2017年撫順中考數學練習試題及答案(2)
【考點】旋轉的性質;全等三角形的判定;菱形的判定;正方形的性質.
【分析】首先證明△ADE≌△GDE，再求出∠AEF、∠AFE、∠GEF、∠GFE的度數，推出AE=EG=FG=AF，由此可以一一判斷.
【解答】證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，
∵△DHG是由△DBC旋轉得到，
∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，
在RT△ADE和RT△GDE中，
，
∴AED≌△GED，故②正確，
∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，
∴∠AED=∠AFE=67.5°，
∴AE=AF，同理△AEF≌△GEF，可得EG=GF，
∴AE=EG=GF=FA，
∴四邊形AEGF是菱形，故①正確，
∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③正確.
∵AE=FG=EG=BG，BE= AE，
∴BE>AE，
∴AE< ，
∴CB+FG<1.5，故④錯誤.
故答案為①②③.
三、解答題(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)
15.計算：|﹣3|+ tan30°﹣ ﹣0.
【考點】實數的運算;零指數冪;特殊角的三角函數值.
【分析】根據實數的運算方法，零指數冪的求法，以及特殊角的三角函數值，求出|﹣3|+ tan30°﹣ ﹣0的值是多少即可.
【解答】解：|﹣3|+ tan30°﹣ ﹣0
=3+ × ﹣2 ﹣1
=3+1﹣2 ﹣1
=3﹣2
16.先化簡，再求值：( ﹣x﹣1)÷ ，選一個你喜歡的數代入求值.
【考點】分式的化簡求值.
【分析】首先把括號內的分式約分，然后通分相加，把除法轉化為乘法，計算乘法即可化簡，然后化簡x的值，代入求解即可.
【解答】解：原式=[ ﹣(x+1)]•
=[ ﹣(x+1)]•
= •
=1﹣(x﹣1)
=2﹣x.
當x=0時，原式=2.
四、解答題(本小題共2小題，每小題8分，共16分)
17.，在平面直角坐標系中，直角△ABC的三個頂點分別是：A(﹣3，1)，B(0，3)，C(0，1)
(1)將△ABC以點O為旋轉中心順時針旋轉90°，畫出旋轉后對應的△A1B1C1;
(2)分別連結AB1，BA1后，求四邊形ABA1B1的面積.
【考點】作圖﹣旋轉變換;扇形面積的計算.
【分析】(1)利用網格特點和旋轉的性質畫出A、B、C的對應點A1、B1、C1，從而得到△A1B1C1;
(3)利用兩個梯形的面積和減去一個三角形的面積計算四邊形ABA1B1的面積.
【解答】解：(1)，△A1B1C1為所作;
(2)，四邊形ABA1B1的面積= (1+3)×3+ ×(1+3)×3﹣ ×1×6=9.
18.觀察下列關于自然數的等式：
(1)32﹣4×12=5 (1)
(2)52﹣4×22=9 (2)
(3)72﹣4×32=13 (3)
…
根據上述規律解決下列問題：
(1)完成第五個等式：112﹣4× 5 2= 21 ;
(2)寫出你猜想的第n個等式(用含n的式子表示)，并驗證其正確性.
【考點】整式的混合運算;規律型：數字的變化類.
【分析】(1)根據前三個找出規律，寫出第五個等式;
(2)用字母表示變化規律，根據完全平方公式計算，即可證明.
【解答】解：(1)112﹣4×52=21，
故答案為：5;21;
(2)第n個等式為：(2n+1)2﹣4n2=4n+1，
證明：(2n+1)2﹣4n2=4n2+4n+1﹣4n2=4n+1.
五、解答題(本大題共2小題，每小題10分，共20分)
19.南沙群島是我國固有領土，現在我南海漁民要在南沙某海島附近進行捕魚作業，當漁船航行至B處時，測得該島位于正北方向20(1+ )海里的C處，為了防止某國海巡警干擾，就請求我A處的漁監船前往C處護航，已知C位于A處的北偏東45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之間的距離.
【考點】解直角三角形的應用﹣方向角問題.
【分析】作AD⊥BC，垂足為D，設CD=x，利用解直角三角形的知識，可得出AD，繼而可得出BD，結合題意BC=CD+BD可得出方程，解出x的值后即可得出答案.
【解答】解：，作AD⊥BC，垂足為D，
由題意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°.
設CD=x，在Rt△ACD中，可得AD=x，
在Rt△ABD中，可得BD= x，
又∵BC=20(1+ )，CD+BD=BC，
即x+ x=20(1+ )，
解得：x=20，
∴AC= x=20 (海里).
答：A、C之間的距離為20 海里.
20.已知，，一次函數y=kx+b(k、b為常數，k≠0)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且與反比例函數y= (n為常數且n≠0)的圖象在第二象限交于點C.CD⊥x軸，垂足為D，若OB=2OA=3OD=6.
(1)求一次函數與反比例函數的解析式;
(2)求兩函數圖象的另一個交點坐標;
(3)直接寫出不等式;kx+b≤ 的解集.
【考點】反比例函數與一次函數的交點問題.
【分析】(1)先求出A、B、C坐標，再利用待定系數法確定函數解析式.
(2)兩個函數的解析式作為方程組，解方程組即可解決問題.
(3)根據圖象一次函數的圖象在反比例函數圖象的下方，即可解決問題，注意等號.
【解答】解：(1)∵OB=2OA=3OD=6，
∴OB=6，OA=3，OD=2，
∵CD⊥OA，
∴DC∥OB，
∴ = ，
∴ = ，
∴CD=10，
∴點C坐標(﹣2，10)，B(0，6)，A(3，0)，
∴ 解得 ，
∴一次函數為y=﹣2x+6.
∵反比例函數y= 經過點C(﹣2，10)，
∴n=﹣20，
∴反比例函數解析式為y=﹣ .
(2)由 解得 或 ，
故另一個交點坐標為(5，﹣4).
(3)由圖象可知kx+b≤ 的解集：﹣2≤x<0或x≥5.
六、解答題(本題滿分12分)
21.某校在踐行“社會主義核心價值觀”演講比賽中，對名列前20名的選手的綜合分數m進行分組統計，結果如表所示：
組號 分組 頻數
一 6≤m<7 2
二 7≤m<8 7
三 8≤m<9 a
四 9≤m≤10 2
(1)求a的值;
(2)若用扇形圖來描述，求分數在8≤m<9內所對應的扇形圖的圓心角大小;
(3)將在第一組內的兩名選手記為：A1、A2，在第四組內的兩名選手記為：B1、B2，從第一組和第四組中隨機選取2名選手進行調研座談，求第一組至少有1名選手被選中的概率(用樹狀圖或列表法列出所有可能結果).
【考點】列表法與樹狀圖法;頻數(率)分布表;扇形統計圖.
【分析】(1)根據被調查人數為20和表格中的數據可以求得a的值;
(2)根據表格中的數據可以得到分數在8≤m<9內所對應的扇形圖的圓心角大;
(3)根據題意可以寫出所有的可能性，從而可以得到第一組至少有1名選手被選中的概率.
【解答】解：(1)由題意可得，
a=20﹣2﹣7﹣2=9，
即a的值是9;
(2)由題意可得，
分數在8≤m<9內所對應的扇形圖的圓心角為：360°× =162°;
(3)由題意可得，所有的可能性如下圖所示，
故第一組至少有1名選手被選中的概率是： = ，
即第一組至少有1名選手被選中的概率是 .
七、解答題(本題滿分12分)
22.，以△ABC的BC邊上一點O為圓心，經過A，C兩點且與BC邊交于點E，點D為CE的下半圓弧的中點，連接AD交線段EO于點F，若AB=BF.
(1)求證：AB是⊙O的切線;
(2)若CF=4，DF= ，求⊙O的半徑r及sinB.
【考點】切線的判定.
【分析】(1)連接OA、OD，，根據垂徑定理得OD⊥BC，則∠D+∠OFD=90°，再由AB=BF，OA=OD得到∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，加上∠BFA=∠OFD，所以∠OAD+∠BAF=90°，則OA⊥AB，然后根據切線的判定定理即可得到AB是⊙O切線;
(2)先表示出OF=4﹣r，OD=r，在Rt△DOF中利用勾股定理得r2+(4﹣r)2=( )2，解方程得到r的值，那么OA=3，OF=CF﹣OC=4﹣3=1，BO=BF+FO=AB+1.
然后在Rt△AOB中利用勾股定理得AB2+OA2=OB2，即AB2+32=(AB+1)2，解方程得到AB=4的值，再根據三角函數定義求出sinB.
【解答】(1)證明：連接OA、OD，，
∵點D為CE的下半圓弧的中點，
∴OD⊥BC，
∴∠EOD=90°，
∵AB=BF，OA=OD，
∴∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，
而∠BFA=∠OFD，
∴∠OAD+∠BAF=∠D+∠BFA=90°，即∠OAB=90°，
∴OA⊥AB，
∴AB是⊙O切線;
(2)解：OF=CF﹣OC=4﹣r，OD=r，DF= ，
在Rt△DOF中，OD2+OF2=DF2，即r2+(4﹣r)2=( )2，
解得r1=3，r2=1(舍去);
∴半徑r=3，
∴OA=3，OF=CF﹣OC=4﹣3=1，BO=BF+FO=AB+1.
在Rt△AOB中，AB2+OA2=OB2，
∴AB2+32=(AB+1)2，
∴AB=4，OB=5，
∴sinB= = .
八、解答題(本題滿分14分)
23.，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=x2+bx+c過A，B，C三點，點A的坐標是(3，0)，點C的坐標是(0，﹣3)，動點P在拋物線上.
(1)b= ﹣2 ，c= ﹣3 ，點B的坐標為 (﹣1，0) ;(直接填寫結果)
(2)是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在，說明理由;
(3)過動點P作PE垂直y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線.垂足為F，連接EF，當線段EF的長度最短時，求出點P的坐標.
【考點】二次函數綜合題.
【分析】(1)將點A和點C的坐標代入拋物線的解析式可求得b、c的值，然后令y=0可求得點B的坐標;
(2)分別過點C和點A作AC的垂線，將拋物線與P1，P2兩點先求得AC的解析式，然后可求得P1C和P2A的解析式，最后再求得P1C和P2A與拋物線的交點坐標即可;
(3)連接OD.先證明四邊形OEDF為矩形，從而得到OD=EF，然后根據垂線段最短可求得點D的縱坐標，從而得到點P的縱坐標，然后由拋物線的解析式可求得點P的坐標.
【解答】解：(1)∵將點A和點C的坐標代入拋物線的解析式得： ，解得：b=﹣2，c=﹣3.
∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3.
∵令x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3.
∴點B的坐標為(﹣1，0).
故答案為：﹣2;﹣3;(﹣1，0).
(2)存在.
理由：所示：
①當∠ACP1=90°.
由(1)可知點A的坐標為(3，0).
設AC的解析式為y=kx﹣3.
∵將點A的坐標代入得3k﹣3=0，解得k=1，
∴直線AC的解析式為y=x﹣3.
∴直線CP1的解析式為y=﹣x﹣3.
∵將y=﹣x﹣3與y=x2﹣2x﹣3聯立解得x1=1，x2=0(舍去)，
∴點P1的坐標為(1，﹣4).
②當∠P2AC=90°時.
設AP2的解析式為y=﹣x+b.
∵將x=3，y=0代入得：﹣3+b=0，解得b=3.
∴直線AP2的解析式為y=﹣x+3.
∵將y=﹣x+3與y=x2﹣2x﹣3聯立解得x1=﹣2，x2=3(舍去)，
∴點P2的坐標為(﹣2，5).
綜上所述，P的坐標是(1，﹣4)或(﹣2，5).
(3)2所示：連接OD.
由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF.
根據垂線段最短，可得當OD⊥AC時，OD最短，即EF最短.
由(1)可知，在Rt△AOC中，
∵OC=OA=3，OD⊥AC，
∴D是AC的中點.
又∵DF∥OC，
∴ .
∴點P的縱坐標是 .
∴ ，解得： .
∴當EF最短時，點P的坐標是：( ， )或( ， ).
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