2﹣2n+3)，
則G(n，n+3)，
∵點G在點F的上方，
∴(n+3)﹣(﹣n2﹣2n+3)=4，
解得：n=﹣4或n=1.
∴F(﹣4，﹣5)或(1，0).
24.，在△ABC中，∠A=90°，BC=10，△ABC的面積為25，點D為AB邊上的任意一點(D不與A、B重合)，過點D作DE∥BC，交AC于點E.設DE=x，以DE為折線將△ADE翻折(使△ADE落在四邊形DBCE所在的平面內)，所得的△A'DE與梯形DBCE重疊部分的面積記為y.
(1)用x表示△ADE的面積;
(2)求出0
(3)求出5
(4)當x取何值時，y的值最大，最大值是多少?
【考點】二次函數綜合題.
【分析】(1)由于DE∥BC，可得出三角形ADE和ABC相似，那么可根據面積比等于相似比的平方用三角形ABC的面積表示出三角形ADE的面積.
(2)由于DE在三角形ABC的中位線上方時，重合部分的面積就是三角形ADE的面積，而DE在三角形ABC中位線下方時，重合部分就變成了梯形，因此要先看0
(3)根據(2)可知5
(4)根據(2)(3)兩個不同自變量取值范圍的函數關系式，分別得出各自的函數最大值以及對應的自變量的值，然后找出最大的y的值即可.
【解答】解：(1)∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
即S△ADE= x2;
(2)∵BC=10，
∴BC邊所對的三角形的中位線長為5，
∴當0
(3)5
∵S△A′DE=S△ADE= x2，
∴DE邊上的高AH=A'H= x，
由已知求得AF=5，
∴A′F=AA′﹣AF=x﹣5，
由△A′MN∽△A′DE知 =( )2，S△A′MN=(x﹣5)2.
∴y= x2﹣(x﹣5)2=﹣ x2+10x﹣25.
(4)在函數y= x2中，
∵0
∴當x=5時y最大為： ，
在函數y=﹣ x2+10x﹣25中，
當x=﹣ = 時y最大為： ，
∵ < ，
∴當x= 時，y最大為： .
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