2017南昌數學中考模擬試題與答案(2)
【分析】根據方差的意義：方差反映了一組數據的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立.觀察圖中的信息可知小華的方差較小，故甲的成績更加穩定.
【解答】解：由圖表明乙這8次成績偏離平均數大，即波動大，而甲這8次成績，分布比較集中，各數據偏離平均小，方差小，
則S甲2
故答案為：甲.
13.某商品原來價格為m元，降價20%后價格為 0.8m 元.
【考點】列代數式.
【分析】降價后的價格是原價×(1﹣20%)，即0.8m.
【解答】解：(1﹣20%)m=0.8m.
14.現在網購越來越多地成為人們的一種消費方式，在2016年的“雙11”網上促銷活動中天貓和淘寶的支付交易額突破120700000000元，將120700000000用科學記數法表示為 1.207×1011 .
【考點】科學記數法—表示較大的數.
【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數.本題中120700000000有12位整數，n=12﹣1=11.
【解答】解：120700000000=1.207×1011.
故答案為：1.207×1011.
15.如圖，將一副直角三角板如圖放置，若∠AOD=18°，則∠BOC的度數為 162° .
【考點】余角和補角.
【分析】先求出∠COA和∠BOD的度數，代入∠BOC=∠COA+∠AOD+∠BOD求出即可.
【解答】解：∵∠AOD=18°，∠COD=∠AOB=90°，
∴∠COA=∠BOD=90°﹣18°=72°，
∴∠BOC=∠COA+∠AOD+∠BOD=72°+18°+72°=162°.
故答案為：162°.
16.一次函數y=kx+2(k為常數，且k≠0)的圖象如圖所示，則k的可能值為 ﹣2 .(寫一個即可)
【考點】一次函數圖象與系數的關系.
【分析】觀察圖形可知OB
【解答】解：觀察圖形可知：一次函數圖象經過第一、二、四象限，OB
∴k<0.
當x=0時，y=kx+2=2，
∴OA=2，
令OB=1，則點B(1，0)，
將(1，0)代入y=kx+2，
0=k+2，解得：k=﹣2.
故答案為：﹣2.
17.如圖，點P是▱ABCD邊AB上的一點，射線CP交DA的延長線于點E，請從圖中找出一對相似三角形： △EAP∽△EDC(答案不唯一) .
【考點】相似三角形的判定;平行四邊形的性質.
【分析】利用相似三角形的判定方法以及平行四邊形的性質得出即可.
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CBP，
∴△EDC∽△CBP，
故答案為：△EAP∽△EDC(答案不唯一).
18.如圖，在⊙O中，OB為半徑，AB是⊙O的切線，OA與⊙O相交于點C，∠A=30°，OA=8，則陰影部分的面積是 8 ﹣ π .
【考點】切線的性質;扇形面積的計算.
【分析】首先證明△AOB是直角三角形，再根據S陰影部分=S△AOB﹣S扇形OBC計算即可.
【解答】解：∵AB是⊙O的切線，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA=90°，
∵∠A=30°，OA=8，
∴OB= OA=4，AB= OB=4 ，∠BOC=60°，
∴S陰影部分=S△AOB﹣S扇形OBC= ×4×4 ﹣ •π•42=8 ﹣ π，
故答案為8 ﹣ π.
三、解答題(本大題共有3個小題，每小題8分，共24分)
19.計算：﹣32﹣( )﹣1+2sin30°.
【考點】實數的運算;負整數指數冪;特殊角的三角函數值.
【分析】原式利用乘方的意義，負整數指數冪，以及特殊角的三角函數值計算即可得到結果.
【解答】解：原式=﹣9﹣2+1=﹣10.
20.先化簡，再求值：(2a+b)2﹣2a(2b+a)，其中a=﹣1，b= .
【考點】整式的混合運算—化簡求值.
【分析】先將原式按完全平方公式和乘法分配律進行化簡，然后代入求值即可.
【解答】解：原式=4a2+4ab+b2﹣4ab﹣2a2
=2a2+b2，
當a=﹣1，b= ，
∴原式=2+2017=2019
21.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E在BC上，點F在AD上，BE=DF，求證：AE=CF.
【考點】平行四邊形的性質;全等三角形的判定與性質.
【分析】根據平行四邊形性質得出AD∥BC，且AD=BC，推出AF∥EC，AF=EC，根據平行四邊形的判定推出四邊形AECF是平行四邊形，即可得出結論.
【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
∴AF∥EC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴AE=CF.
四、解答題(本大題共有3小題，每小題8分，共24分)
22.為了增強學生的身體素質，教育部門規定學生每天參加體育鍛煉時間不少于1小時，為了解學生參加體育鍛煉的情況，抽樣調查了900名學生每天參加體育鍛煉的時間，并將調查結果制成如圖所示的兩幅不完整的統計圖，請你根據圖中提供的信息解答下列問題：
(1)求參加體育鍛煉時間為1小時的人數.
(2)求參加體育鍛煉時間為1.5小時的人數.
(3)補全頻數分布直方圖.
(4)這次調查參加體育鍛煉時間的中位數是 1 .
【考點】頻數(率)分布直方圖;扇形統計圖;中位數.
【分析】(1)根據時間是2小時的有90人，占10%，據此即可求得總人數，利用總人數乘以百分比即可求得時間是1小時的一組的人數;
(2)總數減去其它各組的人數即可求解;
(3)根據(1)、(2)中的結果即可補全分布直方圖;
(3)根據中位數的定義就是大小處于中間位置的數，據此即可求解.
【解答】解：(1)調查的總人數是好：90÷10%=900(人)，
鍛煉時間是1小時的人數是：900×40%=360(人);
(2)這次調查參加體育鍛煉時間為1.5小時的人數是：900﹣270﹣360﹣90=180(人);
(3)補全頻數分布直方圖如下：
(4)∵共有900個數據，
∴其中位數是第450、451個數據的平均數，鍛煉的中位數是：1小時，
故答案為：1.
23.從邵陽市到長沙的高鐵列車里程比普快列車里程縮短了75千米，運行時間減少了4小時，已知邵陽市到長沙的普快列車里程為306千米，高鐵列車平均時速是普快列車平均時速的3.5倍.
(1)求高鐵列車的平均時速;
(2)某日劉老師從邵陽火車南站到長沙市新大新賓館參加上午11：00召開的會議，如果他買到當日上午9：20從邵陽市火車站到長沙火車南站的高鐵票，而且從長沙火車南站到新大新賓館最多需要20分鐘.試問在高鐵列車準點到達的情況下他能在開會之前趕到嗎?
【考點】分式方程的應用.
【分析】(1)設普快的平均時速為x千米/小時，高鐵列車的平均時速為3.5x千米/小時，根據題意可得，高鐵走千米比普快走306千米時間減少了4小時，據此列方程求解;
(2)求出劉老師所用的時間，然后進行判斷.
【解答】解：(1)設普快的平均時速為x千米/小時，高鐵列車的平均時速為3.5x千米/小時，
由題意得， ﹣ =4，
解得：x=60，
經檢驗，x=60是原分式方程的解，且符合題意，
則3.5x=210，
答：高鐵列車的平均時速為210千米/小時;
(2)÷(3.5×60)=1.1小時即66分鐘，
66+20=86分鐘，
而9：20到11：00相差100分鐘，
∵100>86，故在高鐵列車準點到達的情況下他能在開會之前趕到.
24.為促進我市經濟的快速發展，加快道路建設，某高速公路建設工程中需修隧道AB，如圖，在山外一點C測得BC距離為200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的長.(參考數據：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38， ≈1.73，精確到個位)
【考點】解直角三角形的應用.
【分析】首先過點C作CD⊥AB于D，然后在Rt△BCD中，利用三角函數的知識，求得BD，CD的長，繼而在Rt△ACD中，利用∠CAB的正切求得AD的長，繼而求得答案.
【解答】解：過點C作CD⊥AB于D，
∵BC=200m，∠CBA=30°，
∴在Rt△BCD中，CD= BC=100m，BD=BC•cos30°=200× =100 ≈173(m)，
∵∠CAB=54°，
在Rt△ACD中，AD= ≈ ≈72(m)，
∴AB=AD+BD=173+72≈245(m).
答：隧道AB的長為245m.
五、解答題(本大題有2小題，其中25題8分，26題10分，共18分)
25.(1)操作發現：如圖，小明在矩形紙片ABCD的邊AD上取中點E，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，且點G在矩形ABCD內部，將BG延長交DC于點F，認為GF=DF，你同意嗎?說明理由.
(2)問題解決：保持(1)中條件不變，若DC=2FC，求 的值.
【考點】翻折變換(折疊問題);矩形的性質.
【分析】(1)連接EF，則AE=EG，HL可證明Rt△EGF≌Rt△EDF，根據全等三角形的性質即可求解;
(2)設FC=x，BC=y，則有GF=x，AD=y.根據DC=2FC得到DF=x，DC=AB=BG=2x，BF=BG+GF=3x，然后利用勾股定理得到y與x之間關系，從而求得兩條線段的比.
【解答】解：(1)同意.連接EF，則∠EGF=∠D=90°.
∵點E是AD的中點，
∴由折疊的性質知，EG=ED
在Rt△EGF和Rt△EDF中，
，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF(HL).
∴GF=DF;
(2)由(1)知，GF=DF.設FC=x，BC=y，則有GF=x，AD=y.
∵DC=2FC，
∴DF=x，DC=AB=BG=2x，
∴BF=BG+GF=3x.
在Rt△BCF中，由勾股定理得：BC2+CF2=BF2，即y2+x2=(3x)2.
∴y=2 x
∴ = = .
26.如圖，拋物線y=x2+bx+c(b、c為常數)與x軸相交于點A(﹣1，0)、B(3，0)，與y軸相交于點C，其對稱軸與x軸相交于點D，作直線BC.
(1)求拋物線的解析式.
(2)設點P為拋物線對稱軸上的一個動點.
①如圖①，若點P為拋物線的頂點，求△PBC的面積.
②是否存在點P使△PBC的面積為6?若存在，求出點P坐標;若不存在，請說明理由.
【考點】二次函數綜合題.
【分析】(1)把A、B兩點坐標代入拋物線解析式，可求得b、c的值，可求得拋物線解析式;
(2)①由拋物線解析式可求得P、C的坐標，可求得直線BC解析式，設對稱軸交直線BC于點E，則可求得E點坐標，可求得PE的長，則可求得△PBC的面積;②設P(1，t)，則可用t表示出△PBC的面積，可得到t的方程，則可求得P點坐標.
【解答】解：
(1)∵拋物線y=x2+bx+c(b、c為常數)與x軸相交于點A(﹣1，0)、B(3，0)，
∴ ，解得 ，
∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3;
(2)①∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4，
∴P(1，4)，且C(0，﹣3)，
設直線BC解析式為y=kx+m，則有 ，解得 ，
∴直線BC解析式為y=x﹣3，
設對稱軸交BC于點E，如圖1，
則E(1，﹣2)，
∴PE=﹣2﹣(﹣4)=2，
∴S△PBC= PE•OB= ×3×2=3;
②設P(1，t)，由①可知E(1，﹣2)，
∴PE=|t+2|，
∴S△PBC= OB•PE= |t+2|，
∴ |t+2|=6，解得t=2或t=﹣6，
∴P點坐標為(1，2)或(1，﹣6)，
即存在滿足條件的點P，其坐標為(1，2)或(1，﹣6).
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