2017年初三數(shù)學(xué)上期末試卷(2)

　　A.t≥﹣1 B.﹣1≤t<3 C.﹣1≤t<8 D.3

　　【考點】二次函數(shù)與不等式(組).

　　【專題】壓軸題.

　　【分析】根據(jù)對稱軸求出b的值，從而得到x=﹣1、4時的函數(shù)值，再根據(jù)一元二次方程x2+bx﹣t=0(t為實數(shù))在﹣1

　　【解答】解：對稱軸為直線x=﹣ =1，

　　解得b=﹣2，

　　所以，二次函數(shù)解析式為y=x2﹣2x，

　　y=(x﹣1)2﹣1，

　　x=﹣1時，y=1+2=3，

　　x=4時，y=16﹣2×4=8，

　　∵x2+bx﹣t=0相當(dāng)于y=x2+bx與直線y=t的交點的橫坐標(biāo)，

　　∴當(dāng)﹣1≤t<8時，在﹣1

　　故選：C.

　　【點評】本題考查了二次函數(shù)與不等式，把方程的解轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點的問題求解是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀.

　　二、填空題(每小題3分，共24分)

　　8.已知關(guān)于x的方程x2+mx﹣6=0的一個根為2，則m=　1　，另一個根是　﹣3　.

　　【考點】一元二次方程的解;根與系數(shù)的關(guān)系.

　　【專題】方程思想.

　　【分析】根據(jù)一元二次方程的解定義，將x=2代入關(guān)于x的方程x2+mx﹣6=0，然后解關(guān)于m的一元一次方程;再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=﹣ 解出方程的另一個根.

　　【解答】解：根據(jù)題意，得

　　4+2m﹣6=0，即2m﹣2=0，

　　解得，m=1;

　　由韋達定理，知

　　x1+x2=﹣m;

　　∴2+x2=﹣1，

　　解得，x2=﹣3.

　　故答案是：1、﹣3.

　　【點評】本題主要考查了一元二次方程的解、根與系數(shù)的關(guān)系.在利用根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=﹣ 、x1•x2= 來計算時，要弄清楚a、b、c的意義.

　　9.張華同學(xué)的身高為1.6米，某一時刻他在陽光下的影長為2米，與他鄰近的一棵樹的影長為6米，則這棵樹的高為　4.8　米.

　　【考點】相似三角形的應(yīng)用.

　　【分析】在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個問題物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似.

　　【解答】解：據(jù)相同時刻的物高與影長成比例，

　　設(shè)這棵樹的高度為xm，

　　則可列比例為 ，

　　解得，x=4.8.

　　故答案為：4.8.

　　【點評】本題主要考查同一時刻物高和影長成正比，考查利用所學(xué)知識解決實際問題的能力.

　　10.如圖，AB是⊙O的直徑，BD，CD分別是過⊙O上點B，C的切線，且∠BDC=110°.連接AC，則∠A的度數(shù)是　35　°.

　　【考點】切線的性質(zhì);圓周角定理.

　　【專題】幾何圖形問題.

　　【分析】首先連接OC，由BD，CD分別是過⊙O上點B，C的切線，且∠BDC=110°，可求得∠BOC的度數(shù)，又由圓周角定理，即可求得答案.

　　【解答】解：連接OC，

　　∵BD，CD分別是過⊙O上點B，C的切線，

　　∴OC⊥CD，OB⊥BD，

　　∴∠OCD=∠OBD=90°，

　　∵∠BDC=110°，

　　∴∠BOC=360°﹣∠OCD﹣∠BDC﹣∠OBD=70°，

　　∴∠A= ∠BOC=35°.

　　故答案為：35.

　　【點評】此題考查了切線的性質(zhì)以及圓周角定理.此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

　　11.如圖，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(﹣1，0)，(1，﹣2)，當(dāng)y隨x的增大而增大時，x的取值范圍是　x> 　.

　　【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;二次函數(shù)的圖象;二次函數(shù)的性質(zhì).

　　【專題】計算題.

　　【分析】先把(﹣1，0)，(1，﹣2)代入二次函數(shù)y=x2+bx+c中，得到關(guān)于b、c的方程，解出b、c，即可求解析式.

　　【解答】解：把(﹣1，0)，(1，﹣2)代入二次函數(shù)y=x2+bx+c中，得

　　，

　　解得

　　，

　　那么二次函數(shù)的解析式是y=x2﹣x﹣2.

　　函數(shù)的對稱軸是：x=

　　因而當(dāng)y隨x的增大而增大時，x的取值范圍是：x> .

　　故答案為：x> .

　　【點評】本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，同時還考查了方程組的解法等知識，難度不大.

　　12.如圖，已知正方形ABCD的邊長為12cm，E為CD邊上一點，DE=5cm.以點A為中心，將△ADE按順時針方向旋轉(zhuǎn)得△ABF，則點E所經(jīng)過的路徑長為　 　cm.

　　【考點】弧長的計算;勾股定理;正方形的性質(zhì);旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

　　【專題】計算題.

　　【分析】先利用勾股定理求出AE的長，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到旋轉(zhuǎn)角為∠DAB=90°，最后根據(jù)弧長公式即可計算出點E所經(jīng)過的路徑長.

　　【解答】解：∵AD=12，DE=5，

　　∴AE= =13，

　　又∵將△ADE按順時針方向旋轉(zhuǎn)得△ABF，而AD=AB，

　　∴旋轉(zhuǎn)角為∠DAB=90°，

　　∴點E所經(jīng)過的路徑長= = (cm).

　　故答案為 .

　　【點評】本題考查了弧長公式：l= ;也考查了正方形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

　　13.如圖，已知雙曲線 經(jīng)過直角三角形OAB斜邊OA的中點D，且與直角邊AB相交于點C.若點A的坐標(biāo)為(﹣6，4)，則△AOC的面積為　9　.

　　【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.

　　【專題】壓軸題;數(shù)形結(jié)合.

　　【分析】要求△AOC的面積，已知OB為高，只要求AC長，即點C的坐標(biāo)即可，由點D為三角形OAB斜邊OA的中點，且點A的坐標(biāo)(﹣6，4)，可得點D的坐標(biāo)為(﹣3，2)，代入雙曲線 可得k，又AB⊥OB，所以C點的橫坐標(biāo)為﹣6，代入解析式可得縱坐標(biāo)，繼而可求得面積.

　　【解答】解：∵點D為△OAB斜邊OA的中點，且點A的坐標(biāo)(﹣6，4)，

　　∴點D的坐標(biāo)為(﹣3，2)，

　　把(﹣3，2)代入雙曲線 ，

　　可得k=﹣6，

　　即雙曲線解析式為y=﹣ ，

　　∵AB⊥OB，且點A的坐標(biāo)(﹣6，4)，

　　∴C點的橫坐標(biāo)為﹣6，代入解析式y(tǒng)=﹣ ，

　　y=1，

　　即點C坐標(biāo)為(﹣6，1)，

　　∴AC=3，

　　又∵OB=6，

　　∴S△AOC= ×AC×OB=9.

　　故答案為：9.

　　【點評】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義及其函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

　　14.從3，0，﹣1，﹣2，﹣3這五個數(shù)中，隨機抽取一個數(shù)，作為函數(shù)y=(5﹣m2)x和關(guān)于x的方程(m+1)x2+mx+1=0中m的值，恰好使所得函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，且方程有實數(shù)根的概率為　 　.

　　【考點】概率公式;根的判別式;一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

　　【專題】計算題.

　　【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，舍去不符合題意的數(shù)值，再將符合題意的數(shù)值代入驗證即可.

　　【解答】解：∵所得函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，

　　∴5﹣m2>0，

　　∴m2<5，

　　∴3，0，﹣1，﹣2，﹣3中，3和﹣3均不符合題意，

　　將m=0代入(m+1)x2+mx+1=0中得，x2+1=0，△=﹣4<0，無實數(shù)根;

　　將m=﹣1代入(m+1)x2+mx+1=0中得，﹣x+1=0，x=1，有實數(shù)根;

　　將m=﹣2代入(m+1)x2+mx+1=0中得，x2+2x﹣1=0，△=4+4=8>0，有實數(shù)根.

　　故方程有實數(shù)根的概率為 .

　　故答案為 .

　　【點評】本題考查了概率公式，如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P(A)= .

　　15.如圖，點A，B的坐標(biāo)分別為(1，4)和(4，4)，拋物線y=a(x﹣m)2+n的頂點在線段AB上運動，與x軸交于C、D兩點(C在D的左側(cè))，點C的橫坐標(biāo)最小值為﹣3，則點D的橫坐標(biāo)最大值為　8　.

　　【考點】二次函數(shù)綜合題;解一元二次方程-直接開平方法;二次函數(shù)的性質(zhì);待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.

　　【專題】計算題;壓軸題.

　　【分析】當(dāng)C點橫坐標(biāo)最小時，拋物線頂點必為A(1，4)，根據(jù)此時拋物線的對稱軸，可判斷出CD間的距離;

　　當(dāng)D點橫坐標(biāo)最大時，拋物線頂點為B(4，4)，再根據(jù)此時拋物線的對稱軸及CD的長，可判斷出D點橫坐標(biāo)最大值.

　　【解答】解：當(dāng)點C橫坐標(biāo)為﹣3時，拋物線頂點為A(1，4)，對稱軸為x=1，此時D點橫坐標(biāo)為5，則CD=8;

　　當(dāng)拋物線頂點為B(4，4)時，拋物線對稱軸為x=4，且CD=8，故C(0，0)，D(8，0);

　　由于此時D點橫坐標(biāo)最大，

　　故點D的橫坐標(biāo)最大值為8;

　　故答案為：8.

　　【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，用直接開平方法解一元二次方程等知識點，理解題意并根據(jù)已知求二次函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵，此題是一個比較典型的題目.

　　三、解答下列各題(共75分)

　　16.解方程：

　　(1)x2﹣4x+4=5

　　(2)y2+3y+1=0.

　　【考點】解一元二次方程-公式法;解一元二次方程-配方法.

　　【分析】(1)先變形，再開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可;

　　(2)先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可.

　　【解答】解：(1)x2﹣4x+4=5，

　　(x﹣2)2=5，

　　開方得：x﹣2=± ，

　　解得：x1=2+ ，x2=2﹣ ;

　　(2)y2+3y+1=0，

　　b2﹣4ac=32﹣4×1×1=5，

　　y= ，

　　y1= ，y2= .

　　【點評】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵.

　　17.如圖，AB，AC分別是半⊙O的直徑和弦，OD⊥AC于點D，過點A作半⊙O的切線AP，AP與OD的延長線交于點P.連接PC并延長與AB的延長線交于點F.

　　(1)求證：PC是半⊙O的切線;

　　(2)若∠CAB=30°，AB=10，求線段BF的長.

　　【考點】切線的判定與性質(zhì);解直角三角形.

　　【專題】幾何綜合題;壓軸題.

　　【分析】(1)連接OC，可以證得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的對應(yīng)角相等，以及切線的性質(zhì)定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可證得;

　　(2)依據(jù)切線的性質(zhì)定理可知OC⊥PE，然后通過解直角三角函數(shù)，求得OF的值，再減去圓的半徑即可.

　　【解答】(1)證明：連接OC，

　　∵OD⊥AC，OD經(jīng)過圓心O，

　　∴AD=CD，

　　∴PA=PC，

　　在△OAP和△OCP中，

　　，

　　∴△OAP≌△OCP(SSS)，

　　∴∠OCP=∠OAP

　　∵PA是半⊙O的切線，

　　∴∠OAP=90°.

　　∴∠OCP=90°，

　　即OC⊥PC

　　∴PC是⊙O的切線.

　　(2)解：∵AB是直徑，

　　∴∠ACB=90°，

　　∵∠CAB=30°，

　　∴∠COF=60°，

　　∵PC是半⊙O的切線，AB=10，

　　∴OC⊥PF，OC=OB= AB=5，

　　∴OF= = =10，

　　∴BF=OF﹣OB=5.

　　【點評】本題考查了切線的性質(zhì)定理以及判定定理，以及直角三角形三角函數(shù)的應(yīng)用，證明圓的切線的問題常用的思路是根據(jù)切線的判定定理轉(zhuǎn)化成證明垂直的問題.

　　18.在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點坐標(biāo)是A(﹣7，1)，B(1，1)，C(1，7).線段DE的端點坐標(biāo)是D(7，﹣1)，E(﹣1，﹣7).

　　(1)試說明如何平移線段AC，使其與線段ED重合;

　　(2)將△ABC繞坐標(biāo)原點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使AC的對應(yīng)邊為DE，請直接寫出點B的對應(yīng)點F的坐標(biāo);

　　(3)畫出(2)中的△DEF，并和△ABC同時繞坐標(biāo)原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形.

　　【考點】作圖-旋轉(zhuǎn)變換;作圖-平移變換.

　　【分析】(1)將線段AC先向右平移6個單位，再向下平移8個單位即可得出符合要求的答案;

　　(2)根據(jù)A，C對應(yīng)點的坐標(biāo)特點，即可得出F點的坐標(biāo);

　　(3)分別將D，E，F(xiàn)，A，B，C繞坐標(biāo)原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出圖象即可.

　　【解答】解：(1)將線段AC先向右平移6個單位，再向下平移8個單位.(其它平移方式也可以);

　　(2)根據(jù)A，C對應(yīng)點的坐標(biāo)即可得出F(﹣l，﹣1);

　　(3)畫出如圖所示的正確圖形.

　　【點評】此題主要考查了圖形的平移以及旋轉(zhuǎn)和點的坐標(biāo)特點，根據(jù)已知旋轉(zhuǎn)已知圖形是初中階段難點問題，注意旋轉(zhuǎn)時可利用旋轉(zhuǎn)矩形得出.

　　19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正方形ABCD關(guān)于y軸對稱，邊AD在x軸上，點B在第四象限，直線BD與反比例函數(shù)y= 的圖象交于點B、E.

　　(1)求反比例函數(shù)及直線BD的解析式;

　　(2)求點E的坐標(biāo).

　　【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

　　【分析】(1)根據(jù)正方形的邊長，正方形關(guān)于y軸對稱，可得點A、B、D的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式;

　　(2)根據(jù)兩個函數(shù)解析式，可的方程組，根據(jù)解方程組，可得答案.

　　【解答】解：(1)邊長為2的正方形ABCD關(guān)于y軸對稱，邊在AD在x軸上，點B在第四象限，

　　∴A(1，0)，D(﹣1，0)，B(1，﹣2).

　　∵反比例函數(shù)y= 的圖象過點B，

　　∴ ，m=﹣2，

　　∴反比例函數(shù)解析式為y=﹣ ，

　　設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b，

　　∵y=kx+b的圖象過B、D點，

　　∴ ，解得 .

　　直線BD的解析式y(tǒng)=﹣x﹣1;

　　(2)∵直線BD與反比例函數(shù)y= 的圖象交于點E，

　　∴ ，解得

　　∵B(1，﹣2)，

　　∴E(﹣2，1).

　　【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，利用待定系數(shù)法求解析式，利用方程組求交點坐標(biāo).

　　20.經(jīng)過某十字路口的汽車，它可能繼續(xù)直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)，如果這三種可能性大小相同，現(xiàn)有兩輛汽車經(jīng)過這個十字路口.

　　(1)試用樹狀圖或列表法中的一種列舉出這輛汽車行駛方向所有可能的結(jié)果;

　　(2)求至少有一輛汽車向左轉(zhuǎn)的概率.

　　【考點】列表法與樹狀圖法.

　　【專題】數(shù)形結(jié)合.

　　【分析】此題可以采用列表法或樹狀圖求解.可以得到一共有9種情況，至少有一輛車向左轉(zhuǎn)有5種情況，根據(jù)概率公式求解即可.

　　【解答】解法l：(1)畫“樹形圖”列舉這兩輛汽車行駛方向所有可能的結(jié)果如圖所示：

　　∴這兩輛汽車行駛方向共有9種可能的結(jié)果;

　　(2)由(1)中“樹形圖”知，至少有一輛汽車向左轉(zhuǎn)的結(jié)果有5種，且所有結(jié)果的可能性相等

　　∴P(至少有一輛汽車向左轉(zhuǎn))= .

　　解法2：根據(jù)題意，可以列出如下的表格：

　　左 直 右

　　左 (左，左) (左，直) (左，右)

　　直 (直，左) (直，直) (直，右)

　　右 (右，左) (右，直) (右，右)

　　∴P(至少有一輛汽車向左轉(zhuǎn))= .

　　【點評】此題考查了樹狀圖法求概率.解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出樹狀圖，再由概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比求解.

　　21.如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，D是⊙O上的一點，且AD∥CO.

　　(1)求證：△ABD≌△OBC;

　　(2)若AB=2，BC= ，求AD的長.

　　【考點】切線的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì).

　　【分析】(1)根據(jù)AB為圓O的直徑，根據(jù)圓周角定理得到∠D為90°，又BC為圓O的切線，根據(jù)切線性質(zhì)得到∠CBO=90°，進而得到這兩個角相等，又AD∥CO，根據(jù)兩直線平行，得到一對同位角相等，從而利用兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似即可得證;

　　(2)根據(jù)勾股定理求得OC= ，由(1)得到的相似三角形，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出 = ，即AD= ，求出AD的長.

　　【解答】(1)證明：∵AB是⊙O的直徑，

　　∴∠ADB=∠90°，

　　∵BC是⊙O的切線，

　　∴∠OBC=∠90°，

　　∵AD∥CO，

　　∴∠A=∠COB，

　　在△ABD和△OBC中

　　∵∠ADB=∠OBC，∠A=∠COB，

　　∴△ABD∽△OCB;

　　(2)由(1)知，△ABD∽△OCB，

　　∴ = ，即AD= ，

　　∵AB=2，BC= ，

　　∴OB=1，

　　∴OC= = ，

　　∴AD= = .

　　【點評】此題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，圓周角定理以及相似三角形的判定與性質(zhì).對于第一問這樣的幾何證明題，要求學(xué)生多觀察，多分析，根據(jù)題意選擇合適的判定方法;第二問的突破點在于利用勾股定理表示出OC，借助第一問的相似得比例.

　　22.一個圓形噴水池的中心豎立一根高為2.25m頂端裝有噴頭的水管，噴頭噴出的水柱呈拋物線形.當(dāng)水柱與池中心的水平距離為1m時，水柱達到最高處，高度為3m.

　　(1)求水柱落地處與池中心的距離;

　　(2)如果要將水柱的最大高度再增加1m，水柱的最高處與池中心的水平距離以及落地處與池中心的距離仍保持不變，那么水管的高度應(yīng)是多少?

　　【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.

　　【專題】壓軸題.

　　【分析】首先根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，畫出拋物線，(1)結(jié)合圖形，我們可以知道此拋物線的頂點坐標(biāo)(1，3)，而且拋物線經(jīng)過點(0，2.25)，很容易即可求出拋物線的解析式，那么把(x，0)代入解析式，即可得出X的值，即水柱落地處與池中心的距離.(2)從(1)的結(jié)論我們知道了水柱落地的坐標(biāo)為(3，0)，從(2)的題意可知頂點坐標(biāo)為(1，4)，求出新的拋物線的解析式，再求水管的高度就容易了.

　　【解答】解：(1)如圖，建立直角坐標(biāo)系，點(1，3)是拋物線的頂點.

　　由題意，設(shè)水柱所在的拋物線的解析式為y=a(x﹣1)2+3，

　　∵拋物線經(jīng)過點(0，2.25)，

　　∴2.25=a+3，即 ，

　　∴ ，

　　當(dāng)y=0時，即 ，

　　解得x=3或x=﹣1(舍)，

　　即水柱落地處與池中心的距離為3m;

　　(2)由題意，設(shè)拋物線解析式為y=n(x﹣1)2+4，

　　∵拋物線經(jīng)過點(3，0)，

　　∴n(3﹣1)2+4=0，即n=﹣1，

　　∴y=﹣(x﹣1)2+4，

　　當(dāng)x=0時，y=3，

　　即水管的高度應(yīng)為3m.

　　【點評】本題的關(guān)鍵是要根據(jù)題意畫出拋物線，主要考查了二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，比較簡單.

　　23.已知關(guān)于x的方程x2﹣2(k﹣1)x+k2=0有兩個實數(shù)根x1，x2.

　　(1)求k的取值范圍;

　　(2)若|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值.

　　【考點】根與系數(shù)的關(guān)系;根的判別式.

　　【專題】計算題.

　　【分析】(1)方程有兩個實數(shù)根，可得△=b2﹣4ac≥0，代入可解出k的取值范圍;

　　(2)結(jié)合(1)中k的取值范圍，由題意可知，x1+x2=2(k﹣1)<0，去絕對值號結(jié)合等式關(guān)系，可得出k的值.

　　【解答】解：(1)由方程有兩個實數(shù)根，可得

　　△=b2﹣4ac=4(k﹣1)2﹣4k2=4k2﹣8k+4﹣4k2=﹣8k+4≥0，

　　解得，k≤ ;

　　(2)依據(jù)題意可得，x1+x2=2(k﹣1)，x1•x2=k2，

　　由(1)可知k≤ ，

　　∴2(k﹣1)<0，x1+x2<0，

　　∴﹣x1﹣x2=﹣(x1+x2)=x1•x2﹣1，

　　∴﹣2(k﹣1)=k2﹣1，

　　解得k1=1(舍去)，k2=﹣3，

　　∴k的值是﹣3.

　　答：(1)k的取值范圍是k≤ ;(2)k的值是﹣3.

　　【點評】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法;注意k的取值范圍是正確解答的關(guān)鍵.

　　24.如圖，二次函數(shù)y= x2+c的圖象經(jīng)過點D(﹣ ， )，與x軸交于A，B兩點.

　　(1)求c的值;

　　(2)如圖①，設(shè)點C為該二次函數(shù)的圖象在x軸上方的一點，直線AC將四邊形ABCD的面積二等分，試證明線段BD被直線AC平分，并求此時直線AC的函數(shù)解析式;

　　(3)設(shè)點P，Q為該二次函數(shù)的圖象在x軸上方的兩個動點，試猜想：是否存在這樣的點P，Q，使△AQP≌△ABP?如果存在，請舉例驗證你的猜想;如果不存在，請說明理由(圖②供選用).

　　【考點】二次函數(shù)綜合題.

　　【分析】(1)將D點坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)c的值;

　　(2)若△ACD與△ABC的面積相等，則兩個三角形中，AC邊上的高相等，設(shè)AC、BD的交點為E，若以CE為底，AC邊上的高為高，可證得△CED和△CEB的面積相等;這兩個三角形中，若以DE、BE為底，則兩個三角形同高，那么DE=BE，由此可證得AC平分BD;

　　由于E是BD的中點，根據(jù)B、D的坐標(biāo)，即可求出E點的坐標(biāo)，根據(jù)A、E的坐標(biāo)即可用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式;

　　(3)設(shè)拋物線頂點為N(0，6)，在Rt△AON中，易得AN=4 ，于是以A點為圓心，AB=4 為半徑作圓與拋物線在x軸上方一定有交點Q，連接AQ，再作∠QAB平分線AP交拋物線于P，連接BP，PQ，此時由“邊角邊”易得△AQP≌△ABP.

　　【解答】解：(1)將點D代入二次函數(shù)y= x2+c中，

　　則有 = +c，

　　∴c=6;

　　(2)作CF⊥BD，AG⊥BD，

　　∵直線AC將四邊形ABCD的面積二等分，

　　∴S△ACD=S△ACB，

　　∵S△ACD=S△CDE+S△ADE，S△ACB=S△BCF+S△ABF，

　　∴S△CDE+S△ADE=S△BCF+S△ABF，

　　∴ DE•AG+ DE•CF= BE•AG+ BE•CF，即 DE(AG+CF)= BE(AG+CF)，

　　∴BE=DE，即線段BD被直線AC平分，

　　∵二次函數(shù)解析式為y= x2+6，A，C為拋物線與x軸交點，

　　∴B點坐標(biāo)為(2 ，0)，A點坐標(biāo)為(﹣2 ，0)，

　　∵E是BD中點，

　　∴E點坐標(biāo)為( ， )

　　∴直線AC經(jīng)過A，E兩點，

　　設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，則有 ，

　　解得：b= ，k= ，

　　∴直線AC解析式為y= x+ ;

　　(3)存在.

　　設(shè)拋物線頂點為N(0，6)，

　　在Rt△AON中，易得AN=4 ，

　　于是以A點為圓心，AB=4 為半徑作圓與拋物線在x軸上方一定有交點Q，連接AQ，

　　再作∠QAB平分線AP交拋物線于P，連接BP，PQ，

　　此時由“邊角邊”易得△AQP≌△ABP.

　　【點評】此題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定、三角形面積的求法、以及全等三角形和直角三角形的判定和性質(zhì).

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